Sức bền vật liệu: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 14 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp
σ = F/A
Biến dạng
ε = ΔL/L
Định luật Hooke
σ = E·ε
Độ giãn dài
ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt
εT = α·ΔT

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp
τ = T·r/J
Trục đặc
J = πd⁴/32
Trục rỗng
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn
φ = TL/(GJ)
Công suất
P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

  1. Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
  2. Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
  3. Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
  4. Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lực cắt và mômen uốn

Lực cắt và mômen
V = ΣF ở một phía, M = ΣF·d ở một phía
Ứng suất uốn
σ = M·y/I
Hình chữ nhật
I = bh³/12
Mômen chống uốn của mặt cắt
W = I/ymax
Dầm đơn giản, tải phân bố đều
Mmax = wL²/8

Phương pháp

  1. Tìm phản lực gối từ cân bằng của cả dầm.
  2. Cắt dầm tại mặt cắt bạn cần và giữ lại một phía.
  3. Lực cắt: tổng các lực thẳng đứng ở phía đó. Mômen uốn: tổng mômen của chúng quanh mặt cắt.
  4. Để tìm mômen lớn nhất, hãy tìm nơi lực cắt bằng không.

Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Trọng tâm
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Hình chữ nhật
I = bh³/12
Định lý trục song song
I = Ic + A·d²
Mặt cắt ghép
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm
C = (σx + σy)/2
Bán kính
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Ứng suất chính
σ1,2 = C ± R
Phương chính
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Mặt phẳng nghiêng
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Phương pháp

  1. Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
  4. Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Độ võng của dầm

Tải tập trung ở giữa nhịp
δ = PL³/(48EI)
Tải phân bố đều, dầm đơn giản
δ = 5wL⁴/(384EI)
Công xôn, tải ở đầu
δ = PL³/(3EI)
Công xôn, tải phân bố đều
δ = wL⁴/(8EI)
Nguyên lý xếp chồng
δ = δ1 + δ2

Mất ổn định cột

Tải Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán
K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn
σcr = Pcr/A
Độ mảnh
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Bài tập

1.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình
Ø 30 mmĐồng thau2,5 mP = 50 kN

Tìm biến dạng dọc trục ε trong thanh đồng thau, tính bằng microstrain (µε = 10⁻⁶).

P = 50 kNd = 30 mmL = 2,5 mE = 100 GPa
ε = µε
2.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó
P = ?Ø2070 GPaØ120/70400 mm

Một thanh thép (đường kính 20 mm, E = 200 GPa, ứng suất cho phép 250 MPa) nằm trong một ống làm bằng nhôm (đường kính ngoài 120 mm, đường kính trong 70 mm, E = 70 GPa, ứng suất cho phép 80 MPa). Chúng bị nén cùng nhau giữa các tấm cứng. Tìm tải lớn nhất Pmax.

thanh: Ø20 mm, E = 200 GPa, σallow = 250 MPaống: Ø120/Ø70 mm, E = 70 GPa, σallow = 80 MPa
Pmax = kN
3.Xoắn của trụcTrung bình
T = 250 N·md = 20 mmL = 0,8 mφ = ?

Một trục đặc thép được ngàm vào tường và bị xoắn bởi mômen xoắn T ở đầu tự do. Tìm góc xoắn φ của đầu tự do, theo độ.

T = 250 N·md = 20 mmL = 0,8 mG = 80 GPa
φ = °
4.Xoắn của trụcKhó
do​ = ?50 kW, 1000 rpm

Một trục rỗng phải truyền 50 kW ở 1000 rpm. Đường kính trong của nó bằng 0,5 lần đường kính ngoài, và ứng suất cắt không được vượt quá 40 MPa. Tìm đường kính ngoài nhỏ nhất do.

P = 50 kWN = 1000 rpmdi/do = 0,5τallow = 40 MPa
do = mm
5.Lực cắt và mômen uốnTrung bình
w = 2 kN/mABmặt cắt4 m6 m

Tìm mômen uốn Mx tại mặt cắt x = 4 m tính từ gối A. Coi mômen làm dầm võng xuống là dương và lực cắt hướng lên trên mặt trái là dương.

L = 10 mw = 2 kN/m từ 0 đến 10 mx = 4 m
Mx = kN·m
6.Lực cắt và mômen uốnKhó
w = 12 kN/mAB6 m2 m2 m

Dầm đơn giản chịu tải phân bố đều trên một phần nhịp. Tìm mô-men uốn lớn nhất Mmax trong dầm.

L = 10 mw = 12 kN/m từ 6 đến 8 m
Mmax = kN·m
7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtTrung bình
150 mm200 mm120 mmØ40xIx​ = ?

Một tấm 150 mm × 200 mm có một lỗ tròn đường kính 40 mm trên đường tâm thẳng đứng, tâm lỗ cách đáy 120 mm. Tìm mômen quán tính diện tích Ix quanh trục nằm ngang đi qua trọng tâm.

b = 150 mmh = 200 mmd = 40 mmtâm lỗ: y = 120 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtKhó
20024020290148xkích thước tính bằng mm

Một tiết diện chữ I hàn có cánh trên 200 × 20 mm, bụng cao 290 mm và dày 8 mm, và cánh dưới 240 × 14 mm (chiều rộng × chiều dày). Tìm mô-men quán tính Ix của nó đối với trục nằm ngang x qua trọng tâm.

cánh trên: 200 × 20 mmbụng: 8 × 290 mmcánh dưới: 240 × 14 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình
σx​ = −50σy​ = 60τxy​ = −30MPa

Một điểm có σₓ = −50 MPa, σᵧ = 60 MPa và τₓᵧ = −30 MPa (kéo là dương). Tìm góc θs, trong khoảng từ −90° đến 90°, từ trục x đến pháp tuyến của mặt có ứng suất cắt đạt giá trị dương lớn nhất +R (ứng suất cắt dương cùng chiều với τₓᵧ).

σx = −50 MPaσy = 60 MPaτxy = −30 MPa
θs = °
10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó
σx​τxy​bề mặt của trục

Một trục đặc đường kính 30 mm chịu một lực nén dọc trục 150 kN cùng với mô-men xoắn 1500 N·m. Tại bề mặt của trục, hãy tìm ứng suất chính lớn nhất σ1.

d = 30 mmF = −150 kNT = 1500 N·m
σ1 = MPa
11.Độ võng của dầmTrung bình
P = 27 kNABδ1,5 m1 m

Một dầm công-xôn dài L ngàm tại A và chịu lực tập trung P tại vị trí cách A một đoạn a = 1,5 m. Tìm độ võng δB tại đầu tự do B.

P = 27 kNa = 1,5 mL = 2,5 mE = 70 GPa (nhôm)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δB = mm
12.Độ võng của dầmKhó
P = 25 kNAB1,5 m1,5 m

Một dầm công-xôn có gối chống ngàm tại A và tựa đơn (chống) tại B. Dầm chịu một lực tập trung P tại giữa nhịp. EI không đổi. Tìm phản lực RB tại gối chống.

L = 3 mP = 25 kN tại 1,5 m
RB = kN
13.Mất ổn định cộtTrung bình
PL = 2,5 m25 × 100 mmmặt cắt ngang

Một cột dài L làm bằng thép được ngàm ở chân và khớp ở đỉnh. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn Pcr của nó.

L = 2,5 mE = 200 GPa (thép)b × h = 25 × 100 mm
Pcr = kN
14.Mất ổn định cộtKhó
PL = 6 md = 60 mmmặt cắt ngang

Một cột dài L làm bằng nhôm được hai đầu khớp. Tìm độ mảnh của nó và ứng suất oằn tới hạn σcr theo công thức Euler.

L = 6 mE = 70 GPa (nhôm)d = 60 mm
σcr = MPa

3Dung dịch

1.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: ε = 707,4 µε

Định luật Hooke: trong giới hạn đàn hồi σ = E·ε. Kết hợp với σ = P/A và ε = δ/L ta được δ = PL/(AE).

Ứng suất

A = π·30²/4 = 706,9 mm²
σ = P/A = 50·1000/706,9 = 70,74 MPa

Biến dạng (định luật Hooke)

E for đồng thau = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 70,74/100000 = 0,0007074 = 707,4 µε

Đáp số

ε = 707,4 µε
2.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: Pmax = 668,7 kN

Hai vật liệu: khi nối tiếp (cái này sau cái kia) mỗi đoạn chịu cùng một lực và các độ giãn dài cộng lại: δ = P·Σ L/(E·A). Khi song song (cạnh nhau giữa các tấm cứng) cả hai phần co lại cùng một lượng, nên biến dạng của chúng bằng nhau: phần cứng hơn nhận phần tải lớn hơn, Pi = P·EiAi/ΣEA, và σi = Ei·ε. Một thanh bị giữ giữa hai vách cứng với tải đặt tại chỗ nối là siêu tĩnh: hai đoạn chia tải theo tỉ lệ độ cứng k = EA/L của chúng.

Diện tích

Ar = π·20²/4 = 314,2 mm²
At = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

Độ cứng dọc trục kết hợp

ΣEA = 200·10³·314,2 + 70·10³·7461 = 5,851 × 10⁸ N

Biến dạng quyết định

ε = min(0,00125, 0,001143) = 0,001143 (nhôm)

Tải lớn nhất

Pmax = 0,001143·5,851 × 10⁸ = 668710 N = 668,7 kN

Đáp số

Pmax = 668,7 kN
3.Xoắn của trục

Đáp số: φ = 9,119 °

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen quán tính độc cực của mặt cắt

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

Góc xoắn

φ = TL/(GJ) = 250·1000·800/(80000·15708) = 0,1592 rad
φ = 0,1592·180/π = 9,119°

Đáp số

φ = 9,119°
4.Xoắn của trục

Đáp số: do = 40,18 mm

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen xoắn

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s
T = P/ω = 50000/104,7 = 477,5 N·m

Đường kính ngoài từ ứng suất cho phép

T = 477,5 N·m = 477465 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0,5⁴ = 0,9375
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·477465/(π·40·0,9375)) = 40,18 mm
di = 0,5·40,18 = 20,09 mm

Đáp số

do = 40,18 mm

Một trục đặc sẽ cần d = 39,32 mm; trục rỗng lớn hơn một chút nhưng nhẹ hơn nhiều.

5.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: Mx = 24 kN·m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt.

Phản lực gối

Cân bằng của cả dầm.

Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 2·10 = 20 kN, đặt tại x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 2·10·5
RB = 100/10 = 10 kN
ΣFy = 0: RA = 20 − 10 = 10 kN
w = 2 kN/mABRA​ = 10RB​ = 10mặt cắt4 m6 m

Cắt tại x = 4 m và giữ phần bên trái

Chỉ các lực bên trái mặt cắt xuất hiện. Phần tải phân bố đều được thay bằng một lực đặt tại giữa phần đó.

M = RA·x − (mỗi tải bên trái mặt cắt × cánh tay đòn đến mặt cắt)
Mx = 10·4 − 2·4·2 = 24 kN·m

Đáp số

Mx = 24 kN·m
6.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: Mmax = 45,36 kN·m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt. Mô-men lớn nhất: vì dM/dx = V, mô-men uốn đạt cực trị tại nơi lực cắt đi qua không, hoặc tại một lực tập trung hoặc bên trong một tải phân bố.

Phản lực gối

Cân bằng của cả dầm.

Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 12·2 = 24 kN, đặt tại x̄ = 7 m
ΣMA = 0: RB·10 = 12·2·7
RB = 168/10 = 16,8 kN
ΣFy = 0: RA = 24 − 16,8 = 7,2 kN

Lực cắt bằng không

Lực cắt bắt đầu bằng RA, không đổi trên mọi đoạn không chịu tải và giảm với độ dốc w bên trong đoạn tải.

RA − w·(x0 − 6) = 0
x0 = 6 + 7,2/12 = 6,6 m

Mô-men lớn nhất

Mmax = RA·x0 − w·(x0 − 6)²/2 = 7,2·6,6 − 12·0,6²/2 = 45,36 kN·m

Đáp số

Mmax = 45,36 kN·m
7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: Ix = 99,35 × 10⁶ mm⁴

Tiết diện có lỗ: coi lỗ là một diện tích âm. Trọng tâm là ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), với A₁, y₁ cho tấm đầy đủ và A₂, y₂ cho lỗ. Với mômen quán tính diện tích quanh trục đi qua trọng tâm, dùng định lý trục song song cho từng phần rồi trừ lỗ: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm riêng của mỗi phần đến trục đi qua ȳ. Hình chữ nhật có Ic = bh³/12 và hình tròn có Ic = πd⁴/64.

Trọng tâm

ȳ = (30000·100 − 1257·120)/(30000 − 1257) = 99,13 mm

Tấm đầy đủ quanh ȳ

150·200³/12 + 30000·0,8744² = 100 × 10⁶ mm⁴

Lỗ quanh ȳ

π·40⁴/64 + 1257·20,87² = 0,6732 × 10⁶ mm⁴

Trừ

Ix = 99,35 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

Ix = 99,35 × 10⁶ mm⁴
8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: Ix = 188,9 × 10⁶ mm⁴

Diện tích ghép: chia mặt cắt thành các hình chữ nhật. Trọng tâm là trung bình có trọng số theo diện tích ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Mômen quán tính của mặt cắt đối với trục đi qua trọng tâm bằng tổng bh³/12 của từng phần và số hạng trục song song A·d², trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm của phần đó đến trọng tâm chung. Ứng suất uốn là σ = M·y/I.

Chia thành ba hình chữ nhật

Đo mọi y từ mép dưới.

cánh trên: A = 4000 mm², y = 314 mm
bụng: A = 2320 mm², y = 159 mm
cánh dưới: A = 3360 mm², y = 7 mm

Trọng tâm

ȳ = (4000·314 + 2320·159 + 3360·7)/9680 = 170,3 mm

Định lý trục song song

cánh trên: 200·20³/12 + 4000·143,7² = 8,274 × 10⁷ mm⁴
bụng: 8·290³/12 + 2320·11,29² = 1,656 × 10⁷ mm⁴
cánh dưới: 240·14³/12 + 3360·163,3² = 8,964 × 10⁷ mm⁴
Ix = 8,274 × 10⁷ + 1,656 × 10⁷ + 8,964 × 10⁷
Ix = 1,889 × 10⁸ mm⁴ = 188,9 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

Ix = 188,9 × 10⁶ mm⁴
9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: θs = 59,31 °

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

στxyCτmax​

Góc trên vòng tròn

Trên vòng tròn Mohr, điểm trên cùng (+R) lệch 90° so với điểm chính σ₁; trên phân tố đó là 45°.

cos 2θs = −30/62,65 = −0,4789, sin 2θs = −(−55)/62,65 = 0,8779
2θs = atan2(55, −30) = 118,6°

Góc trên phần tử

θs = 59,31°
kiểm tra: θs − θp = 59,31 − (−75,69) = 135°

Đáp số

θs = 59,31°

Góc dương là ngược chiều kim đồng hồ.

10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: σ1 = 196,1 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

Các ứng suất tại bề mặt

σ = F/A = −150000/(π·30²/4) = −150000/706,9 = −212,2 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·1500000/(π·30³) = 282,9 MPa
στxyCσ1​σ2​

Vòng tròn Mohr

C = σ/2 = −106,1 MPa
R = √((−106,1)² + 282,9²) = 302,2 MPa
σ1 = C + R = 196,1 MPa
σ2 = C − R = −408,3 MPa

Đáp số

σ1 = 196,1 MPa
11.Độ võng của dầm

Đáp số: δB = 37,73 mm

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

P = 27000 N, a = 1500 mm, L = 2500 mm
EI = 1,61 × 10¹² N·mm²

Độ võng ở đầu tự do

Độ võng tại tải cộng góc xoay tại tải nhân với chiều dài còn lại.

δP = Pa³/(3EI) = 18,87 mm
θP = Pa²/(2EI) = 0,01887 rad
δB = δP + θP·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 37,73 mm

Đáp số

δB = 37,73 mm
12.Độ võng của dầm

Đáp số: RB = 7,813 kN

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng). Với dầm siêu tĩnh, hãy bỏ một liên kết thừa và đòi hỏi độ võng tại đó bằng không (điều kiện tương thích).

Bỏ gối chống đi

Khi không có gối chống, dầm là một dầm công-xôn. Đầu tự do của nó sẽ võng dưới tải.

δload = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Điều kiện tương thích tại gối chống

Chỉ riêng lực chống RB nâng đầu tự do lên một đoạn RBL³/(3EI). Gối chống giữ B có độ võng bằng không, nên hai độ võng phải triệt tiêu nhau. EI được khử.

RB·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → RB = 5P/16 = 5·25/16 = 7,813 kN

Đáp số

RB = 7,813 kN
13.Mất ổn định cột

Đáp số: Pcr = 83,93 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Hình chữ nhật oằn quanh trục yếu, dùng kích thước nhỏ hơn lập phương.

Imin = h·b³/12 = 100·25³/12 = 130208 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

Tải trọng tới hạn

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·130208/1750² = 83925 N = 83,93 kN

Đáp số

Pcr = 83,93 kN
14.Mất ổn định cột

Đáp số: σcr = 4,318 MPa

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Bán kính quán tính và độ mảnh

A = 2827 mm²
r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm
KL = 1·6000 = 6000 mm
KL/r = 6000/15 = 400

Ứng suất tới hạn

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/400² = 4,318 MPa

Đáp số

σcr = 4,318 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials