Sức bền vật liệu: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 14 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp: σ = F/A
Biến dạng: ε = ΔL/L
Định luật Hooke: σ = E·ε
Độ giãn dài: ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt: ε_T = α·ΔT

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp: τ = T·r/J
Trục đặc: J = πd⁴/32
Trục rỗng: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn: φ = TL/(GJ)
Công suất: P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lực cắt và mômen uốn

Lực cắt và mômen: V = ΣF ở một phía, M = ΣF·d ở một phía
Ứng suất uốn: σ = M·y/I
Hình chữ nhật: I = bh³/12
Mômen chống uốn của mặt cắt: W = I/y_max
Dầm đơn giản, tải phân bố đều: M_max = wL²/8

Phương pháp

Tìm phản lực gối từ cân bằng của cả dầm.
Cắt dầm tại mặt cắt bạn cần và giữ lại một phía.
Lực cắt: tổng các lực thẳng đứng ở phía đó. Mômen uốn: tổng mômen của chúng quanh mặt cắt.
Để tìm mômen lớn nhất, hãy tìm nơi lực cắt bằng không.

Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Trọng tâm: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Hình chữ nhật: I = bh³/12
Định lý trục song song: I = I_c + A·d²
Mặt cắt ghép: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm: C = (σ_x + σ_y)/2
Bán kính: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Ứng suất chính: σ_1,2 = C ± R
Phương chính: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Mặt phẳng nghiêng: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Phương pháp

Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Độ võng của dầm

Tải tập trung ở giữa nhịp: δ = PL³/(48EI)
Tải phân bố đều, dầm đơn giản: δ = 5wL⁴/(384EI)
Công xôn, tải ở đầu: δ = PL³/(3EI)
Công xôn, tải phân bố đều: δ = wL⁴/(8EI)
Nguyên lý xếp chồng: δ = δ₁ + δ₂

Mất ổn định cột

Tải Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán: K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn: σ_cr = P_cr/A
Độ mảnh: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Bài tập

1.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình

Một thanh thép (đường kính 40 mm, E = 200 GPa) nằm trong một ống làm bằng đồng thau (đường kính ngoài 100 mm, đường kính trong 50 mm, E = 100 GPa). Cả hai dài 500 mm và bị nén cùng nhau giữa các tấm cứng bởi 80 kN. Tìm độ co ngắn δ.

P = 80 kNthanh: Ø40 mm, E = 200 GPaống: Ø100/Ø50 mm, E = 100 GPaL = 500 mm

δ = mm

2.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó

Một đoạn thép (đường kính 20 mm, chiều dài 300 mm, E = 200 GPa) và một đoạn làm bằng nhôm (đường kính 40 mm, chiều dài 500 mm, E = 70 GPa) được nối đầu với đầu và ngàm giữa hai vách cứng. Một tải dọc trục 50 kN tác dụng tại chỗ nối, hướng về phía đoạn 2. Tìm độ lớn ứng suất σ₂ trong đoạn 2.

đoạn 1: thép, Ø20 mm, 300 mm, E = 200 GPađoạn 2: nhôm, Ø40 mm, 500 mm, E = 70 GPaP = 50 kN

σ₂ = MPa

3.Xoắn của trụcTrung bình

Trong một thí nghiệm xoắn, một mẫu đặc đường kính 12 mm bị xoắn bởi mô-men xoắn 100 N·m. Hai đầu của một đoạn đo dài 400 mm quay 14,07° so với nhau (vật liệu vẫn còn đàn hồi). Tìm mô-đun cắt G của vật liệu.

T = 100 N·md = 12 mmL = 400 mmφ = 14,07°

G = GPa

4.Xoắn của trụcKhó

Một trục đặc thép truyền 30 kW ở 1000 rpm. Ứng suất cắt không được vượt quá 75 MPa và góc xoắn không được vượt quá 0,25° trên mỗi m chiều dài. Tìm đường kính nhỏ nhất d thỏa mãn cả hai giới hạn.

P = 30 kWN = 1000 rpmτ_allow = 75 MPaθ_allow = 0,25°/mG = 80 GPa

d = mm

5.Lực cắt và mômen uốnTrung bình

Các điểm đánh dấu từ A đến G chia dầm thành sáu phần bằng nhau. Tại điểm nào mômen uốn có độ lớn lớn nhất, dù võng hay vồng? Nhấp vào nó trong sơ đồ.

30 kN @ 10 m60 kN @ 8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Lực cắt và mômen uốnKhó

Dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w trên toàn bộ nhịp và một lực tập trung P. Tìm mô-men uốn lớn nhất M_max trong dầm.

L = 10 mP = 35 kN tại 9 mw = 12 kN/m từ 0 đến 10 m

M_max = kN·m

7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtTrung bình

Tìm mômen quán tính I_x của mặt cắt chữ T đối với trục ngang x đi qua trọng tâm.

b_f = 300 mmt_f = 25 mmt_w = 10 mmh_w = 280 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtKhó

Một tiết diện chữ I đối xứng có các cánh rộng 190 mm và dày 10 mm, chiều cao tổng thể 380 mm và bụng dày 10 mm. Nó chịu mô-men uốn 200 kN·m quanh trục x. Tìm độ lớn của ứng suất uốn σ_j tại chỗ nối giữa bụng và cánh trên.

B = 190 mmH = 380 mmt_f = 10 mmt_w = 10 mmM = 200 kN·m

σ_j = MPa

9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình

Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = 30 MPa, σᵧ = 30 MPa và τₓᵧ = 20 MPa (kéo là dương). Tìm góc θ_p từ trục x đến phương của ứng suất chính lớn nhất, trong khoảng −90° đến 90°.

σ_x = 30 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = 20 MPa

θ_p = °

10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó

Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = −80 MPa, σᵧ = 10 MPa và τₓᵧ = 40 MPa (kéo là dương). Tìm ứng suất tiếp τ_θ trên một mặt có pháp tuyến xoay 60° ngược chiều kim đồng hồ so với trục x (dương cùng chiều với τₓᵧ).

σ_x = −80 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = 40 MPaθ = 60°

τ_θ = MPa

11.Độ võng của dầmTrung bình

Một dầm công-xôn chịu tải phân bố đều w trên toàn bộ chiều dài và một lực tập trung P tại đầu tự do. Dùng nguyên lý chồng chất, tìm độ võng δ tại đầu tự do.

P = 24 kNw = 6 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (nhôm)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Độ võng của dầmKhó

Một dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w. Độ võng của nó không được vượt quá nhịp/360. Tìm mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt I_req thỏa mãn giới hạn này.

w = 15 kN/mL = 6 mE = 70 GPa (nhôm)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Mất ổn định cộtTrung bình

Một cột dài L làm bằng thép được ngàm ở chân và tự do ở đỉnh. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn P_cr của nó.

L = 2 mE = 200 GPa (thép)b × h = 40 × 100 mm

P_cr = kN

14.Mất ổn định cộtKhó

Một cột tròn đặc dài L làm bằng thép được ngàm cả hai đầu. Nó phải chịu 55 kN với hệ số an toàn 2 chống oằn. Tìm đường kính nhỏ nhất d.

P = 55 kNn = 2L = 4 mE = 200 GPa (thép)

d = mm

3Dung dịch

1.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: δ = 0,0476 mm

Hai vật liệu: khi nối tiếp (cái này sau cái kia) mỗi đoạn chịu cùng một lực và các độ giãn dài cộng lại: δ = P·Σ L/(E·A). Khi song song (cạnh nhau giữa các tấm cứng) cả hai phần co lại cùng một lượng, nên biến dạng của chúng bằng nhau: phần cứng hơn nhận phần tải lớn hơn, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, và σ_i = E_i·ε. Một thanh bị giữ giữa hai vách cứng với tải đặt tại chỗ nối là siêu tĩnh: hai đoạn chia tải theo tỉ lệ độ cứng k = EA/L của chúng.

Diện tích

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²

Độ cứng dọc trục kết hợp

ΣEA = 200·10³·1257 + 100·10³·5890 = 8,404 × 10⁸ N

Độ co ngắn

δ = 80000·500/8,404 × 10⁸ = 0,0476 mm

Đáp số

δ = 0,0476 mm

2.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: σ₂ = 18,16 MPa

Các độ cứng

k₁ = 200000·314,2/300 = 209440 N/mm

k₂ = 70000·1257/500 = 175929 N/mm

Phần của đoạn 2

F₂ = 50000·175929/385369 = 22826 N

Ứng suất

σ₂ = 22826/1257 = 18,16 MPa (nén)

Đáp số

σ₂ = 18,16 MPa

3.Xoắn của trục

Đáp số: G = 80,01 GPa

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τ_max = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mô-men quán tính độc cực và góc

J = π·12⁴/32 = 2036 mm⁴

φ = 14,07·π/180 = 0,2456 rad

Mô đun trượt

T = 100 N·m = 100000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 100000·400/(2036·0,2456) = 80014 MPa

G = 80,01 GPa

Đáp số

G = 80,01 GPa

So sánh: thép ≈ 80 GPa, đồng thau ≈ 39 GPa, nhôm ≈ 26 GPa.

4.Xoắn của trục

Đáp số: d = 53,77 mm

Mômen xoắn

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s

T = P/ω = 30000/104,7 = 286,5 N·m

Đường kính theo điều kiện bền

T = 286,5 N·m = 286479 N·mm

d_τ = ∛(16·286479/(π·75)) = 26,89 mm

Đường kính theo điều kiện cứng

θ = 0,25·π/180/1000 = 4,363 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

d_φ = (32·286479/(π·80000·4,363 × 10⁻⁶))^1/4 = 53,77 mm

Đường kính quyết định

Cả hai giới hạn đều phải thỏa, nên đường kính lớn hơn quyết định.

d = max(26,89, 53,77) = 53,77 mm

Đáp số

d = 53,77 mm

Ở đây điều kiện cứng quyết định.

5.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: E (x = 8 m)

Mômen uốn lớn nhất: M đổi độ dốc ở bất cứ chỗ nào lực cắt thay đổi, nên các đỉnh của nó nằm nơi lực cắt đi qua không: dưới một tải tập trung, bên trong một tải phân bố, hoặc trên một gối của phần công-xon. Tại ngàm của dầm công-xon, mômen lớn nhất ở chân tường. So sánh độ lớn của M tại những chỗ đó, dù là mômen làm võng hay làm vồng.

Phản lực gối

Lấy mômen quanh một gối tựa, rồi dùng cân bằng lực thẳng đứng.

R₁ = 25 kN, R₂ = 65 kN

Mômen uốn tại mỗi điểm đánh dấu

Cộng các mômen của mọi lực ở một phía của mặt cắt. Võng là dương, vồng là âm.

M_A = 0, M_B = 50, M_C = 100, M_D = 150, M_E = 200 kN·m, M_F = 130, M_G = 0

Đáp số

Điểm đánh dấu E: M_E = 200 kN·m

6.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: M_max = 168 kN·m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt. Mô-men lớn nhất: vì dM/dx = V, mô-men uốn đạt cực trị tại nơi lực cắt đi qua không, hoặc tại một lực tập trung hoặc bên trong một tải phân bố.

Phản lực gối

Cân bằng của cả dầm.

Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 12·10 = 120 kN, đặt tại x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 35·9 + 12·10·5

R_B = 915/10 = 91,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 155 − 91,5 = 63,5 kN

V = 0 ở đâu?

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 63,5/12 = 5,292 m

Mô-men lớn nhất

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = 63,5·5,292 − 12·5,292²/2 = 168 kN·m

Đáp số

M_max = 168 kN·m

Nó xảy ra tại x = 5,292 m tính từ A.

7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: I_x = 66,1 × 10⁶ mm⁴

Diện tích ghép: chia mặt cắt thành các hình chữ nhật. Trọng tâm là trung bình có trọng số theo diện tích ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Mômen quán tính của mặt cắt đối với trục đi qua trọng tâm bằng tổng bh³/12 của từng phần và số hạng trục song song A·d², trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm của phần đó đến trọng tâm chung. Ứng suất uốn là σ = M·y/I.

Chia thành hai hình chữ nhật

Đo mọi y từ mép dưới.

cánh: A_f = 300·25 = 7500 mm², y_f = 280 + 25/2 = 292,5 mm

bụng: A_w = 10·280 = 2800 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

Trọng tâm

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (7500·292,5 + 2800·140)/10300 = 251 mm

Định lý trục song song

cánh: 300·25³/12 + 7500·(292,5 − 251)² = 1,328 × 10⁷ mm⁴

bụng: 10·280³/12 + 2800·(140 − 251)² = 5,282 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,328 × 10⁷ + 5,282 × 10⁷ = 6,61 × 10⁷ mm⁴ = 66,1 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

I_x = 66,1 × 10⁶ mm⁴

8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: σ_j = 213,1 MPa

Hình chữ nhật ngoài trừ hai phần khuyết hai bên

Hai phần khuyết cộng lại rộng (B − t_w) và cao h_w = H − 2t_f, và có chung trục x.

h_w = 380 − 2·10 = 360 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (190·380³ − 180·360³)/12

I_x = 1,69 × 10⁸ mm⁴

Ứng suất uốn

y = 190 − 10 = 180 mm

σ = M·y/I = 2 × 10⁸·180/1,69 × 10⁸ = 213,1 MPa

Đáp số

σ_j = 213,1 MPa

9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: θ_p = 45 °

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

Góc trên vòng tròn

Điểm x nằm ở góc 2θp so với trục σ trên vòng tròn Mohr; góc phần tư suy ra từ dấu của σₓ − σᵧ và τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·20, 30 − 30) = 90°

Góc trên phần tử

θ_p = 45°

Đáp số

θ_p = 45°

Góc dương là ngược chiều kim đồng hồ.

10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: τ_θ = 18,97 MPa

Phương trình biến đổi

τ_θ = −−45·0,866 + 40·−0,5 = 18,97 MPa

Đáp số

τ_θ = 18,97 MPa

11.Độ võng của dầm

Đáp số: δ = 12,93 mm

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

P = 24000 N, w = 6 N/mm, L = 2000 mm

EI = 5,88 × 10¹² N·mm²

Từng tải riêng rẽ

δ_P = PL³/(3EI) = 24000·2000³/(3·5,88 × 10¹²) = 10,88 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 6·2000⁴/(8·5,88 × 10¹²) = 2,041 mm

Cộng lại

δ = 10,88 + 2,041 = 12,93 mm

Đáp số

δ = 12,93 mm

12.Độ võng của dầm

Đáp số: I_req = 217 × 10⁶ mm⁴

Giới hạn độ võng

δ_allow = L/360 = 6000/360 = 16,67 mm

Mômen quán tính mặt cắt yêu cầu

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·15·6000⁴/(384·70000·16,67) = 2,17 × 10⁸ mm⁴

I_req = 217 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

I_req = 217 × 10⁶ mm⁴

13.Mất ổn định cột

Đáp số: P_cr = 65,8 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại P_cr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Hình chữ nhật oằn quanh trục yếu, dùng kích thước nhỏ hơn lập phương.

I_min = h·b³/12 = 100·40³/12 = 533333 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 2·2000 = 4000 mm

Tải trọng tới hạn

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·533333/4000² = 65797 N = 65,8 kN

Đáp số

P_cr = 65,8 kN

14.Mất ổn định cột

Đáp số: d = 46,16 mm

Tải trọng tới hạn yêu cầu

P_cr = n·P = 2·55000 = 110000 N

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Giải tìm đường kính

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·110000·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 46,16 mm

Đáp số

d = 46,16 mm

Kiểm tra: độ mảnh KL/r là 173,3, nên cột là mảnh và công thức Euler áp dụng được.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials