Sức bền vật liệu: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 14 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp
σ = F/A
Biến dạng
ε = ΔL/L
Định luật Hooke
σ = E·ε
Độ giãn dài
ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt
εT = α·ΔT

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp
τ = T·r/J
Trục đặc
J = πd⁴/32
Trục rỗng
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn
φ = TL/(GJ)
Công suất
P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

  1. Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
  2. Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
  3. Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
  4. Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lực cắt và mômen uốn

Lực cắt và mômen
V = ΣF ở một phía, M = ΣF·d ở một phía
Ứng suất uốn
σ = M·y/I
Hình chữ nhật
I = bh³/12
Mômen chống uốn của mặt cắt
W = I/ymax
Dầm đơn giản, tải phân bố đều
Mmax = wL²/8

Phương pháp

  1. Tìm phản lực gối từ cân bằng của cả dầm.
  2. Cắt dầm tại mặt cắt bạn cần và giữ lại một phía.
  3. Lực cắt: tổng các lực thẳng đứng ở phía đó. Mômen uốn: tổng mômen của chúng quanh mặt cắt.
  4. Để tìm mômen lớn nhất, hãy tìm nơi lực cắt bằng không.

Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Trọng tâm
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Hình chữ nhật
I = bh³/12
Định lý trục song song
I = Ic + A·d²
Mặt cắt ghép
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm
C = (σx + σy)/2
Bán kính
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Ứng suất chính
σ1,2 = C ± R
Phương chính
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Mặt phẳng nghiêng
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Phương pháp

  1. Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
  4. Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Độ võng của dầm

Tải tập trung ở giữa nhịp
δ = PL³/(48EI)
Tải phân bố đều, dầm đơn giản
δ = 5wL⁴/(384EI)
Công xôn, tải ở đầu
δ = PL³/(3EI)
Công xôn, tải phân bố đều
δ = wL⁴/(8EI)
Nguyên lý xếp chồng
δ = δ1 + δ2

Mất ổn định cột

Tải Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán
K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn
σcr = Pcr/A
Độ mảnh
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Bài tập

1.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình
P = ?12300 mm200 mmØ40Ø50δ = 0,2 mm

Một thanh gồm một đoạn thép (đường kính 40 mm, chiều dài 300 mm, E = 200 GPa) nối đầu với đầu với một đoạn làm bằng nhôm (đường kính 50 mm, chiều dài 200 mm, E = 70 GPa). Nó được ngàm một đầu và bị kéo ở đầu kia. Tìm tải dọc trục P làm nó giãn tổng cộng 0,2 mm.

đoạn 1: thép, Ø40 mm, 300 mm, E = 200 GPađoạn 2: nhôm, Ø50 mm, 200 mm, E = 70 GPaδ = 0,2 mm
P = kN
2.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó
80 kN12400 mm300 mmØ30Ø40σ2​ = ?

Một đoạn thép (đường kính 30 mm, chiều dài 400 mm, E = 200 GPa) và một đoạn làm bằng nhôm (đường kính 40 mm, chiều dài 300 mm, E = 70 GPa) được nối đầu với đầu và ngàm giữa hai vách cứng. Một tải dọc trục 80 kN tác dụng tại chỗ nối, hướng về phía đoạn 2. Tìm độ lớn ứng suất σ2 trong đoạn 2.

đoạn 1: thép, Ø30 mm, 400 mm, E = 200 GPađoạn 2: nhôm, Ø40 mm, 300 mm, E = 70 GPaP = 80 kN
σ2 = MPa
3.Xoắn của trụcTrung bình
T = 400 N·md = 50 mmL = 0,5 mφ = ?

Một trục đặc nhôm được ngàm vào tường và bị xoắn bởi mômen xoắn T ở đầu tự do. Tìm góc xoắn φ của đầu tự do, theo độ.

T = 400 N·md = 50 mmL = 0,5 mG = 26 GPa
φ = °
4.Xoắn của trụcKhó
d = 60 mmT0​ = 100 N·mACBa = 1,2 mb = 1 m

Một trục đặc nhôm đường kính 60 mm được ngàm vào các tường cứng ở cả hai đầu A và B. Một mô-men xoắn 100 N·m đặt tại C, cách A 1,2 m và cách B 1 m. Tìm mô-men phản lực TA tại tường A.

d = 60 mmT0 = 100 N·ma = 1,2 mb = 1 m
TA = N·m
5.Lực cắt và mômen uốnTrung bình
w = 3 kN/mABmặt cắt4,5 m0,5 m

Tìm mômen uốn Mx tại mặt cắt x = 4,5 m tính từ gối A. Coi mômen làm dầm võng xuống là dương và lực cắt hướng lên trên mặt trái là dương.

L = 5 mw = 3 kN/m từ 0 đến 5 mx = 4,5 m
Mx = kN·m
6.Lực cắt và mômen uốnKhó
25 kN50 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

Các điểm đánh dấu từ A đến G chia dầm thành sáu phần bằng nhau. Tại điểm nào mômen uốn có độ lớn lớn nhất, dù võng hay vồng? Nhấp vào nó trong sơ đồ.

25 kN @ 6 m50 kN @ 3 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtTrung bình
150 mm300 mm210 mmØ30xIx​ = ?

Một tấm 150 mm × 300 mm có một lỗ tròn đường kính 30 mm trên đường tâm thẳng đứng, tâm lỗ cách đáy 210 mm. Tìm mômen quán tính diện tích Ix quanh trục nằm ngang đi qua trọng tâm.

b = 150 mmh = 300 mmd = 30 mmtâm lỗ: y = 210 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtKhó
1002524010xM = 25 kN·mkích thước tính bằng mm

Mặt cắt chữ T được dùng làm dầm với cánh ở trên và chịu mômen uốn làm võng xuống 25 kN·m. Tìm độ lớn ứng suất uốn σtrên ở mép trên.

bf = 100 mmtf = 25 mmtw = 10 mmhw = 240 mmM = 25 kN·m
σtrên = MPa
9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình
σx​ = 130σy​ = 10MPaτxy​ = ?

Một điểm có σₓ = 130 MPa và σᵧ = 10 MPa. Ứng suất cắt τxy (độ lớn) có thể lớn đến mức nào trước khi ứng suất chính lớn nhất đạt 140 MPa?

σx = 130 MPaσy = 10 MPaσ1 = 140 MPa
τxy = MPa
10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó
σx​ = 90σy​ = −30τxy​ = 20MPa

Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = 90 MPa, σᵧ = −30 MPa và τₓᵧ = 20 MPa (kéo là dương). Tìm ứng suất pháp σθ trên một mặt có pháp tuyến xoay 60° ngược chiều kim đồng hồ so với trục x.

σx = 90 MPaσy = −30 MPaτxy = 20 MPaθ = 60°
σθ = MPa
11.Độ võng của dầmTrung bình
w = 15 kN/mδL = 4 m

Một dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w trên toàn nhịp. Tìm độ võng lớn nhất δmax, tại giữa nhịp.

w = 15 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (nhôm)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.Độ võng của dầmKhó
w = 15 kN/mP = 25 kNδL = 8 m

Một dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w và một tải tập trung P ở giữa nhịp. Dùng nguyên lý xếp chồng, tìm độ võng giữa nhịp δmax.

P = 25 kNw = 15 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (thép)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.Mất ổn định cộtTrung bình
PL = 5 md = 40 mmmặt cắt ngang

Một cột dài L làm bằng thép được hai đầu khớp. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn Pcr của nó.

L = 5 mE = 200 GPa (thép)d = 40 mm
Pcr = kN
14.Mất ổn định cộtKhó
PL = 1 md = 40 mmmặt cắt ngang

Một cột dài L làm bằng nhôm được ngàm ở chân và tự do ở đỉnh. Tìm độ mảnh của nó và ứng suất oằn tới hạn σcr theo công thức Euler.

L = 1 mE = 70 GPa (nhôm)d = 40 mm
σcr = MPa

3Dung dịch

1.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: P = 75,51 kN

Hai vật liệu: khi nối tiếp (cái này sau cái kia) mỗi đoạn chịu cùng một lực và các độ giãn dài cộng lại: δ = P·Σ L/(E·A). Khi song song (cạnh nhau giữa các tấm cứng) cả hai phần co lại cùng một lượng, nên biến dạng của chúng bằng nhau: phần cứng hơn nhận phần tải lớn hơn, Pi = P·EiAi/ΣEA, và σi = Ei·ε. Một thanh bị giữ giữa hai vách cứng với tải đặt tại chỗ nối là siêu tĩnh: hai đoạn chia tải theo tỉ lệ độ cứng k = EA/L của chúng.

Diện tích

A₁ = 1257 mm², A₂ = 1963 mm²

Các độ mềm

L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·1257) = 1,194 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 200/(70000·1963) = 1,455 × 10⁻⁶ mm/N

Tải

P = 0,2/2,649 × 10⁻⁶ = 75506 N = 75,51 kN

Đáp số

P = 75,51 kN
2.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: σ2 = 28,87 MPa

Hai vật liệu: khi nối tiếp (cái này sau cái kia) mỗi đoạn chịu cùng một lực và các độ giãn dài cộng lại: δ = P·Σ L/(E·A). Khi song song (cạnh nhau giữa các tấm cứng) cả hai phần co lại cùng một lượng, nên biến dạng của chúng bằng nhau: phần cứng hơn nhận phần tải lớn hơn, Pi = P·EiAi/ΣEA, và σi = Ei·ε. Một thanh bị giữ giữa hai vách cứng với tải đặt tại chỗ nối là siêu tĩnh: hai đoạn chia tải theo tỉ lệ độ cứng k = EA/L của chúng.

Các độ cứng

k₁ = 200000·706,9/400 = 353429 N/mm
k₂ = 70000·1257/300 = 293215 N/mm

Phần của đoạn 2

F2 = 80000·293215/646644 = 36275 N

Ứng suất

σ2 = 36275/1257 = 28,87 MPa (nén)

Đáp số

σ2 = 28,87 MPa
3.Xoắn của trục

Đáp số: φ = 0,7183 °

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen quán tính độc cực của mặt cắt

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Góc xoắn

φ = TL/(GJ) = 400·1000·500/(26000·613592) = 0,01254 rad
φ = 0,01254·180/π = 0,7183°

Đáp số

φ = 0,7183°
4.Xoắn của trục

Đáp số: TA = 45,45 N·m

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω. Khi cả hai đầu bị ngàm, tĩnh học chỉ cho TA + TB = T₀; phương trình thứ hai là điều kiện tương thích (góc xoắn của hai phần bằng nhau tại tiết diện chịu tải).

Cân bằng và tương thích

TA + TB = 100
TA·a = TB·b
TA = 100·1/2,2 = 45,45 N·m
TB = 100·1,2/2,2 = 54,55 N·m

Đáp số

TA = 45,45 N·m
5.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: Mx = 3,375 kN·m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt.

Phản lực gối

Cân bằng của cả dầm.

Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 3·5 = 15 kN, đặt tại x̄ = 2,5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 3·5·2,5
RB = 37,5/5 = 7,5 kN
ΣFy = 0: RA = 15 − 7,5 = 7,5 kN
w = 3 kN/mABRA​ = 7,5RB​ = 7,5mặt cắt4,5 m0,5 m

Cắt tại x = 4,5 m và giữ phần bên trái

Chỉ các lực bên trái mặt cắt xuất hiện. Phần tải phân bố đều được thay bằng một lực đặt tại giữa phần đó.

M = RA·x − (mỗi tải bên trái mặt cắt × cánh tay đòn đến mặt cắt)
Mx = 7,5·4,5 − 3·4,5·2,25 = 3,375 kN·m

Đáp số

Mx = 3,375 kN·m
6.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: E (x = 4 m)

Mômen uốn lớn nhất: M đổi độ dốc ở bất cứ chỗ nào lực cắt thay đổi, nên các đỉnh của nó nằm nơi lực cắt đi qua không: dưới một tải tập trung, bên trong một tải phân bố, hoặc trên một gối của phần công-xon. Tại ngàm của dầm công-xon, mômen lớn nhất ở chân tường. So sánh độ lớn của M tại những chỗ đó, dù là mômen làm võng hay làm vồng.

Phản lực gối

Lấy mômen quanh một gối tựa, rồi dùng cân bằng lực thẳng đứng.

R1 = 0 kN, R2 = 75 kN

Mômen uốn tại mỗi điểm đánh dấu

Cộng các mômen của mọi lực ở một phía của mặt cắt. Võng là dương, vồng là âm.

MA = 0, MB = 0, MC = 0, MD = 0, ME = −50 kN·m, MF = −25, MG = 0

Đáp số

Điểm đánh dấu E: ME = −50 kN·m
7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: Ix = 334,9 × 10⁶ mm⁴

Tiết diện có lỗ: coi lỗ là một diện tích âm. Trọng tâm là ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), với A₁, y₁ cho tấm đầy đủ và A₂, y₂ cho lỗ. Với mômen quán tính diện tích quanh trục đi qua trọng tâm, dùng định lý trục song song cho từng phần rồi trừ lỗ: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm riêng của mỗi phần đến trục đi qua ȳ. Hình chữ nhật có Ic = bh³/12 và hình tròn có Ic = πd⁴/64.

Trọng tâm

ȳ = (45000·150 − 706,9·210)/(45000 − 706,9) = 149 mm

Tấm đầy đủ quanh ȳ

150·300³/12 + 45000·0,9575² = 337,5 × 10⁶ mm⁴

Lỗ quanh ȳ

π·30⁴/64 + 706,9·60,96² = 2,666 × 10⁶ mm⁴

Trừ

Ix = 334,9 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

Ix = 334,9 × 10⁶ mm⁴
8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: σtrên = 58,37 MPa

Diện tích ghép: chia mặt cắt thành các hình chữ nhật. Trọng tâm là trung bình có trọng số theo diện tích ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Mômen quán tính của mặt cắt đối với trục đi qua trọng tâm bằng tổng bh³/12 của từng phần và số hạng trục song song A·d², trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm của phần đó đến trọng tâm chung. Ứng suất uốn là σ = M·y/I.

Chia thành hai hình chữ nhật

Đo mọi y từ mép dưới.

cánh: Af = 100·25 = 2500 mm², yf = 240 + 25/2 = 252,5 mm
bụng: Aw = 10·240 = 2400 mm², yw = 240/2 = 120 mm

Trọng tâm

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (2500·252,5 + 2400·120)/4900 = 187,6 mm

Định lý trục song song

cánh: 100·25³/12 + 2500·(252,5 − 187,6)² = 1,066 × 10⁷ mm⁴
bụng: 10·240³/12 + 2400·(120 − 187,6)² = 2,249 × 10⁷ mm⁴
Ix = 1,066 × 10⁷ + 2,249 × 10⁷ = 3,315 × 10⁷ mm⁴

Ứng suất uốn

Mép trên cách trục h − ȳ.

y = 265 − 187,6 = 77,4 mm
σ = M·y/I = 2,5 × 10⁷·77,4/3,315 × 10⁷ = 58,37 MPa

Đáp số

σtrên = 58,37 MPa
9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: τxy = 36,06 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

Bán kính cần thiết

C = (130 + 10)/2 = 70 MPa
R = σ1 − C = 140 − 70 = 70 MPa
στxyCσ1​σ2​

Ứng suất tiếp

τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(70² − 60²) = 36,06 MPa

Đáp số

τxy = 36,06 MPa
10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: σθ = 17,32 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

Phương trình biến đổi

σθ = 30 + 60·−0,5 + 20·0,866 = 17,32 MPa

Đáp số

σθ = 17,32 MPa
11.Độ võng của dầm

Đáp số: δmax = 8,503 mm

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

w = 15 N/mm, L = 4000 mm
EI = 5,88 × 10¹² N·mm²

Độ võng

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·4000⁴/(384·5,88 × 10¹²) = 8,503 mm

Đáp số

δmax = 8,503 mm
12.Độ võng của dầm

Đáp số: δmax = 33,33 mm

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

P = 25000 N, w = 15 N/mm, L = 8000 mm, EI = 3,2 × 10¹³ N·mm²

Từng tải riêng rẽ

δP = PL³/(48EI) = 25000·8000³/(48·3,2 × 10¹³) = 8,333 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·8000⁴/(384·3,2 × 10¹³) = 25 mm

Cộng lại

δmax = 8,333 + 25 = 33,33 mm

Đáp số

δmax = 33,33 mm
13.Mất ổn định cột

Đáp số: Pcr = 9,922 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 1·5000 = 5000 mm

Tải trọng tới hạn

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/5000² = 9922 N = 9,922 kN

Đáp số

Pcr = 9,922 kN
14.Mất ổn định cột

Đáp số: σcr = 17,27 MPa

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Bán kính quán tính và độ mảnh

A = 1257 mm²
r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm
KL = 2·1000 = 2000 mm
KL/r = 2000/10 = 200

Ứng suất tới hạn

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/200² = 17,27 MPa

Đáp số

σcr = 17,27 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials