Sức bền vật liệu: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 14 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp: σ = F/A
Biến dạng: ε = ΔL/L
Định luật Hooke: σ = E·ε
Độ giãn dài: ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt: ε_T = α·ΔT

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp: τ = T·r/J
Trục đặc: J = πd⁴/32
Trục rỗng: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn: φ = TL/(GJ)
Công suất: P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lực cắt và mômen uốn

Lực cắt và mômen: V = ΣF ở một phía, M = ΣF·d ở một phía
Ứng suất uốn: σ = M·y/I
Hình chữ nhật: I = bh³/12
Mômen chống uốn của mặt cắt: W = I/y_max
Dầm đơn giản, tải phân bố đều: M_max = wL²/8

Phương pháp

Tìm phản lực gối từ cân bằng của cả dầm.
Cắt dầm tại mặt cắt bạn cần và giữ lại một phía.
Lực cắt: tổng các lực thẳng đứng ở phía đó. Mômen uốn: tổng mômen của chúng quanh mặt cắt.
Để tìm mômen lớn nhất, hãy tìm nơi lực cắt bằng không.

Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Trọng tâm: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Hình chữ nhật: I = bh³/12
Định lý trục song song: I = I_c + A·d²
Mặt cắt ghép: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm: C = (σ_x + σ_y)/2
Bán kính: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Ứng suất chính: σ_1,2 = C ± R
Phương chính: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Mặt phẳng nghiêng: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Phương pháp

Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Độ võng của dầm

Tải tập trung ở giữa nhịp: δ = PL³/(48EI)
Tải phân bố đều, dầm đơn giản: δ = 5wL⁴/(384EI)
Công xôn, tải ở đầu: δ = PL³/(3EI)
Công xôn, tải phân bố đều: δ = wL⁴/(8EI)
Nguyên lý xếp chồng: δ = δ₁ + δ₂

Mất ổn định cột

Tải Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán: K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn: σ_cr = P_cr/A
Độ mảnh: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Bài tập

1.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình

Một thanh thép (đường kính 20 mm, E = 200 GPa) nằm trong một ống làm bằng đồng (đường kính ngoài 100 mm, đường kính trong 60 mm, E = 120 GPa). Cả hai dài 500 mm và bị nén cùng nhau giữa các tấm cứng bởi 150 kN. Tìm độ co ngắn δ.

P = 150 kNthanh: Ø20 mm, E = 200 GPaống: Ø100/Ø60 mm, E = 120 GPaL = 500 mm

δ = mm

2.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó

Thanh bậc được ngàm vào tường và chịu tải ở đầu tự do. Tìm tổng độ giãn dài δ.

P = 110 kNđoạn 1: Ø35 mm, 0,5 m, đồng (E = 117 GPa)đoạn 2: Ø20 mm, 1 m, đồng thau (E = 100 GPa)

δ = mm

3.Xoắn của trụcTrung bình

Trong một thí nghiệm xoắn, một mẫu đặc đường kính 12 mm bị xoắn bởi mô-men xoắn 20 N·m. Hai đầu của một đoạn đo dài 400 mm quay 2,81° so với nhau (vật liệu vẫn còn đàn hồi). Tìm mô-đun cắt G của vật liệu.

T = 20 N·md = 12 mmL = 400 mmφ = 2,81°

G = GPa

4.Xoắn của trụcKhó

Một trục rỗng phải truyền 50 kW ở 3000 rpm. Đường kính trong của nó bằng 0,6 lần đường kính ngoài, và ứng suất cắt không được vượt quá 75 MPa. Tìm đường kính ngoài nhỏ nhất d_o.

P = 50 kWN = 3000 rpmd_i/d_o = 0,6τ_allow = 75 MPa

d_o = mm

5.Lực cắt và mômen uốnTrung bình

Các điểm đánh dấu từ A đến G chia dầm thành sáu phần bằng nhau. Tại điểm nào mômen uốn có độ lớn lớn nhất, dù võng hay vồng? Nhấp vào nó trong sơ đồ.

55 kN @ 1 m5 kN/m, 2–4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Lực cắt và mômen uốnKhó

Dầm đơn giản chịu tải phân bố đều trên một phần nhịp. Tìm mô-men uốn lớn nhất M_max trong dầm.

L = 10 mw = 16 kN/m từ 0 đến 6 m

M_max = kN·m

7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtTrung bình

Một tiết diện chữ U đặt với mặt hở hướng lên: một bản đáy rộng 140 mm với hai cánh đứng, tổng chiều cao 150 mm. Đáy và các cánh đều dày 10 mm. Tìm độ cao ȳ của trọng tâm so với cạnh đáy.

b = 140 mmh = 150 mmt = 10 mm

ȳ = mm

8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtKhó

Mặt cắt chữ T được dùng làm dầm với cánh ở trên và chịu mômen uốn làm võng xuống 5 kN·m. Tìm độ lớn ứng suất uốn σ_trên ở mép trên.

b_f = 240 mmt_f = 15 mmt_w = 14 mmh_w = 300 mmM = 5 kN·m

σ_trên = MPa

9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình

Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = −50 MPa, σᵧ = −40 MPa và τₓᵧ = 40 MPa (kéo là dương). Tìm ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng τ_max.

σ_x = −50 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = 40 MPa

τ_max = MPa

10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó

Một bể hình trụ thành mỏng có đường kính trong 600 mm và chiều dày thành 6 mm chứa khí ở áp suất dư 0,8 MPa. Nó được làm từ tấm thép hàn theo một đường hàn xoắn ốc nghiêng 30° so với trục của hình trụ. Tìm độ lớn của ứng suất cắt |τ_n| tác dụng dọc theo đường hàn.

D = 600 mmt = 6 mmp = 0,8 MPaα = 30°

|τ_n| = MPa

11.Độ võng của dầmTrung bình

Một dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w trên toàn nhịp. Tìm độ võng lớn nhất δ_max, tại giữa nhịp.

w = 12 kN/mL = 2,5 mE = 11 GPa (gỗ xẻ)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Độ võng của dầmKhó

Một dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w và một tải tập trung P ở giữa nhịp. Dùng nguyên lý xếp chồng, tìm độ võng giữa nhịp δ_max.

P = 8 kNw = 20 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (thép)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Mất ổn định cộtTrung bình

Một cột dài L làm bằng thép được ngàm ở chân và tự do ở đỉnh. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn P_cr của nó.

L = 1 mE = 200 GPa (thép)d = 50 mm

P_cr = kN

14.Mất ổn định cộtKhó

Một cột dài L làm bằng nhôm được ngàm cả hai đầu. Tìm độ mảnh của nó và ứng suất oằn tới hạn σ_cr theo công thức Euler.

L = 5 mE = 70 GPa (nhôm)d = 60 mm

σ_cr = MPa

3Dung dịch

1.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: δ = 0,1126 mm

Hai vật liệu: khi nối tiếp (cái này sau cái kia) mỗi đoạn chịu cùng một lực và các độ giãn dài cộng lại: δ = P·Σ L/(E·A). Khi song song (cạnh nhau giữa các tấm cứng) cả hai phần co lại cùng một lượng, nên biến dạng của chúng bằng nhau: phần cứng hơn nhận phần tải lớn hơn, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, và σ_i = E_i·ε. Một thanh bị giữ giữa hai vách cứng với tải đặt tại chỗ nối là siêu tĩnh: hai đoạn chia tải theo tỉ lệ độ cứng k = EA/L của chúng.

Diện tích

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²

Độ cứng dọc trục kết hợp

ΣEA = 200·10³·314,2 + 120·10³·5027 = 6,66 × 10⁸ N

Độ co ngắn

δ = 150000·500/6,66 × 10⁸ = 0,1126 mm

Đáp số

δ = 0,1126 mm

2.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: δ = 3,99 mm

Cấu kiện chịu tải dọc trục: mỗi đoạn lăng trụ tuân theo δ = PL/(AE). Với các cấu kiện nối tiếp, độ giãn dài cộng lại.

Cùng một lực trong cả hai đoạn

Đầu tự do chịu lực P, nên mọi mặt cắt của thanh đều chịu cùng một lực dọc trục P. Chỉ có diện tích và vật liệu thay đổi.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 114,3 MPa

σ₂ = 350,1 MPa

Cộng độ giãn dài của các đoạn

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 114,3·500/117000 = 0,4886 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 350,1·1000/100000 = 3,501 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 3,99 mm

Đáp số

δ = 3,99 mm

3.Xoắn của trục

Đáp số: G = 80,13 GPa

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τ_max = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mô-men quán tính độc cực và góc

J = π·12⁴/32 = 2036 mm⁴

φ = 2,81·π/180 = 0,04904 rad

Mô đun trượt

T = 20 N·m = 20000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 20000·400/(2036·0,04904) = 80127 MPa

G = 80,13 GPa

Đáp số

G = 80,13 GPa

So sánh: thép ≈ 80 GPa, đồng thau ≈ 39 GPa, nhôm ≈ 26 GPa.

4.Xoắn của trục

Đáp số: d_o = 23,16 mm

Mômen xoắn

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314,2 rad/s

T = P/ω = 50000/314,2 = 159,2 N·m

Đường kính ngoài từ ứng suất cho phép

T = 159,2 N·m = 159155 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,6⁴ = 0,8704

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·159155/(π·75·0,8704)) = 23,16 mm

d_i = 0,6·23,16 = 13,89 mm

Đáp số

d_o = 23,16 mm

Một trục đặc sẽ cần d = 22,11 mm; trục rỗng lớn hơn một chút nhưng nhẹ hơn nhiều.

5.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: B (x = 1 m)

Mômen uốn lớn nhất: M đổi độ dốc ở bất cứ chỗ nào lực cắt thay đổi, nên các đỉnh của nó nằm nơi lực cắt đi qua không: dưới một tải tập trung, bên trong một tải phân bố, hoặc trên một gối của phần công-xon. Tại ngàm của dầm công-xon, mômen lớn nhất ở chân tường. So sánh độ lớn của M tại những chỗ đó, dù là mômen làm võng hay làm vồng.

Phản lực gối

Lấy mômen quanh một gối tựa, rồi dùng cân bằng lực thẳng đứng.

R₁ = 50,83 kN, R₂ = 14,17 kN

Mômen uốn tại mỗi điểm đánh dấu

Cộng các mômen của mọi lực ở một phía của mặt cắt. Võng là dương, vồng là âm.

M_A = 0, M_B = 50,83 kN·m, M_C = 46,67, M_D = 40, M_E = 28,33, M_F = 14,17, M_G = 0

Đáp số

Điểm đánh dấu B: M_B = 50,83 kN·m

6.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: M_max = 141,1 kN·m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt. Mô-men lớn nhất: vì dM/dx = V, mô-men uốn đạt cực trị tại nơi lực cắt đi qua không, hoặc tại một lực tập trung hoặc bên trong một tải phân bố.

Phản lực gối

Cân bằng của cả dầm.

Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 16·6 = 96 kN, đặt tại x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 16·6·3

R_B = 288/10 = 28,8 kN

ΣF_y = 0: R_A = 96 − 28,8 = 67,2 kN

Lực cắt bằng không

Lực cắt bắt đầu bằng R_A, không đổi trên mọi đoạn không chịu tải và giảm với độ dốc w bên trong đoạn tải.

R_A − w·(x₀ − 0) = 0

x₀ = 0 + 67,2/16 = 4,2 m

Mô-men lớn nhất

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 0)²/2 = 67,2·4,2 − 16·4,2²/2 = 141,1 kN·m

Đáp số

M_max = 141,1 kN·m

7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: ȳ = 55 mm

Diện tích ghép: chia mặt cắt thành các hình chữ nhật. Trọng tâm là trung bình có trọng số theo diện tích ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Mômen quán tính của mặt cắt đối với trục đi qua trọng tâm bằng tổng bh³/12 của từng phần và số hạng trục song song A·d², trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm của phần đó đến trọng tâm chung. Ứng suất uốn là σ = M·y/I.

Chia thành các hình chữ nhật

Lấy đáy với toàn bộ chiều rộng và hai cánh phía trên nó (cao h − t), để không có phần nào bị tính hai lần.

nền: A₁ = 140·10 = 1400 mm², y₁ = 5 mm

hai cánh: A₂ = 2·10·140 = 2800 mm², y₂ = 10 + 140/2 = 80 mm

Trọng tâm

ȳ = (1400·5 + 2800·80)/4200 = 55 mm

Đáp số

ȳ = 55 mm

8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: σ_trên = 5,794 MPa

Chia thành hai hình chữ nhật

Đo mọi y từ mép dưới.

cánh: A_f = 240·15 = 3600 mm², y_f = 300 + 15/2 = 307,5 mm

bụng: A_w = 14·300 = 4200 mm², y_w = 300/2 = 150 mm

Trọng tâm

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3600·307,5 + 4200·150)/7800 = 222,7 mm

Định lý trục song song

cánh: 240·15³/12 + 3600·(307,5 − 222,7)² = 2,596 × 10⁷ mm⁴

bụng: 14·300³/12 + 4200·(150 − 222,7)² = 5,369 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,596 × 10⁷ + 5,369 × 10⁷ = 7,965 × 10⁷ mm⁴

Ứng suất uốn

Mép trên cách trục h − ȳ.

y = 315 − 222,7 = 92,31 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁶·92,31/7,965 × 10⁷ = 5,794 MPa

Đáp số

σ_trên = 5,794 MPa

9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: τ_max = 40,31 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

Bán kính vòng tròn Mohr

τ_max = R = √(((−50 − −40)/2)² + 40²) = 40,31 MPa

Đáp số

τ_max = 40,31 MPa

10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: |τ_n| = 8,66 MPa

Các ứng suất trong thành

r = 600/2 = 300 mm

σ_h = pr/t = 0,8·300/6 = 40 MPa

σ_a = pr/(2t) = 20 MPa

Biến đổi sang đường hàn

Lấy x dọc theo trục (σ_a) và y theo chiều vòng (σ_h). Pháp tuyến của đường hàn tạo góc 90° − α với trục.

|τ_n| = (40 − 20)·sin 30°·cos 30° = 8,66 MPa

Đáp số

|τ_n| = 8,66 MPa

11.Độ võng của dầm

Đáp số: δ_max = 24,12 mm

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

w = 12 N/mm, L = 2500 mm

EI = 2,53 × 10¹¹ N·mm²

Độ võng

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·2500⁴/(384·2,53 × 10¹¹) = 24,12 mm

Đáp số

δ_max = 24,12 mm

12.Độ võng của dầm

Đáp số: δ_max = 5,564 mm

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

P = 8000 N, w = 20 N/mm, L = 3000 mm, EI = 4,6 × 10¹² N·mm²

Từng tải riêng rẽ

δ_P = PL³/(48EI) = 8000·3000³/(48·4,6 × 10¹²) = 0,9783 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·3000⁴/(384·4,6 × 10¹²) = 4,586 mm

Cộng lại

δ_max = 0,9783 + 4,586 = 5,564 mm

Đáp số

δ_max = 5,564 mm

13.Mất ổn định cột

Đáp số: P_cr = 151,4 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại P_cr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 2·1000 = 2000 mm

Tải trọng tới hạn

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/2000² = 151398 N = 151,4 kN

Đáp số

P_cr = 151,4 kN

14.Mất ổn định cột

Đáp số: σ_cr = 24,87 MPa

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Bán kính quán tính và độ mảnh

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

KL/r = 2500/15 = 166,7

Ứng suất tới hạn

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/166,7² = 24,87 MPa

Đáp số

σ_cr = 24,87 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials