Sức bền vật liệu: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 14 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp
σ = F/A
Biến dạng
ε = ΔL/L
Định luật Hooke
σ = E·ε
Độ giãn dài
ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt
εT = α·ΔT

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp
τ = T·r/J
Trục đặc
J = πd⁴/32
Trục rỗng
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn
φ = TL/(GJ)
Công suất
P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

  1. Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
  2. Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
  3. Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
  4. Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lực cắt và mômen uốn

Lực cắt và mômen
V = ΣF ở một phía, M = ΣF·d ở một phía
Ứng suất uốn
σ = M·y/I
Hình chữ nhật
I = bh³/12
Mômen chống uốn của mặt cắt
W = I/ymax
Dầm đơn giản, tải phân bố đều
Mmax = wL²/8

Phương pháp

  1. Tìm phản lực gối từ cân bằng của cả dầm.
  2. Cắt dầm tại mặt cắt bạn cần và giữ lại một phía.
  3. Lực cắt: tổng các lực thẳng đứng ở phía đó. Mômen uốn: tổng mômen của chúng quanh mặt cắt.
  4. Để tìm mômen lớn nhất, hãy tìm nơi lực cắt bằng không.

Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Trọng tâm
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Hình chữ nhật
I = bh³/12
Định lý trục song song
I = Ic + A·d²
Mặt cắt ghép
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm
C = (σx + σy)/2
Bán kính
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Ứng suất chính
σ1,2 = C ± R
Phương chính
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Mặt phẳng nghiêng
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Phương pháp

  1. Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
  4. Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Độ võng của dầm

Tải tập trung ở giữa nhịp
δ = PL³/(48EI)
Tải phân bố đều, dầm đơn giản
δ = 5wL⁴/(384EI)
Công xôn, tải ở đầu
δ = PL³/(3EI)
Công xôn, tải phân bố đều
δ = wL⁴/(8EI)
Nguyên lý xếp chồng
δ = δ1 + δ2

Mất ổn định cột

Tải Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán
K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn
σcr = Pcr/A
Độ mảnh
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Bài tập

1.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình
P = ?12400 mm500 mmØ40Ø30δ = 0,2 mm

Một thanh gồm một đoạn thép (đường kính 40 mm, chiều dài 400 mm, E = 200 GPa) nối đầu với đầu với một đoạn làm bằng đồng thau (đường kính 30 mm, chiều dài 500 mm, E = 100 GPa). Nó được ngàm một đầu và bị kéo ở đầu kia. Tìm tải dọc trục P làm nó giãn tổng cộng 0,2 mm.

đoạn 1: thép, Ø40 mm, 400 mm, E = 200 GPađoạn 2: đồng thau, Ø30 mm, 500 mm, E = 100 GPaδ = 0,2 mm
P = kN
2.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó
Ø 30 mmThép2 mØ 16 mmĐồng1,5 mP = 50 kN

Thanh bậc được ngàm vào tường và chịu tải ở đầu tự do. Tìm tổng độ giãn dài δ.

P = 50 kNđoạn 1: Ø30 mm, 2 m, thép (E = 200 GPa)đoạn 2: Ø16 mm, 1,5 m, đồng (E = 117 GPa)
δ = mm
3.Xoắn của trụcTrung bình
do​ = ?T = 1500 N·m

Một trục rỗng phải chịu mô-men xoắn 1500 N·m. Đường kính trong của nó bằng 0,5 lần đường kính ngoài, và ứng suất cắt không được vượt quá 75 MPa. Tìm đường kính ngoài nhỏ nhất do.

T = 1500 N·mdi/do = 0,5τallow = 75 MPa
do = mm
4.Xoắn của trụcKhó
d = ?10 kW, 500 rpm

Một trục đặc nhôm truyền 10 kW ở 500 rpm. Ứng suất cắt không được vượt quá 60 MPa và góc xoắn không được vượt quá 1° trên mỗi m chiều dài. Tìm đường kính nhỏ nhất d thỏa mãn cả hai giới hạn.

P = 10 kWN = 500 rpmτallow = 60 MPaθallow = 1°/mG = 26 GPa
d = mm
5.Lực cắt và mômen uốnTrung bình
w = 6 kN/mABmặt cắt3 m1 m

Tìm mômen uốn Mx tại mặt cắt x = 3 m tính từ gối A. Coi mômen làm dầm võng xuống là dương và lực cắt hướng lên trên mặt trái là dương.

L = 4 mw = 6 kN/m từ 0 đến 4 mx = 3 m
Mx = kN·m
6.Lực cắt và mômen uốnKhó
w = 3 kN/mP = 50 kNABmặt cắt2,5 m1,5 m4 m

Tìm mômen uốn Mx tại mặt cắt x = 2,5 m tính từ gối A. Coi mômen làm dầm võng xuống là dương và lực cắt hướng lên trên mặt trái là dương.

L = 8 mP = 50 kN tại 4 mw = 3 kN/m từ 0 đến 8 mx = 2,5 m
Mx = kN·m
7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtTrung bình
xD = 170d = 162kích thước tính bằng mm

Một ống tròn có đường kính ngoài D = 170 mm và đường kính trong d = 162 mm. Tìm bán kính quán tính r của nó đối với trục nằm ngang qua trọng tâm.

D = 170 mmd = 162 mm
r = mm
8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtKhó
150 mm300 mm180 mm80 × 40xIx​ = ?

Một tấm 150 mm × 300 mm có một lỗ khoét hình chữ nhật rộng 80 mm và cao 40 mm, đặt giữa đường tâm thẳng đứng với tâm cách đáy 180 mm. Tìm mômen quán tính diện tích Ix quanh trục nằm ngang đi qua trọng tâm.

b = 150 mmh = 300 mmlỗ khoét: 80 × 40 mmtâm lỗ: y = 180 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình
σx​ = 30σy​ = 100τxy​ = −10MPa

Một điểm có σₓ = 30 MPa, σᵧ = 100 MPa và τₓᵧ = −10 MPa (kéo là dương). Tìm góc θs, trong khoảng từ −90° đến 90°, từ trục x đến pháp tuyến của mặt có ứng suất cắt đạt giá trị dương lớn nhất +R (ứng suất cắt dương cùng chiều với τₓᵧ).

σx = 30 MPaσy = 100 MPaτxy = −10 MPa
θs = °
10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó
σx​ = 60σy​ = −20τxy​ = 30MPa

Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = 60 MPa, σᵧ = −20 MPa và τₓᵧ = 30 MPa (kéo là dương). Tìm ứng suất tiếp τθ trên một mặt có pháp tuyến xoay 50° ngược chiều kim đồng hồ so với trục x (dương cùng chiều với τₓᵧ).

σx = 60 MPaσy = −20 MPaτxy = 30 MPaθ = 50°
τθ = MPa
11.Độ võng của dầmTrung bình
w = 2 kN/mδL = 5 m

Một dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w trên toàn nhịp. Tìm độ võng lớn nhất δmax, tại giữa nhịp.

w = 2 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (nhôm)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.Độ võng của dầmKhó
w = 20 kN/mP = 12 kNδL = 2,5 m

Một dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w và một tải tập trung P ở giữa nhịp. Dùng nguyên lý xếp chồng, tìm độ võng giữa nhịp δmax.

P = 12 kNw = 20 kN/mL = 2,5 mE = 11 GPa (gỗ xẻ)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.Mất ổn định cộtTrung bình
PL = 1 m20 × 80 mmmặt cắt ngang

Một cột dài L làm bằng thép được hai đầu khớp. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn Pcr của nó.

L = 1 mE = 200 GPa (thép)b × h = 20 × 80 mm
Pcr = kN
14.Mất ổn định cộtKhó
P = 125 kNL = 6 md = ?mặt cắt ngang

Một cột tròn đặc dài L làm bằng thép được hai đầu khớp. Nó phải chịu 125 kN với hệ số an toàn 3 chống oằn. Tìm đường kính nhỏ nhất d.

P = 125 kNn = 3L = 6 mE = 200 GPa (thép)
d = mm

3Dung dịch

1.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: P = 23,08 kN

Hai vật liệu: khi nối tiếp (cái này sau cái kia) mỗi đoạn chịu cùng một lực và các độ giãn dài cộng lại: δ = P·Σ L/(E·A). Khi song song (cạnh nhau giữa các tấm cứng) cả hai phần co lại cùng một lượng, nên biến dạng của chúng bằng nhau: phần cứng hơn nhận phần tải lớn hơn, Pi = P·EiAi/ΣEA, và σi = Ei·ε. Một thanh bị giữ giữa hai vách cứng với tải đặt tại chỗ nối là siêu tĩnh: hai đoạn chia tải theo tỉ lệ độ cứng k = EA/L của chúng.

Diện tích

A₁ = 1257 mm², A₂ = 706,9 mm²

Các độ mềm

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·1257) = 1,592 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 500/(100000·706,9) = 7,074 × 10⁻⁶ mm/N

Tải

P = 0,2/8,665 × 10⁻⁶ = 23081 N = 23,08 kN

Đáp số

P = 23,08 kN
2.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: δ = 3,896 mm

Cấu kiện chịu tải dọc trục: mỗi đoạn lăng trụ tuân theo δ = PL/(AE). Với các cấu kiện nối tiếp, độ giãn dài cộng lại.

Cùng một lực trong cả hai đoạn

Đầu tự do chịu lực P, nên mọi mặt cắt của thanh đều chịu cùng một lực dọc trục P. Chỉ có diện tích và vật liệu thay đổi.

A1 = π·30²/4 = 706,9 mm², A2 = π·16²/4 = 201,1 mm²
σ1 = 70,74 MPa
σ2 = 248,7 MPa

Cộng độ giãn dài của các đoạn

δ1 = σ1L1/E1 = 70,74·2000/200000 = 0,7074 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 248,7·1500/117000 = 3,188 mm
δ = δ1 + δ2 = 3,896 mm

Đáp số

δ = 3,896 mm
3.Xoắn của trục

Đáp số: do = 47,72 mm

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Đường kính ngoài từ ứng suất cho phép

T = 1500 N·m = 1,5 × 10⁶ N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0,5⁴ = 0,9375
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·1,5 × 10⁶/(π·75·0,9375)) = 47,72 mm
di = 0,5·47,72 = 23,86 mm

Đáp số

do = 47,72 mm

Một trục đặc sẽ cần d = 46,7 mm; trục rỗng lớn hơn một chút nhưng nhẹ hơn nhiều.

4.Xoắn của trục

Đáp số: d = 45,5 mm

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen xoắn

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s
T = P/ω = 10000/52,36 = 191 N·m

Đường kính theo điều kiện bền

T = 191 N·m = 190986 N·mm
dτ = ∛(16·190986/(π·60)) = 25,31 mm

Đường kính theo điều kiện cứng

θ = 1·π/180/1000 = 1,745 × 10⁻⁵ rad/mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
dφ = (32·190986/(π·26000·1,745 × 10⁻⁵))1/4 = 45,5 mm

Đường kính quyết định

Cả hai giới hạn đều phải thỏa, nên đường kính lớn hơn quyết định.

d = max(25,31, 45,5) = 45,5 mm

Đáp số

d = 45,5 mm

Ở đây điều kiện cứng quyết định.

5.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: Mx = 9 kN·m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt.

Phản lực gối

Cân bằng của cả dầm.

Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 6·4 = 24 kN, đặt tại x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 6·4·2
RB = 48/4 = 12 kN
ΣFy = 0: RA = 24 − 12 = 12 kN
w = 6 kN/mABRA​ = 12RB​ = 12mặt cắt3 m1 m

Cắt tại x = 3 m và giữ phần bên trái

Chỉ các lực bên trái mặt cắt xuất hiện. Phần tải phân bố đều được thay bằng một lực đặt tại giữa phần đó.

M = RA·x − (mỗi tải bên trái mặt cắt × cánh tay đòn đến mặt cắt)
Mx = 12·3 − 6·3·1,5 = 9 kN·m

Đáp số

Mx = 9 kN·m
6.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: Mx = 83,13 kN·m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt.

Phản lực gối

Cân bằng của cả dầm.

Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 3·8 = 24 kN, đặt tại x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 50·4 + 3·8·4
RB = 296/8 = 37 kN
ΣFy = 0: RA = 74 − 37 = 37 kN
w = 3 kN/mP = 50 kNABRA​ = 37RB​ = 37mặt cắt2,5 m1,5 m4 m

Cắt tại x = 2,5 m và giữ phần bên trái

Chỉ các lực bên trái mặt cắt xuất hiện. Phần tải phân bố đều được thay bằng một lực đặt tại giữa phần đó.

M = RA·x − (mỗi tải bên trái mặt cắt × cánh tay đòn đến mặt cắt)
Mx = 37·2,5 − 3·2,5·1,25 = 83,13 kN·m

Đáp số

Mx = 83,13 kN·m
7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: r = 58,71 mm

Mô-men quán tính của tiết diện: với hình chữ nhật đối với trục qua trọng tâm của nó I = bh³/12, và đối với trục đáy bh³/3 (định lý trục song song I = Ic + A·d²). Lỗ rỗng được xử lý bằng cách trừ đi I của nó, miễn là cả hai phần có chung một trục. Mô-đun chống uốn đàn hồi là S = I/c, với c là khoảng cách đến thớ ngoài cùng. Bán kính quán tính r = √(I/A) là khoảng cách mà tại đó toàn bộ diện tích cho cùng giá trị I; nó được dùng trong bài toán mất ổn định của cột.

Diện tích thực và mô-men quán tính

A = π(D² − d²)/4 = 2086 mm²
I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 7,189 × 10⁶ mm⁴

Bán kính quán tính

r = √(I/A) = √(7,189 × 10⁶/2086) = 58,71 mm

Đáp số

r = 58,71 mm
8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: Ix = 334 × 10⁶ mm⁴

Tiết diện có lỗ: coi lỗ là một diện tích âm. Trọng tâm là ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), với A₁, y₁ cho tấm đầy đủ và A₂, y₂ cho lỗ. Với mômen quán tính diện tích quanh trục đi qua trọng tâm, dùng định lý trục song song cho từng phần rồi trừ lỗ: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm riêng của mỗi phần đến trục đi qua ȳ. Hình chữ nhật có Ic = bh³/12 và hình tròn có Ic = πd⁴/64.

Trọng tâm

ȳ = (45000·150 − 3200·180)/(45000 − 3200) = 147,7 mm

Tấm đầy đủ quanh ȳ

150·300³/12 + 45000·2,297² = 337,7 × 10⁶ mm⁴

Lỗ quanh ȳ

80·40³/12 + 3200·32,3² = 3,765 × 10⁶ mm⁴

Trừ

Ix = 334 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

Ix = 334 × 10⁶ mm⁴
9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: θs = 52,97 °

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

στxyCτmax​

Góc trên vòng tròn

Trên vòng tròn Mohr, điểm trên cùng (+R) lệch 90° so với điểm chính σ₁; trên phân tố đó là 45°.

cos 2θs = −10/36,4 = −0,2747, sin 2θs = −(−35)/36,4 = 0,9615
2θs = atan2(35, −10) = 105,9°

Góc trên phần tử

θs = 52,97°
kiểm tra: θs − θp = 52,97 − (−82,03) = 135°

Đáp số

θs = 52,97°

Góc dương là ngược chiều kim đồng hồ.

10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: τθ = −44,6 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

Phương trình biến đổi

τθ = −40·0,9848 + 30·−0,1736 = −44,6 MPa

Đáp số

τθ = −44,6 MPa
11.Độ võng của dầm

Đáp số: δmax = 19,38 mm

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 5000 mm
EI = 8,4 × 10¹¹ N·mm²

Độ võng

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·5000⁴/(384·8,4 × 10¹¹) = 19,38 mm

Đáp số

δmax = 19,38 mm
12.Độ võng của dầm

Đáp số: δmax = 10,67 mm

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

P = 12000 N, w = 20 N/mm, L = 2500 mm, EI = 1,32 × 10¹² N·mm²

Từng tải riêng rẽ

δP = PL³/(48EI) = 12000·2500³/(48·1,32 × 10¹²) = 2,959 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·2500⁴/(384·1,32 × 10¹²) = 7,706 mm

Cộng lại

δmax = 2,959 + 7,706 = 10,67 mm

Đáp số

δmax = 10,67 mm
13.Mất ổn định cột

Đáp số: Pcr = 105,3 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Hình chữ nhật oằn quanh trục yếu, dùng kích thước nhỏ hơn lập phương.

Imin = h·b³/12 = 80·20³/12 = 53333 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 1·1000 = 1000 mm

Tải trọng tới hạn

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·53333/1000² = 105276 N = 105,3 kN

Đáp số

Pcr = 105,3 kN
14.Mất ổn định cột

Đáp số: d = 108,6 mm

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Tải trọng tới hạn yêu cầu

Pcr = n·P = 3·125000 = 375000 N
KL = 1·6000 = 6000 mm

Giải tìm đường kính

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·375000·6000²/(π³·200000))^(1/4) = 108,6 mm

Đáp số

d = 108,6 mm

Kiểm tra: độ mảnh KL/r là 220,9, nên cột là mảnh và công thức Euler áp dụng được.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials