Sức bền vật liệu: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 14 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp: σ = F/A
Biến dạng: ε = ΔL/L
Định luật Hooke: σ = E·ε
Độ giãn dài: ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt: ε_T = α·ΔT

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp: τ = T·r/J
Trục đặc: J = πd⁴/32
Trục rỗng: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn: φ = TL/(GJ)
Công suất: P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lực cắt và mômen uốn

Lực cắt và mômen: V = ΣF ở một phía, M = ΣF·d ở một phía
Ứng suất uốn: σ = M·y/I
Hình chữ nhật: I = bh³/12
Mômen chống uốn của mặt cắt: W = I/y_max
Dầm đơn giản, tải phân bố đều: M_max = wL²/8

Phương pháp

Tìm phản lực gối từ cân bằng của cả dầm.
Cắt dầm tại mặt cắt bạn cần và giữ lại một phía.
Lực cắt: tổng các lực thẳng đứng ở phía đó. Mômen uốn: tổng mômen của chúng quanh mặt cắt.
Để tìm mômen lớn nhất, hãy tìm nơi lực cắt bằng không.

Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Trọng tâm: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Hình chữ nhật: I = bh³/12
Định lý trục song song: I = I_c + A·d²
Mặt cắt ghép: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm: C = (σ_x + σ_y)/2
Bán kính: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Ứng suất chính: σ_1,2 = C ± R
Phương chính: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Mặt phẳng nghiêng: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Phương pháp

Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Độ võng của dầm

Tải tập trung ở giữa nhịp: δ = PL³/(48EI)
Tải phân bố đều, dầm đơn giản: δ = 5wL⁴/(384EI)
Công xôn, tải ở đầu: δ = PL³/(3EI)
Công xôn, tải phân bố đều: δ = wL⁴/(8EI)
Nguyên lý xếp chồng: δ = δ₁ + δ₂

Mất ổn định cột

Tải Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán: K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn: σ_cr = P_cr/A
Độ mảnh: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Bài tập

1.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình

Tìm độ giãn dài δ của thanh đồng thau dưới tải trọng dọc trục.

P = 30 kNd = 20 mmL = 1 mE = 100 GPa

δ = mm

2.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó

Một đoạn thép (đường kính 40 mm, chiều dài 300 mm, E = 200 GPa) và một đoạn làm bằng đồng thanh (đường kính 60 mm, chiều dài 200 mm, E = 110 GPa) được nối đầu với đầu và ngàm giữa hai vách cứng. Một tải dọc trục 80 kN tác dụng tại chỗ nối, hướng về phía đoạn 2. Tìm độ lớn ứng suất σ₂ trong đoạn 2.

đoạn 1: thép, Ø40 mm, 300 mm, E = 200 GPađoạn 2: đồng thanh, Ø60 mm, 200 mm, E = 110 GPaP = 80 kN

σ₂ = MPa

3.Xoắn của trụcTrung bình

Một trục đặc đồng thau có bậc được ngàm tại A. Đoạn AB có đường kính 75 mm và chiều dài 0,5 m; đoạn BC có đường kính 30 mm và chiều dài 1 m. Một mô-men xoắn 250 N·m tác dụng tại đầu tự do C. Tìm góc xoắn φ_C của đầu C, theo độ.

T = 250 N·md₁ = 75 mm, L₁ = 0,5 md₂ = 30 mm, L₂ = 1 mG = 39 GPa

φ_C = °

4.Xoắn của trụcKhó

Một trục rỗng phải truyền 20 kW ở 500 rpm. Đường kính trong của nó bằng 0,8 lần đường kính ngoài, và ứng suất cắt không được vượt quá 80 MPa. Tìm đường kính ngoài nhỏ nhất d_o.

P = 20 kWN = 500 rpmd_i/d_o = 0,8τ_allow = 80 MPa

d_o = mm

5.Lực cắt và mômen uốnTrung bình

Tìm mômen uốn M_x tại mặt cắt x = 2,5 m tính từ gối A. Coi mômen làm dầm võng xuống là dương và lực cắt hướng lên trên mặt trái là dương.

L = 4 mw = 3 kN/m từ 0 đến 4 mx = 2,5 m

M_x = kN·m

6.Lực cắt và mômen uốnKhó

Các điểm đánh dấu từ A đến G chia dầm thành sáu phần bằng nhau. Tại điểm nào mômen uốn có độ lớn lớn nhất, dù võng hay vồng? Nhấp vào nó trong sơ đồ.

25 kN @ 0 m40 kN @ 12 m45 kN @ 6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtTrung bình

Tìm mômen quán tính I_x của mặt cắt chữ T đối với trục ngang x đi qua trọng tâm.

b_f = 180 mmt_f = 20 mmt_w = 12 mmh_w = 280 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtKhó

Mặt cắt chữ T được dùng làm dầm với cánh ở trên và chịu mômen uốn làm võng xuống 15 kN·m. Tìm độ lớn ứng suất uốn σ_trên ở mép trên.

b_f = 300 mmt_f = 20 mmt_w = 12 mmh_w = 260 mmM = 15 kN·m

σ_trên = MPa

9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình

Một điểm có σₓ = 140 MPa và σᵧ = −40 MPa. Ứng suất cắt τ_xy (độ lớn) có thể lớn đến mức nào trước khi ứng suất chính lớn nhất đạt 160 MPa?

σ_x = 140 MPaσ_y = −40 MPaσ₁ = 160 MPa

τ_xy = MPa

10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó

Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = 40 MPa, σᵧ = 40 MPa và τₓᵧ = −10 MPa (kéo là dương). Tìm ứng suất pháp σ_θ trên một mặt có pháp tuyến xoay 30° theo chiều kim đồng hồ so với trục x.

σ_x = 40 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = −10 MPaθ = -30°

σ_θ = MPa

11.Độ võng của dầmTrung bình

Một dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w trên toàn nhịp. Tìm độ võng lớn nhất δ_max, tại giữa nhịp.

w = 6 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (gỗ xẻ)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Độ võng của dầmKhó

Một dầm gỗ đơn giản có tiết diện chữ nhật, rộng 150 mm, chịu tải phân bố đều w trên toàn bộ nhịp. Độ võng tại giữa nhịp không được vượt quá nhịp/360. Tìm chiều cao tiết diện nhỏ nhất h_req.

w = 3 kN/mL = 4,5 mE = 11 GPa (gỗ xẻ)b = 150 mm

h_req = mm

13.Mất ổn định cộtTrung bình

Một cột dài L làm bằng thép được ngàm ở chân và khớp ở đỉnh. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn P_cr của nó.

L = 2 mE = 200 GPa (thép)b × h = 40 × 100 mm

P_cr = kN

14.Mất ổn định cộtKhó

Một cột tròn đặc dài L làm bằng thép được hai đầu khớp. Nó phải chịu 5 kN với hệ số an toàn 3 chống oằn. Tìm đường kính nhỏ nhất d.

P = 5 kNn = 3L = 5 mE = 200 GPa (thép)

d = mm

3Dung dịch

1.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: δ = 0,9549 mm

Định luật Hooke: trong giới hạn đàn hồi σ = E·ε. Kết hợp với σ = P/A và ε = δ/L ta được δ = PL/(AE).

Ứng suất

A = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ = P/A = 30·1000/314,2 = 95,49 MPa

Biến dạng (định luật Hooke)

E for đồng thau = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 95,49/100000 = 0,0009549 = 954,9 µε

Độ giãn dài

δ = ε·L = 0,0009549·1000 mm = 0,9549 mm

Đáp số

δ = 0,9549 mm

2.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: σ₂ = 18,39 MPa

Hai vật liệu: khi nối tiếp (cái này sau cái kia) mỗi đoạn chịu cùng một lực và các độ giãn dài cộng lại: δ = P·Σ L/(E·A). Khi song song (cạnh nhau giữa các tấm cứng) cả hai phần co lại cùng một lượng, nên biến dạng của chúng bằng nhau: phần cứng hơn nhận phần tải lớn hơn, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, và σ_i = E_i·ε. Một thanh bị giữ giữa hai vách cứng với tải đặt tại chỗ nối là siêu tĩnh: hai đoạn chia tải theo tỉ lệ độ cứng k = EA/L của chúng.

Các độ cứng

k₁ = 200000·1257/300 = 837758 N/mm

k₂ = 110000·2827/200 = 1,555 × 10⁶ N/mm

Phần của đoạn 2

F₂ = 80000·1,555 × 10⁶/2,393 × 10⁶ = 51991 N

Ứng suất

σ₂ = 51991/2827 = 18,39 MPa (nén)

Đáp số

σ₂ = 18,39 MPa

3.Xoắn của trục

Đáp số: φ_C = 4,678 °

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τ_max = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Các mô-men quán tính độc cực

J₁ = π·75⁴/32 = 3,106 × 10⁶ mm⁴

J₂ = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Góc xoắn của từng đoạn

T = 250 N·m = 250000 N·mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_AB = 250000·500/(39000·3,106 × 10⁶) = 0,001032 rad

φ_BC = 250000·1000/(39000·79522) = 0,08061 rad

Tổng góc xoắn

φ_C = 0,001032 + 0,08061 = 0,08164 rad = 4,678°

Đáp số

φ_C = 4,678°

4.Xoắn của trục

Đáp số: d_o = 34,53 mm

Mômen xoắn

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 20000/52,36 = 382 N·m

Đường kính ngoài từ ứng suất cho phép

T = 382 N·m = 381972 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,8⁴ = 0,5904

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·381972/(π·80·0,5904)) = 34,53 mm

d_i = 0,8·34,53 = 27,63 mm

Đáp số

d_o = 34,53 mm

Một trục đặc sẽ cần d = 28,97 mm; trục rỗng lớn hơn một chút nhưng nhẹ hơn nhiều.

5.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: M_x = 5,625 kN·m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt.

Phản lực gối

Cân bằng của cả dầm.

Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 3·4 = 12 kN, đặt tại x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 3·4·2

R_B = 24/4 = 6 kN

ΣF_y = 0: R_A = 12 − 6 = 6 kN

Cắt tại x = 2,5 m và giữ phần bên trái

Chỉ các lực bên trái mặt cắt xuất hiện. Phần tải phân bố đều được thay bằng một lực đặt tại giữa phần đó.

M = R_A·x − (mỗi tải bên trái mặt cắt × cánh tay đòn đến mặt cắt)

M_x = 6·2,5 − 3·2,5·1,25 = 5,625 kN·m

Đáp số

M_x = 5,625 kN·m

6.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: E (x = 8 m)

Mômen uốn lớn nhất: M đổi độ dốc ở bất cứ chỗ nào lực cắt thay đổi, nên các đỉnh của nó nằm nơi lực cắt đi qua không: dưới một tải tập trung, bên trong một tải phân bố, hoặc trên một gối của phần công-xon. Tại ngàm của dầm công-xon, mômen lớn nhất ở chân tường. So sánh độ lớn của M tại những chỗ đó, dù là mômen làm võng hay làm vồng.

Phản lực gối

Lấy mômen quanh một gối tựa, rồi dùng cân bằng lực thẳng đứng.

R₁ = 21,67 kN, R₂ = 88,33 kN

Mômen uốn tại mỗi điểm đánh dấu

Cộng các mômen của mọi lực ở một phía của mặt cắt. Võng là dương, vồng là âm.

M_A = 0, M_B = −50, M_C = −56,67, M_D = −63,33, M_E = −160 kN·m, M_F = −80, M_G = 0

Đáp số

Điểm đánh dấu E: M_E = −160 kN·m

7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: I_x = 61,18 × 10⁶ mm⁴

Diện tích ghép: chia mặt cắt thành các hình chữ nhật. Trọng tâm là trung bình có trọng số theo diện tích ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Mômen quán tính của mặt cắt đối với trục đi qua trọng tâm bằng tổng bh³/12 của từng phần và số hạng trục song song A·d², trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm của phần đó đến trọng tâm chung. Ứng suất uốn là σ = M·y/I.

Chia thành hai hình chữ nhật

Đo mọi y từ mép dưới.

cánh: A_f = 180·20 = 3600 mm², y_f = 280 + 20/2 = 290 mm

bụng: A_w = 12·280 = 3360 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

Trọng tâm

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3600·290 + 3360·140)/6960 = 217,6 mm

Định lý trục song song

cánh: 180·20³/12 + 3600·(290 − 217,6)² = 1,9 × 10⁷ mm⁴

bụng: 12·280³/12 + 3360·(140 − 217,6)² = 4,218 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,9 × 10⁷ + 4,218 × 10⁷ = 6,118 × 10⁷ mm⁴ = 61,18 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

I_x = 61,18 × 10⁶ mm⁴

8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: σ_trên = 14,97 MPa

Chia thành hai hình chữ nhật

Đo mọi y từ mép dưới.

cánh: A_f = 300·20 = 6000 mm², y_f = 260 + 20/2 = 270 mm

bụng: A_w = 12·260 = 3120 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

Trọng tâm

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (6000·270 + 3120·130)/9120 = 222,1 mm

Định lý trục song song

cánh: 300·20³/12 + 6000·(270 − 222,1)² = 1,396 × 10⁷ mm⁴

bụng: 12·260³/12 + 3120·(130 − 222,1)² = 4,404 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,396 × 10⁷ + 4,404 × 10⁷ = 5,801 × 10⁷ mm⁴

Ứng suất uốn

Mép trên cách trục h − ȳ.

y = 280 − 222,1 = 57,89 mm

σ = M·y/I = 1,5 × 10⁷·57,89/5,801 × 10⁷ = 14,97 MPa

Đáp số

σ_trên = 14,97 MPa

9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: τ_xy = 63,25 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

Bán kính cần thiết

C = (140 + (−40))/2 = 50 MPa

R = σ₁ − C = 160 − 50 = 110 MPa

Ứng suất tiếp

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(110² − 90²) = 63,25 MPa

Đáp số

τ_xy = 63,25 MPa

10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: σ_θ = 48,66 MPa

Phương trình biến đổi

σ_θ = 40 + 0·0,5 + −10·−0,866 = 48,66 MPa

Đáp số

σ_θ = 48,66 MPa

11.Độ võng của dầm

Đáp số: δ_max = 36,99 mm

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

w = 6 N/mm, L = 5000 mm

EI = 1,32 × 10¹² N·mm²

Độ võng

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·5000⁴/(384·1,32 × 10¹²) = 36,99 mm

Đáp số

δ_max = 36,99 mm

12.Độ võng của dầm

Đáp số: h_req = 210,4 mm

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

w = 3 N/mm, L = 4500 mm, E = 11000 N/mm²

Giới hạn độ võng

δ_allow = L/360 = 4500/360 = 12,5 mm

Mômen quán tính mặt cắt yêu cầu

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·3·4500⁴/(384·11000·12,5) = 1,165 × 10⁸ mm⁴

Chiều cao cần thiết

bh³/12 = I_req → h = (12·1,165 × 10⁸/150)^1/3 = 210,4 mm

Đáp số

h_req = 210,4 mm

Trong thực tế, hãy chọn chiều cao tiêu chuẩn kế tiếp lớn hơn giá trị này.

13.Mất ổn định cột

Đáp số: P_cr = 537,1 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại P_cr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Hình chữ nhật oằn quanh trục yếu, dùng kích thước nhỏ hơn lập phương.

I_min = h·b³/12 = 100·40³/12 = 533333 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Tải trọng tới hạn

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·533333/1400² = 537121 N = 537,1 kN

Đáp số

P_cr = 537,1 kN

14.Mất ổn định cột

Đáp số: d = 44,35 mm

Tải trọng tới hạn yêu cầu

P_cr = n·P = 3·5000 = 15000 N

KL = 1·5000 = 5000 mm

Giải tìm đường kính

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·15000·5000²/(π³·200000))^(1/4) = 44,35 mm

Đáp số

d = 44,35 mm

Kiểm tra: độ mảnh KL/r là 450,9, nên cột là mảnh và công thức Euler áp dụng được.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials