Sức bền vật liệu: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 14 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp: σ = F/A
Biến dạng: ε = ΔL/L
Định luật Hooke: σ = E·ε
Độ giãn dài: ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt: ε_T = α·ΔT

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp: τ = T·r/J
Trục đặc: J = πd⁴/32
Trục rỗng: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn: φ = TL/(GJ)
Công suất: P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lực cắt và mômen uốn

Lực cắt và mômen: V = ΣF ở một phía, M = ΣF·d ở một phía
Ứng suất uốn: σ = M·y/I
Hình chữ nhật: I = bh³/12
Mômen chống uốn của mặt cắt: W = I/y_max
Dầm đơn giản, tải phân bố đều: M_max = wL²/8

Phương pháp

Tìm phản lực gối từ cân bằng của cả dầm.
Cắt dầm tại mặt cắt bạn cần và giữ lại một phía.
Lực cắt: tổng các lực thẳng đứng ở phía đó. Mômen uốn: tổng mômen của chúng quanh mặt cắt.
Để tìm mômen lớn nhất, hãy tìm nơi lực cắt bằng không.

Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Trọng tâm: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Hình chữ nhật: I = bh³/12
Định lý trục song song: I = I_c + A·d²
Mặt cắt ghép: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm: C = (σ_x + σ_y)/2
Bán kính: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Ứng suất chính: σ_1,2 = C ± R
Phương chính: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Mặt phẳng nghiêng: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Phương pháp

Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Độ võng của dầm

Tải tập trung ở giữa nhịp: δ = PL³/(48EI)
Tải phân bố đều, dầm đơn giản: δ = 5wL⁴/(384EI)
Công xôn, tải ở đầu: δ = PL³/(3EI)
Công xôn, tải phân bố đều: δ = wL⁴/(8EI)
Nguyên lý xếp chồng: δ = δ₁ + δ₂

Mất ổn định cột

Tải Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán: K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn: σ_cr = P_cr/A
Độ mảnh: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Bài tập

1.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình

Một thanh thép (đường kính 40 mm, E = 200 GPa) nằm trong một ống làm bằng đồng thanh (đường kính ngoài 80 mm, đường kính trong 60 mm, E = 110 GPa). Cả hai dài 400 mm và bị nén cùng nhau giữa các tấm cứng bởi 50 kN. Tìm độ co ngắn δ.

P = 50 kNthanh: Ø40 mm, E = 200 GPaống: Ø80/Ø60 mm, E = 110 GPaL = 400 mm

δ = mm

2.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó

Thanh bậc được ngàm vào tường và chịu tải ở đầu tự do. Tìm ứng suất pháp lớn nhất σ_max trong thanh.

P = 90 kNđoạn 1: Ø35 mm, 0,5 m, đồng thau (E = 100 GPa)đoạn 2: Ø12 mm, 0,5 m, đồng thau (E = 100 GPa)

σ_max = MPa

3.Xoắn của trụcTrung bình

Một trục đặc đồng thau được ngàm vào tường và bị xoắn bởi mômen xoắn T ở đầu tự do. Tìm góc xoắn φ của đầu tự do, theo độ.

T = 200 N·md = 50 mmL = 1,2 mG = 39 GPa

φ = °

4.Xoắn của trụcKhó

Một trục đặc đồng thau truyền 75 kW ở 300 rpm. Ứng suất cắt không được vượt quá 40 MPa và góc xoắn không được vượt quá 1° trên mỗi m chiều dài. Tìm đường kính nhỏ nhất d thỏa mãn cả hai giới hạn.

P = 75 kWN = 300 rpmτ_allow = 40 MPaθ_allow = 1°/mG = 39 GPa

d = mm

5.Lực cắt và mômen uốnTrung bình

Tìm mômen uốn M_x tại mặt cắt x = 4,5 m tính từ gối A. Coi mômen làm dầm võng xuống là dương và lực cắt hướng lên trên mặt trái là dương.

L = 5 mw = 4 kN/m từ 0 đến 5 mx = 4,5 m

M_x = kN·m

6.Lực cắt và mômen uốnKhó

Các điểm đánh dấu từ A đến G chia dầm thành sáu phần bằng nhau. Tại điểm nào mômen uốn có độ lớn lớn nhất, dù võng hay vồng? Nhấp vào nó trong sơ đồ.

30 kN @ 12 m25 kN @ 2 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtTrung bình

Một tiết diện chữ U đặt với mặt hở hướng lên: một bản đáy rộng 180 mm với hai cánh đứng, tổng chiều cao 80 mm. Đáy và các cánh đều dày 12 mm. Tìm độ cao ȳ của trọng tâm so với cạnh đáy.

b = 180 mmh = 80 mmt = 12 mm

ȳ = mm

8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtKhó

Mặt cắt chữ T được dùng làm dầm với cánh ở trên và chịu mômen uốn làm võng xuống 5 kN·m. Tìm ứng suất uốn σ_dưới ở mép dưới.

b_f = 220 mmt_f = 25 mmt_w = 8 mmh_w = 140 mmM = 5 kN·m

σ_dưới = MPa

9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình

Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = 150 MPa, σᵧ = 90 MPa và τₓᵧ = 10 MPa (kéo là dương). Tìm ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng τ_max.

σ_x = 150 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = 10 MPa

τ_max = MPa

10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó

Một điểm trong một tấm mỏng ở trạng thái ứng suất phẳng: σₓ = 60 MPa, σᵧ = 10 MPa và τₓᵧ = 60 MPa (σ_z = 0). Tìm ứng suất tương đương von Mises σ_vM.

σ_x = 60 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = 60 MPa

σ_vM = MPa

11.Độ võng của dầmTrung bình

Một dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w trên toàn nhịp. Tìm độ võng lớn nhất δ_max, tại giữa nhịp.

w = 5 kN/mL = 2,5 mE = 70 GPa (nhôm)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Độ võng của dầmKhó

Một dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w và một tải tập trung P ở giữa nhịp. Dùng nguyên lý xếp chồng, tìm độ võng giữa nhịp δ_max.

P = 9 kNw = 12 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (gỗ xẻ)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Mất ổn định cộtTrung bình

Một cột dài L làm bằng thép được ngàm cả hai đầu. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn P_cr của nó.

L = 2 mE = 200 GPa (thép)d = 30 mm

P_cr = kN

14.Mất ổn định cộtKhó

Một cột tròn đặc dài L làm bằng nhôm được ngàm ở chân và tự do ở đỉnh. Nó phải chịu 140 kN với hệ số an toàn 2,5 chống oằn. Tìm đường kính nhỏ nhất d.

P = 140 kNn = 2,5L = 1 mE = 70 GPa (nhôm)

d = mm

3Dung dịch

1.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: δ = 0,04055 mm

Hai vật liệu: khi nối tiếp (cái này sau cái kia) mỗi đoạn chịu cùng một lực và các độ giãn dài cộng lại: δ = P·Σ L/(E·A). Khi song song (cạnh nhau giữa các tấm cứng) cả hai phần co lại cùng một lượng, nên biến dạng của chúng bằng nhau: phần cứng hơn nhận phần tải lớn hơn, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, và σ_i = E_i·ε. Một thanh bị giữ giữa hai vách cứng với tải đặt tại chỗ nối là siêu tĩnh: hai đoạn chia tải theo tỉ lệ độ cứng k = EA/L của chúng.

Diện tích

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²

Độ cứng dọc trục kết hợp

ΣEA = 200·10³·1257 + 110·10³·2199 = 4,932 × 10⁸ N

Độ co ngắn

δ = 50000·400/4,932 × 10⁸ = 0,04055 mm

Đáp số

δ = 0,04055 mm

2.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: σ_max = 795,8 MPa

Cấu kiện chịu tải dọc trục: mỗi đoạn lăng trụ tuân theo δ = PL/(AE). Với các cấu kiện nối tiếp, độ giãn dài cộng lại.

Cùng một lực trong cả hai đoạn

Đầu tự do chịu lực P, nên mọi mặt cắt của thanh đều chịu cùng một lực dọc trục P. Chỉ có diện tích và vật liệu thay đổi.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 93,54 MPa

σ₂ = 795,8 MPa

Ứng suất lớn nhất

Đoạn mảnh hơn có diện tích nhỏ hơn, nên chịu ứng suất lớn hơn.

σ_max = 795,8 MPa

Đáp số

σ_max = 795,8 MPa

3.Xoắn của trục

Đáp số: φ = 0,5746 °

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τ_max = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen quán tính độc cực của mặt cắt

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Góc xoắn

φ = TL/(GJ) = 200·1000·1200/(39000·613592) = 0,01003 rad

φ = 0,01003·180/π = 0,5746°

Đáp số

φ = 0,5746°

4.Xoắn của trục

Đáp số: d = 77,31 mm

Mômen xoắn

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 75000/31,42 = 2387 N·m

Đường kính theo điều kiện bền

T = 2387 N·m = 2,387 × 10⁶ N·mm

d_τ = ∛(16·2,387 × 10⁶/(π·40)) = 67,24 mm

Đường kính theo điều kiện cứng

θ = 1·π/180/1000 = 1,745 × 10⁻⁵ rad/mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

d_φ = (32·2,387 × 10⁶/(π·39000·1,745 × 10⁻⁵))^1/4 = 77,31 mm

Đường kính quyết định

Cả hai giới hạn đều phải thỏa, nên đường kính lớn hơn quyết định.

d = max(67,24, 77,31) = 77,31 mm

Đáp số

d = 77,31 mm

Ở đây điều kiện cứng quyết định.

5.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: M_x = 4,5 kN·m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt.

Phản lực gối

Cân bằng của cả dầm.

Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 4·5 = 20 kN, đặt tại x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 4·5·2,5

R_B = 50/5 = 10 kN

ΣF_y = 0: R_A = 20 − 10 = 10 kN

Cắt tại x = 4,5 m và giữ phần bên trái

Chỉ các lực bên trái mặt cắt xuất hiện. Phần tải phân bố đều được thay bằng một lực đặt tại giữa phần đó.

M = R_A·x − (mỗi tải bên trái mặt cắt × cánh tay đòn đến mặt cắt)

M_x = 10·4,5 − 4·4,5·2,25 = 4,5 kN·m

Đáp số

M_x = 4,5 kN·m

6.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: E (x = 8 m)

Mômen uốn lớn nhất: M đổi độ dốc ở bất cứ chỗ nào lực cắt thay đổi, nên các đỉnh của nó nằm nơi lực cắt đi qua không: dưới một tải tập trung, bên trong một tải phân bố, hoặc trên một gối của phần công-xon. Tại ngàm của dầm công-xon, mômen lớn nhất ở chân tường. So sánh độ lớn của M tại những chỗ đó, dù là mômen làm võng hay làm vồng.

Phản lực gối

Lấy mômen quanh một gối tựa, rồi dùng cân bằng lực thẳng đứng.

R₁ = 3,75 kN, R₂ = 51,25 kN

Mômen uốn tại mỗi điểm đánh dấu

Cộng các mômen của mọi lực ở một phía của mặt cắt. Võng là dương, vồng là âm.

M_A = 0, M_B = 7,5, M_C = −35, M_D = −77,5, M_E = −120 kN·m, M_F = −60, M_G = 0

Đáp số

Điểm đánh dấu E: M_E = −120 kN·m

7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: ȳ = 23,22 mm

Diện tích ghép: chia mặt cắt thành các hình chữ nhật. Trọng tâm là trung bình có trọng số theo diện tích ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Mômen quán tính của mặt cắt đối với trục đi qua trọng tâm bằng tổng bh³/12 của từng phần và số hạng trục song song A·d², trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm của phần đó đến trọng tâm chung. Ứng suất uốn là σ = M·y/I.

Chia thành các hình chữ nhật

Lấy đáy với toàn bộ chiều rộng và hai cánh phía trên nó (cao h − t), để không có phần nào bị tính hai lần.

nền: A₁ = 180·12 = 2160 mm², y₁ = 6 mm

hai cánh: A₂ = 2·12·68 = 1632 mm², y₂ = 12 + 68/2 = 46 mm

Trọng tâm

ȳ = (2160·6 + 1632·46)/3792 = 23,22 mm

Đáp số

ȳ = 23,22 mm

8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: σ_dưới = 81,99 MPa

Chia thành hai hình chữ nhật

Đo mọi y từ mép dưới.

cánh: A_f = 220·25 = 5500 mm², y_f = 140 + 25/2 = 152,5 mm

bụng: A_w = 8·140 = 1120 mm², y_w = 140/2 = 70 mm

Trọng tâm

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (5500·152,5 + 1120·70)/6620 = 138,5 mm

Định lý trục song song

cánh: 220·25³/12 + 5500·(152,5 − 138,5)² = 1,358 × 10⁶ mm⁴

bụng: 8·140³/12 + 1120·(70 − 138,5)² = 7,091 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1,358 × 10⁶ + 7,091 × 10⁶ = 8,449 × 10⁶ mm⁴

Ứng suất uốn

Mép dưới cách trục ȳ.

y = 138,5 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁶·138,5/8,449 × 10⁶ = 81,99 MPa

Đáp số

σ_dưới = 81,99 MPa

9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: τ_max = 31,62 MPa

Bán kính vòng tròn Mohr

τ_max = R = √(((150 − 90)/2)² + 10²) = 31,62 MPa

Đáp số

τ_max = 31,62 MPa

10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: σ_vM = 117,9 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R. Tiêu chuẩn chảy: von Mises dự đoán vật liệu chảy khi σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) đạt σ_Y; Tresca khi ứng suất cắt lớn nhất tuyệt đối đạt σ_Y/2.

Ứng suất chính

C = 35 MPa, R = 65 MPa

σ₁ = 100 MPa, σ₂ = −30 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(100² − 100·(−30) + (−30)²) = 117,9 MPa

Đáp số

σ_vM = 117,9 MPa

11.Độ võng của dầm

Đáp số: δ_max = 4,274 mm

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 2500 mm

EI = 5,95 × 10¹¹ N·mm²

Độ võng

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·2500⁴/(384·5,95 × 10¹¹) = 4,274 mm

Đáp số

δ_max = 4,274 mm

12.Độ võng của dầm

Đáp số: δ_max = 70,03 mm

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

P = 9000 N, w = 12 N/mm, L = 3000 mm, EI = 2,53 × 10¹¹ N·mm²

Từng tải riêng rẽ

δ_P = PL³/(48EI) = 9000·3000³/(48·2,53 × 10¹¹) = 20,01 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·3000⁴/(384·2,53 × 10¹¹) = 50,02 mm

Cộng lại

δ_max = 20,01 + 50,02 = 70,03 mm

Đáp số

δ_max = 70,03 mm

13.Mất ổn định cột

Đáp số: P_cr = 78,48 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại P_cr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 0,5·2000 = 1000 mm

Tải trọng tới hạn

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/1000² = 78485 N = 78,48 kN

Đáp số

P_cr = 78,48 kN

14.Mất ổn định cột

Đáp số: d = 80,16 mm

Tải trọng tới hạn yêu cầu

P_cr = n·P = 2,5·140000 = 350000 N

KL = 2·1000 = 2000 mm

Giải tìm đường kính

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·350000·2000²/(π³·70000))^(1/4) = 80,16 mm

Đáp số

d = 80,16 mm

Kiểm tra: độ mảnh KL/r là 99,8, nên cột là mảnh và công thức Euler áp dụng được.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials