Sức bền vật liệu: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 14 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp: σ = F/A
Biến dạng: ε = ΔL/L
Định luật Hooke: σ = E·ε
Độ giãn dài: ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt: ε_T = α·ΔT

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp: τ = T·r/J
Trục đặc: J = πd⁴/32
Trục rỗng: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn: φ = TL/(GJ)
Công suất: P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lực cắt và mômen uốn

Lực cắt và mômen: V = ΣF ở một phía, M = ΣF·d ở một phía
Ứng suất uốn: σ = M·y/I
Hình chữ nhật: I = bh³/12
Mômen chống uốn của mặt cắt: W = I/y_max
Dầm đơn giản, tải phân bố đều: M_max = wL²/8

Phương pháp

Tìm phản lực gối từ cân bằng của cả dầm.
Cắt dầm tại mặt cắt bạn cần và giữ lại một phía.
Lực cắt: tổng các lực thẳng đứng ở phía đó. Mômen uốn: tổng mômen của chúng quanh mặt cắt.
Để tìm mômen lớn nhất, hãy tìm nơi lực cắt bằng không.

Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Trọng tâm: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Hình chữ nhật: I = bh³/12
Định lý trục song song: I = I_c + A·d²
Mặt cắt ghép: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm: C = (σ_x + σ_y)/2
Bán kính: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Ứng suất chính: σ_1,2 = C ± R
Phương chính: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Mặt phẳng nghiêng: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Phương pháp

Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Độ võng của dầm

Tải tập trung ở giữa nhịp: δ = PL³/(48EI)
Tải phân bố đều, dầm đơn giản: δ = 5wL⁴/(384EI)
Công xôn, tải ở đầu: δ = PL³/(3EI)
Công xôn, tải phân bố đều: δ = wL⁴/(8EI)
Nguyên lý xếp chồng: δ = δ₁ + δ₂

Mất ổn định cột

Tải Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán: K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn: σ_cr = P_cr/A
Độ mảnh: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Bài tập

1.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình

Tìm biến dạng dọc trục ε trong thanh đồng thau, tính bằng microstrain (µε = 10⁻⁶).

P = 85 kNd = 25 mmL = 3 mE = 100 GPa

ε = µε

2.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó

Một đoạn thép (đường kính 25 mm, chiều dài 500 mm, E = 200 GPa) và một đoạn làm bằng đồng thanh (đường kính 30 mm, chiều dài 500 mm, E = 110 GPa) được nối đầu với đầu và ngàm giữa hai vách cứng. Một tải dọc trục 60 kN tác dụng tại chỗ nối, hướng về phía đoạn 2. Tìm độ lớn ứng suất σ₂ trong đoạn 2.

đoạn 1: thép, Ø25 mm, 500 mm, E = 200 GPađoạn 2: đồng thanh, Ø30 mm, 500 mm, E = 110 GPaP = 60 kN

σ₂ = MPa

3.Xoắn của trụcTrung bình

Một trục đặc thép có bậc được ngàm tại A. Đoạn AB có đường kính 30 mm và chiều dài 2 m; đoạn BC có đường kính 25 mm và chiều dài 0,5 m. Một mô-men xoắn 250 N·m tác dụng tại đầu tự do C. Tìm ứng suất cắt lớn nhất τ_max trong trục.

T = 250 N·md₁ = 30 mm, L₁ = 2 md₂ = 25 mm, L₂ = 0,5 m

τ_max = MPa

4.Xoắn của trụcKhó

Một trục đặc phải truyền 100 kW ở 1800 rpm mà ứng suất tiếp không vượt quá 80 MPa. Tìm đường kính nhỏ nhất d thỏa mãn.

P = 100 kWN = 1800 rpmτ_allow = 80 MPa

d = mm

5.Lực cắt và mômen uốnTrung bình

Các điểm đánh dấu từ A đến G chia dầm thành sáu phần bằng nhau. Tại điểm nào mômen uốn có độ lớn lớn nhất, dù võng hay vồng? Nhấp vào nó trong sơ đồ.

50 kN @ 6 m6 kN/m, 0–12 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Lực cắt và mômen uốnKhó

40 kN @ 0 m25 kN @ 12 m55 kN @ 6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtTrung bình

Tìm mômen quán tính I_x của mặt cắt chữ T đối với trục ngang x đi qua trọng tâm.

b_f = 100 mmt_f = 30 mmt_w = 10 mmh_w = 100 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtKhó

Một tiết diện chữ I đối xứng có các cánh rộng 180 mm và dày 14 mm, chiều cao tổng thể 480 mm và bụng dày 14 mm. Nó chịu mô-men uốn 200 kN·m quanh trục x. Tìm độ lớn của ứng suất uốn σ_j tại chỗ nối giữa bụng và cánh trên.

B = 180 mmH = 480 mmt_f = 14 mmt_w = 14 mmM = 200 kN·m

σ_j = MPa

9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình

Một điểm có σₓ = 70 MPa, σᵧ = 30 MPa và τₓᵧ = 30 MPa (kéo là dương). Phân tố được xoay 45° cùng chiều kim đồng hồ. Tìm ứng suất pháp σ_y′ trên các mặt của phân tố đã xoay vuông góc với trục y′ sau khi xoay.

σ_x = 70 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = 30 MPaθ = -45°

σ_y′ = MPa

10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó

Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = 120 MPa, σᵧ = 110 MPa và τₓᵧ = −20 MPa (kéo là dương). Tìm ứng suất tiếp τ_θ trên một mặt có pháp tuyến xoay 60° ngược chiều kim đồng hồ so với trục x (dương cùng chiều với τₓᵧ).

σ_x = 120 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = −20 MPaθ = 60°

τ_θ = MPa

11.Độ võng của dầmTrung bình

Một dầm công-xôn dài L ngàm tại A và chịu lực tập trung P tại vị trí cách A một đoạn a = 2,5 m. Tìm độ võng δ_B tại đầu tự do B.

P = 16 kNa = 2,5 mL = 4 mE = 200 GPa (thép)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

12.Độ võng của dầmKhó

Một dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w. Độ võng của nó không được vượt quá nhịp/360. Tìm mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt I_req thỏa mãn giới hạn này.

w = 5 kN/mL = 8 mE = 70 GPa (nhôm)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Mất ổn định cộtTrung bình

Một cột dài L làm bằng nhôm được ngàm ở chân và khớp ở đỉnh. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn P_cr của nó.

L = 3 mE = 70 GPa (nhôm)d = 60 mm

P_cr = kN

14.Mất ổn định cộtKhó

Một cột tròn đặc dài L làm bằng nhôm được ngàm ở chân và tự do ở đỉnh. Nó phải chịu 150 kN với hệ số an toàn 3 chống oằn. Tìm đường kính nhỏ nhất d.

P = 150 kNn = 3L = 6 mE = 70 GPa (nhôm)

d = mm

3Dung dịch

1.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: ε = 1732 µε

Định luật Hooke: trong giới hạn đàn hồi σ = E·ε. Kết hợp với σ = P/A và ε = δ/L ta được δ = PL/(AE).

Ứng suất

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 85·1000/490,9 = 173,2 MPa

Biến dạng (định luật Hooke)

E for đồng thau = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 173,2/100000 = 0,001732 = 1732 µε

Đáp số

ε = 1732 µε

2.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: σ₂ = 37,52 MPa

Hai vật liệu: khi nối tiếp (cái này sau cái kia) mỗi đoạn chịu cùng một lực và các độ giãn dài cộng lại: δ = P·Σ L/(E·A). Khi song song (cạnh nhau giữa các tấm cứng) cả hai phần co lại cùng một lượng, nên biến dạng của chúng bằng nhau: phần cứng hơn nhận phần tải lớn hơn, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, và σ_i = E_i·ε. Một thanh bị giữ giữa hai vách cứng với tải đặt tại chỗ nối là siêu tĩnh: hai đoạn chia tải theo tỉ lệ độ cứng k = EA/L của chúng.

Các độ cứng

k₁ = 200000·490,9/500 = 196350 N/mm

k₂ = 110000·706,9/500 = 155509 N/mm

Phần của đoạn 2

F₂ = 60000·155509/351858 = 26518 N

Ứng suất

σ₂ = 26518/706,9 = 37,52 MPa (nén)

Đáp số

σ₂ = 37,52 MPa

3.Xoắn của trục

Đáp số: τ_max = 81,49 MPa

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τ_max = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Ứng suất trong từng đoạn

T = 250 N·m = 250000 N·mm

τ_AB = 16·250000/(π·30³) = 47,16 MPa

τ_BC = 16·250000/(π·25³) = 81,49 MPa

Đáp số

τ_max = 81,49 MPa

4.Xoắn của trục

Đáp số: d = 32,32 mm

Mômen xoắn

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

T = P/ω = 100000/188,5 = 530,5 N·m

Đường kính từ ứng suất cho phép

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·530516/(π·80)) = 32,32 mm

Đáp số

d = 32,32 mm

Trong thực tế bạn sẽ làm tròn lên kích thước tiêu chuẩn kế tiếp.

5.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: D (x = 6 m)

Mômen uốn lớn nhất: M đổi độ dốc ở bất cứ chỗ nào lực cắt thay đổi, nên các đỉnh của nó nằm nơi lực cắt đi qua không: dưới một tải tập trung, bên trong một tải phân bố, hoặc trên một gối của phần công-xon. Tại ngàm của dầm công-xon, mômen lớn nhất ở chân tường. So sánh độ lớn của M tại những chỗ đó, dù là mômen làm võng hay làm vồng.

Phản lực gối

Lấy mômen quanh một gối tựa, rồi dùng cân bằng lực thẳng đứng.

R₁ = 61 kN, R₂ = 61 kN

Mômen uốn tại mỗi điểm đánh dấu

Cộng các mômen của mọi lực ở một phía của mặt cắt. Võng là dương, vồng là âm.

M_A = 0, M_B = 110, M_C = 196, M_D = 258 kN·m, M_E = 196, M_F = 110, M_G = 0

Đáp số

Điểm đánh dấu D: M_D = 258 kN·m

6.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: B (x = 2 m)

Phản lực gối

Lấy mômen quanh một gối tựa, rồi dùng cân bằng lực thẳng đứng.

R₁ = 71,25 kN, R₂ = 48,75 kN

Mômen uốn tại mỗi điểm đánh dấu

Cộng các mômen của mọi lực ở một phía của mặt cắt. Võng là dương, vồng là âm.

M_A = 0, M_B = −80 kN·m, M_C = −17,5, M_D = 45, M_E = −2,5, M_F = −50, M_G = 0

Đáp số

Điểm đánh dấu B: M_B = −80 kN·m

7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: I_x = 4,227 × 10⁶ mm⁴

Diện tích ghép: chia mặt cắt thành các hình chữ nhật. Trọng tâm là trung bình có trọng số theo diện tích ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Mômen quán tính của mặt cắt đối với trục đi qua trọng tâm bằng tổng bh³/12 của từng phần và số hạng trục song song A·d², trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm của phần đó đến trọng tâm chung. Ứng suất uốn là σ = M·y/I.

Chia thành hai hình chữ nhật

Đo mọi y từ mép dưới.

cánh: A_f = 100·30 = 3000 mm², y_f = 100 + 30/2 = 115 mm

bụng: A_w = 10·100 = 1000 mm², y_w = 100/2 = 50 mm

Trọng tâm

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3000·115 + 1000·50)/4000 = 98,75 mm

Định lý trục song song

cánh: 100·30³/12 + 3000·(115 − 98,75)² = 1,017 × 10⁶ mm⁴

bụng: 10·100³/12 + 1000·(50 − 98,75)² = 3,21 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1,017 × 10⁶ + 3,21 × 10⁶ = 4,227 × 10⁶ mm⁴ = 4,227 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

I_x = 4,227 × 10⁶ mm⁴

8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: σ_j = 118,5 MPa

Hình chữ nhật ngoài trừ hai phần khuyết hai bên

Hai phần khuyết cộng lại rộng (B − t_w) và cao h_w = H − 2t_f, và có chung trục x.

h_w = 480 − 2·14 = 452 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (180·480³ − 166·452³)/12

I_x = 3,814 × 10⁸ mm⁴

Ứng suất uốn

y = 240 − 14 = 226 mm

σ = M·y/I = 2 × 10⁸·226/3,814 × 10⁸ = 118,5 MPa

Đáp số

σ_j = 118,5 MPa

9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: σ_y′ = 80 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

Phương trình biến đổi cho mặt y′

σ_y′ = 50 − 20·0 − 30·(−1) = 80 MPa

Kiểm tra

Tổng các ứng suất pháp không thay đổi khi xoay.

σ_x′ = 20 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 100 = σ_x + σ_y

Đáp số

σ_y′ = 80 MPa

10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: τ_θ = 5,67 MPa

Phương trình biến đổi

τ_θ = −5·0,866 + −20·−0,5 = 5,67 MPa

Đáp số

τ_θ = 5,67 MPa

11.Độ võng của dầm

Đáp số: δ_B = 6,597 mm

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

P = 16000 N, a = 2500 mm, L = 4000 mm

EI = 2,4 × 10¹³ N·mm²

Độ võng ở đầu tự do

Độ võng tại tải cộng góc xoay tại tải nhân với chiều dài còn lại.

δ_P = Pa³/(3EI) = 3,472 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,002083 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 6,597 mm

Đáp số

δ_B = 6,597 mm

12.Độ võng của dầm

Đáp số: I_req = 171,4 × 10⁶ mm⁴

Giới hạn độ võng

δ_allow = L/360 = 8000/360 = 22,22 mm

Mômen quán tính mặt cắt yêu cầu

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·5·8000⁴/(384·70000·22,22) = 1,714 × 10⁸ mm⁴

I_req = 171,4 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

I_req = 171,4 × 10⁶ mm⁴

13.Mất ổn định cột

Đáp số: P_cr = 99,66 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại P_cr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Tải trọng tới hạn

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/2100² = 99663 N = 99,66 kN

Đáp số

P_cr = 99,66 kN

14.Mất ổn định cột

Đáp số: d = 209,1 mm

Tải trọng tới hạn yêu cầu

P_cr = n·P = 3·150000 = 450000 N

KL = 2·6000 = 12000 mm

Giải tìm đường kính

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·450000·12000²/(π³·70000))^(1/4) = 209,1 mm

Đáp số

d = 209,1 mm

Kiểm tra: độ mảnh KL/r là 229,6, nên cột là mảnh và công thức Euler áp dụng được.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials