Sức bền vật liệu: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 14 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp: σ = F/A
Biến dạng: ε = ΔL/L
Định luật Hooke: σ = E·ε
Độ giãn dài: ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt: ε_T = α·ΔT

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp: τ = T·r/J
Trục đặc: J = πd⁴/32
Trục rỗng: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn: φ = TL/(GJ)
Công suất: P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lực cắt và mômen uốn

Lực cắt và mômen: V = ΣF ở một phía, M = ΣF·d ở một phía
Ứng suất uốn: σ = M·y/I
Hình chữ nhật: I = bh³/12
Mômen chống uốn của mặt cắt: W = I/y_max
Dầm đơn giản, tải phân bố đều: M_max = wL²/8

Phương pháp

Tìm phản lực gối từ cân bằng của cả dầm.
Cắt dầm tại mặt cắt bạn cần và giữ lại một phía.
Lực cắt: tổng các lực thẳng đứng ở phía đó. Mômen uốn: tổng mômen của chúng quanh mặt cắt.
Để tìm mômen lớn nhất, hãy tìm nơi lực cắt bằng không.

Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Trọng tâm: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Hình chữ nhật: I = bh³/12
Định lý trục song song: I = I_c + A·d²
Mặt cắt ghép: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm: C = (σ_x + σ_y)/2
Bán kính: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Ứng suất chính: σ_1,2 = C ± R
Phương chính: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Mặt phẳng nghiêng: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Phương pháp

Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Độ võng của dầm

Tải tập trung ở giữa nhịp: δ = PL³/(48EI)
Tải phân bố đều, dầm đơn giản: δ = 5wL⁴/(384EI)
Công xôn, tải ở đầu: δ = PL³/(3EI)
Công xôn, tải phân bố đều: δ = wL⁴/(8EI)
Nguyên lý xếp chồng: δ = δ₁ + δ₂

Mất ổn định cột

Tải Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán: K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn: σ_cr = P_cr/A
Độ mảnh: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Bài tập

1.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình

Một thanh thép (đường kính 20 mm, E = 200 GPa) nằm trong một ống làm bằng nhôm (đường kính ngoài 120 mm, đường kính trong 50 mm, E = 70 GPa). Cả hai dài 500 mm và bị nén cùng nhau giữa các tấm cứng bởi 200 kN. Tìm độ co ngắn δ.

P = 200 kNthanh: Ø20 mm, E = 200 GPaống: Ø120/Ø50 mm, E = 70 GPaL = 500 mm

δ = mm

2.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó

Một thanh thép (đường kính 40 mm, E = 200 GPa, ứng suất cho phép 120 MPa) nằm trong một ống làm bằng đồng (đường kính ngoài 120 mm, đường kính trong 50 mm, E = 120 GPa, ứng suất cho phép 100 MPa). Chúng bị nén cùng nhau giữa các tấm cứng. Tìm tải lớn nhất P_max.

thanh: Ø40 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 120 MPaống: Ø120/Ø50 mm, E = 120 GPa, σ_allow = 100 MPa

P_max = kN

3.Xoắn của trụcTrung bình

Một trục đặc thép được ngàm vào tường và bị xoắn bởi mômen xoắn T ở đầu tự do. Tìm góc xoắn φ của đầu tự do, theo độ.

T = 500 N·md = 40 mmL = 1,2 mG = 80 GPa

φ = °

4.Xoắn của trụcKhó

Một trục rỗng truyền 10 kW ở 1000 rpm. Tìm ứng suất tiếp lớn nhất τ_max trong trục.

P = 10 kWN = 1000 rpmd_o = 50 mmd_i = 30 mm

τ_max = MPa

5.Lực cắt và mômen uốnTrung bình

Các điểm đánh dấu từ A đến G chia dầm thành sáu phần bằng nhau. Tại điểm nào mômen uốn có độ lớn lớn nhất, dù võng hay vồng? Nhấp vào nó trong sơ đồ.

50 kN @ 1 m10 kN @ 4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Lực cắt và mômen uốnKhó

Tìm mômen uốn M_x tại mặt cắt x = 3 m tính từ gối A. Coi mômen làm dầm võng xuống là dương và lực cắt hướng lên trên mặt trái là dương.

L = 4 mP = 40 kN tại 2 mw = 6 kN/m từ 0 đến 4 mx = 3 m

M_x = kN·m

7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtTrung bình

Tìm mômen quán tính I_x của mặt cắt chữ T đối với trục ngang x đi qua trọng tâm.

b_f = 240 mmt_f = 15 mmt_w = 8 mmh_w = 300 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtKhó

Một dầm gang có tiết diện chữ T như hình, cánh nằm phía trên. Ứng suất cho phép là 50 MPa khi kéo và 150 MPa khi nén. Tìm mô-men uốn võng xuống lớn nhất M_allow mà dầm có thể chịu.

b_f = 200 mmt_f = 15 mmt_w = 16 mmh_w = 160 mmσ_t,allow = 50 MPaσ_c,allow = 150 MPa

M_allow = kN·m

9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình

Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = 60 MPa, σᵧ = 90 MPa và τₓᵧ = 30 MPa (kéo là dương). Tìm góc θ_p từ trục x đến phương của ứng suất chính lớn nhất, trong khoảng −90° đến 90°.

σ_x = 60 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = 30 MPa

θ_p = °

10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó

Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = 80 MPa, σᵧ = 110 MPa và τₓᵧ = −10 MPa (kéo là dương). Tìm ứng suất tiếp τ_θ trên một mặt có pháp tuyến xoay 40° ngược chiều kim đồng hồ so với trục x (dương cùng chiều với τₓᵧ).

σ_x = 80 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = −10 MPaθ = 40°

τ_θ = MPa

11.Độ võng của dầmTrung bình

Một dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w trên toàn nhịp. Tìm độ võng lớn nhất δ_max, tại giữa nhịp.

w = 6 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (thép)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Độ võng của dầmKhó

Một dầm công-xôn có gối chống ngàm tại A và tựa đơn (chống) tại B. Dầm chịu một lực tập trung P tại giữa nhịp. EI không đổi. Tìm phản lực R_B tại gối chống.

L = 4 mP = 75 kN tại 2 m

R_B = kN

13.Mất ổn định cộtTrung bình

Một cột dài L làm bằng nhôm được ngàm ở chân và tự do ở đỉnh. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn P_cr của nó.

L = 2,5 mE = 70 GPa (nhôm)b × h = 30 × 60 mm

P_cr = kN

14.Mất ổn định cộtKhó

Một cột dài L làm bằng thép được hai đầu khớp. Tìm độ mảnh của nó và ứng suất oằn tới hạn σ_cr theo công thức Euler.

L = 3 mE = 200 GPa (thép)d = 25 mm

σ_cr = MPa

3Dung dịch

1.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: δ = 0,1395 mm

Hai vật liệu: khi nối tiếp (cái này sau cái kia) mỗi đoạn chịu cùng một lực và các độ giãn dài cộng lại: δ = P·Σ L/(E·A). Khi song song (cạnh nhau giữa các tấm cứng) cả hai phần co lại cùng một lượng, nên biến dạng của chúng bằng nhau: phần cứng hơn nhận phần tải lớn hơn, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, và σ_i = E_i·ε. Một thanh bị giữ giữa hai vách cứng với tải đặt tại chỗ nối là siêu tĩnh: hai đoạn chia tải theo tỉ lệ độ cứng k = EA/L của chúng.

Diện tích

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

Độ cứng dọc trục kết hợp

ΣEA = 200·10³·314,2 + 70·10³·9346 = 7,171 × 10⁸ N

Độ co ngắn

δ = 200000·500/7,171 × 10⁸ = 0,1395 mm

Đáp số

δ = 0,1395 mm

2.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: P_max = 823,7 kN

Diện tích

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

Độ cứng dọc trục kết hợp

ΣEA = 200·10³·1257 + 120·10³·9346 = 1,373 × 10⁹ N

Biến dạng quyết định

ε = min(0,0006, 0,0008333) = 0,0006 (thép)

Tải lớn nhất

P_max = 0,0006·1,373 × 10⁹ = 823726 N = 823,7 kN

Đáp số

P_max = 823,7 kN

3.Xoắn của trục

Đáp số: φ = 1,71 °

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τ_max = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen quán tính độc cực của mặt cắt

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Góc xoắn

φ = TL/(GJ) = 500·1000·1200/(80000·251327) = 0,02984 rad

φ = 0,02984·180/π = 1,71°

Đáp số

φ = 1,71°

4.Xoắn của trục

Đáp số: τ_max = 4,47 MPa

Mômen xoắn

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s

T = P/ω = 10000/104,7 = 95,49 N·m

Mômen quán tính độc cực của mặt cắt

J = π(50⁴ − 30⁴)/32 = 534071 mm⁴

Ứng suất tiếp lớn nhất

τ_max = T·(d_o/2)/J = 95493·25/534071 = 4,47 MPa

Đáp số

τ_max = 4,47 MPa

5.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: B (x = 1 m)

Mômen uốn lớn nhất: M đổi độ dốc ở bất cứ chỗ nào lực cắt thay đổi, nên các đỉnh của nó nằm nơi lực cắt đi qua không: dưới một tải tập trung, bên trong một tải phân bố, hoặc trên một gối của phần công-xon. Tại ngàm của dầm công-xon, mômen lớn nhất ở chân tường. So sánh độ lớn của M tại những chỗ đó, dù là mômen làm võng hay làm vồng.

Phản lực gối

Lấy mômen quanh một gối tựa, rồi dùng cân bằng lực thẳng đứng.

R₁ = 45 kN, R₂ = 15 kN

Mômen uốn tại mỗi điểm đánh dấu

Cộng các mômen của mọi lực ở một phía của mặt cắt. Võng là dương, vồng là âm.

M_A = 0, M_B = 45 kN·m, M_C = 40, M_D = 35, M_E = 30, M_F = 15, M_G = 0

Đáp số

Điểm đánh dấu B: M_B = 45 kN·m

6.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: M_x = 29 kN·m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt.

Phản lực gối

Cân bằng của cả dầm.

Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 6·4 = 24 kN, đặt tại x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 40·2 + 6·4·2

R_B = 128/4 = 32 kN

ΣF_y = 0: R_A = 64 − 32 = 32 kN

Cắt tại x = 3 m và giữ phần bên trái

Chỉ các lực bên trái mặt cắt xuất hiện. Phần tải phân bố đều được thay bằng một lực đặt tại giữa phần đó.

M = R_A·x − (mỗi tải bên trái mặt cắt × cánh tay đòn đến mặt cắt)

M_x = 32·3 − 40·(3 − 2) − 6·3·1,5 = 29 kN·m

Đáp số

M_x = 29 kN·m

7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: I_x = 53,79 × 10⁶ mm⁴

Diện tích ghép: chia mặt cắt thành các hình chữ nhật. Trọng tâm là trung bình có trọng số theo diện tích ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Mômen quán tính của mặt cắt đối với trục đi qua trọng tâm bằng tổng bh³/12 của từng phần và số hạng trục song song A·d², trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm của phần đó đến trọng tâm chung. Ứng suất uốn là σ = M·y/I.

Chia thành hai hình chữ nhật

Đo mọi y từ mép dưới.

cánh: A_f = 240·15 = 3600 mm², y_f = 300 + 15/2 = 307,5 mm

bụng: A_w = 8·300 = 2400 mm², y_w = 300/2 = 150 mm

Trọng tâm

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3600·307,5 + 2400·150)/6000 = 244,5 mm

Định lý trục song song

cánh: 240·15³/12 + 3600·(307,5 − 244,5)² = 1,436 × 10⁷ mm⁴

bụng: 8·300³/12 + 2400·(150 − 244,5)² = 3,943 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,436 × 10⁷ + 3,943 × 10⁷ = 5,379 × 10⁷ mm⁴ = 53,79 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

I_x = 53,79 × 10⁶ mm⁴

8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: M_allow = 6,325 kN·m

Trọng tâm

ȳ = (3000·167,5 + 2560·80)/5560 = 127,2 mm

cạnh trên: c = 175 − 127,2 = 47,79 mm

Mômen quán tính mặt cắt

I = 200·15³/12 + 3000·40,29² + 16·160³/12 + 2560·47,21² = 1,609 × 10⁷ mm⁴

Mô-men cho phép theo từng cạnh

Võng xuống: thớ trên chịu nén, thớ dưới chịu kéo.

cạnh trên: M = 150·1,609 × 10⁷/47,79 = 50,51 kN·m

cạnh dưới: M = 50·1,609 × 10⁷/127,2 = 6,325 kN·m

Giá trị quyết định

M_allow = min = 6,325 kN·m (cạnh dưới)

Đáp số

M_allow = 6,325 kN·m

9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: θ_p = 58,28 °

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

Góc trên vòng tròn

Điểm x nằm ở góc 2θp so với trục σ trên vòng tròn Mohr; góc phần tư suy ra từ dấu của σₓ − σᵧ và τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·30, 60 − 90) = 116,6°

Góc trên phần tử

θ_p = 58,28°

Đáp số

θ_p = 58,28°

Góc dương là ngược chiều kim đồng hồ.

10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: τ_θ = 13,04 MPa

Phương trình biến đổi

τ_θ = −−15·0,9848 + −10·0,1736 = 13,04 MPa

Đáp số

τ_θ = 13,04 MPa

11.Độ võng của dầm

Đáp số: δ_max = 2,035 mm

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

w = 6 N/mm, L = 5000 mm

EI = 2,4 × 10¹³ N·mm²

Độ võng

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·5000⁴/(384·2,4 × 10¹³) = 2,035 mm

Đáp số

δ_max = 2,035 mm

12.Độ võng của dầm

Đáp số: R_B = 23,44 kN

Bỏ gối chống đi

Khi không có gối chống, dầm là một dầm công-xôn. Đầu tự do của nó sẽ võng dưới tải.

δ_load = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Điều kiện tương thích tại gối chống

Chỉ riêng lực chống R_B nâng đầu tự do lên một đoạn R_BL³/(3EI). Gối chống giữ B có độ võng bằng không, nên hai độ võng phải triệt tiêu nhau. EI được khử.

R_B·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → R_B = 5P/16 = 5·75/16 = 23,44 kN

Đáp số

R_B = 23,44 kN

13.Mất ổn định cột

Đáp số: P_cr = 3,731 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại P_cr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Hình chữ nhật oằn quanh trục yếu, dùng kích thước nhỏ hơn lập phương.

I_min = h·b³/12 = 60·30³/12 = 135000 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 2·2500 = 5000 mm

Tải trọng tới hạn

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·135000/5000² = 3731 N = 3,731 kN

Đáp số

P_cr = 3,731 kN

14.Mất ổn định cột

Đáp số: σ_cr = 8,567 MPa

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Bán kính quán tính và độ mảnh

A = 490,9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm

KL = 1·3000 = 3000 mm

KL/r = 3000/6,25 = 480

Ứng suất tới hạn

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/480² = 8,567 MPa

Đáp số

σ_cr = 8,567 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials