Sức bền vật liệu: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 14 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp
σ = F/A
Biến dạng
ε = ΔL/L
Định luật Hooke
σ = E·ε
Độ giãn dài
ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt
εT = α·ΔT

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp
τ = T·r/J
Trục đặc
J = πd⁴/32
Trục rỗng
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn
φ = TL/(GJ)
Công suất
P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

  1. Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
  2. Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
  3. Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
  4. Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lực cắt và mômen uốn

Lực cắt và mômen
V = ΣF ở một phía, M = ΣF·d ở một phía
Ứng suất uốn
σ = M·y/I
Hình chữ nhật
I = bh³/12
Mômen chống uốn của mặt cắt
W = I/ymax
Dầm đơn giản, tải phân bố đều
Mmax = wL²/8

Phương pháp

  1. Tìm phản lực gối từ cân bằng của cả dầm.
  2. Cắt dầm tại mặt cắt bạn cần và giữ lại một phía.
  3. Lực cắt: tổng các lực thẳng đứng ở phía đó. Mômen uốn: tổng mômen của chúng quanh mặt cắt.
  4. Để tìm mômen lớn nhất, hãy tìm nơi lực cắt bằng không.

Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Trọng tâm
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Hình chữ nhật
I = bh³/12
Định lý trục song song
I = Ic + A·d²
Mặt cắt ghép
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm
C = (σx + σy)/2
Bán kính
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Ứng suất chính
σ1,2 = C ± R
Phương chính
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Mặt phẳng nghiêng
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Phương pháp

  1. Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
  4. Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Độ võng của dầm

Tải tập trung ở giữa nhịp
δ = PL³/(48EI)
Tải phân bố đều, dầm đơn giản
δ = 5wL⁴/(384EI)
Công xôn, tải ở đầu
δ = PL³/(3EI)
Công xôn, tải phân bố đều
δ = wL⁴/(8EI)
Nguyên lý xếp chồng
δ = δ1 + δ2

Mất ổn định cột

Tải Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán
K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn
σcr = Pcr/A
Độ mảnh
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Bài tập

1.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình
Ø 12 mmNhôm1,5 mP = 115 kN

Tìm độ giãn dài δ của thanh nhôm dưới tải trọng dọc trục.

P = 115 kNd = 12 mmL = 1,5 mE = 70 GPa
δ = mm
2.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó
Ø 35 mmĐồng1 mØ 16 mmThép2 mP = 55 kN

Thanh bậc được ngàm vào tường và chịu tải ở đầu tự do. Tìm tổng độ giãn dài δ.

P = 55 kNđoạn 1: Ø35 mm, 1 m, đồng (E = 117 GPa)đoạn 2: Ø16 mm, 2 m, thép (E = 200 GPa)
δ = mm
3.Xoắn của trụcTrung bình
do​ = ?T = 400 N·m

Một trục rỗng phải chịu mô-men xoắn 400 N·m. Đường kính trong của nó bằng 0,7 lần đường kính ngoài, và ứng suất cắt không được vượt quá 40 MPa. Tìm đường kính ngoài nhỏ nhất do.

T = 400 N·mdi/do = 0,7τallow = 40 MPa
do = mm
4.Xoắn của trụcKhó
do​ = ?100 kW, 1800 rpm

Một trục rỗng phải truyền 100 kW ở 1800 rpm. Đường kính trong của nó bằng 0,8 lần đường kính ngoài, và ứng suất cắt không được vượt quá 40 MPa. Tìm đường kính ngoài nhỏ nhất do.

P = 100 kWN = 1800 rpmdi/do = 0,8τallow = 40 MPa
do = mm
5.Lực cắt và mômen uốnTrung bình
w = 5 kN/mABmặt cắt3 m1 m

Tìm lực cắt Vx tại mặt cắt x = 3 m tính từ gối A. Coi mômen làm dầm võng xuống là dương và lực cắt hướng lên trên mặt trái là dương.

L = 4 mw = 5 kN/m từ 0 đến 4 mx = 3 m
Vx = kN
6.Lực cắt và mômen uốnKhó
20 kN10 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

Các điểm đánh dấu từ A đến G chia dầm thành sáu phần bằng nhau. Tại điểm nào mômen uốn có độ lớn lớn nhất, dù võng hay vồng? Nhấp vào nó trong sơ đồ.

20 kN @ 0 m10 kN @ 12 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtTrung bình
xD = 270d = 242kích thước tính bằng mm

Một ống tròn có đường kính ngoài D = 270 mm và đường kính trong d = 242 mm. Tìm bán kính quán tính r của nó đối với trục nằm ngang qua trọng tâm.

D = 270 mmd = 242 mm
r = mm
8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtKhó
200 mm200 mm120 mm30 × 30xIx​ = ?

Một tấm 200 mm × 200 mm có một lỗ khoét hình chữ nhật rộng 30 mm và cao 30 mm, đặt giữa đường tâm thẳng đứng với tâm cách đáy 120 mm. Tìm mômen quán tính diện tích Ix quanh trục nằm ngang đi qua trọng tâm.

b = 200 mmh = 200 mmlỗ khoét: 30 × 30 mmtâm lỗ: y = 120 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình
σx​ = −20σy​ = 100τxy​ = 30MPa

Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = −20 MPa, σᵧ = 100 MPa và τₓᵧ = 30 MPa (kéo là dương). Tìm ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng τmax.

σx = −20 MPaσy = 100 MPaτxy = 30 MPa
τmax = MPa
10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó
σx​ = 30σy​ = 50τxy​ = −30MPa

Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = 30 MPa, σᵧ = 50 MPa và τₓᵧ = −30 MPa (kéo là dương). Tìm ứng suất pháp σθ trên một mặt có pháp tuyến xoay 45° theo chiều kim đồng hồ so với trục x.

σx = 30 MPaσy = 50 MPaτxy = −30 MPaθ = -45°
σθ = MPa
11.Độ võng của dầmTrung bình
P = 17 kNABδ0,5 m1,5 m

Một dầm công-xôn dài L ngàm tại A và chịu lực tập trung P tại vị trí cách A một đoạn a = 0,5 m. Tìm độ võng δP dưới tải.

P = 17 kNa = 0,5 mL = 2 mE = 11 GPa (gỗ xẻ)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
12.Độ võng của dầmKhó
w = 6 kN/mδL = 6 m

Một dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w. Độ võng của nó không được vượt quá nhịp/360. Tìm mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt Ireq thỏa mãn giới hạn này.

w = 6 kN/mL = 6 mE = 11 GPa (gỗ xẻ)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.Mất ổn định cộtTrung bình
PL = 2,5 md = 30 mmmặt cắt ngang

Một cột dài L làm bằng nhôm được ngàm cả hai đầu. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn Pcr của nó.

L = 2,5 mE = 70 GPa (nhôm)d = 30 mm
Pcr = kN
14.Mất ổn định cộtKhó
P = 145 kNL = 1 md = ?mặt cắt ngang

Một cột tròn đặc dài L làm bằng nhôm được ngàm ở chân và tự do ở đỉnh. Nó phải chịu 145 kN với hệ số an toàn 2 chống oằn. Tìm đường kính nhỏ nhất d.

P = 145 kNn = 2L = 1 mE = 70 GPa (nhôm)
d = mm

3Dung dịch

1.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: δ = 21,79 mm

Định luật Hooke: trong giới hạn đàn hồi σ = E·ε. Kết hợp với σ = P/A và ε = δ/L ta được δ = PL/(AE).

Ứng suất

A = π·12²/4 = 113,1 mm²
σ = P/A = 115·1000/113,1 = 1017 MPa

Biến dạng (định luật Hooke)

E for nhôm = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 1017/70000 = 0,01453 = 14526 µε

Độ giãn dài

δ = ε·L = 0,01453·1500 mm = 21,79 mm

Đáp số

δ = 21,79 mm
2.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: δ = 3,224 mm

Cấu kiện chịu tải dọc trục: mỗi đoạn lăng trụ tuân theo δ = PL/(AE). Với các cấu kiện nối tiếp, độ giãn dài cộng lại.

Cùng một lực trong cả hai đoạn

Đầu tự do chịu lực P, nên mọi mặt cắt của thanh đều chịu cùng một lực dọc trục P. Chỉ có diện tích và vật liệu thay đổi.

A1 = π·35²/4 = 962,1 mm², A2 = π·16²/4 = 201,1 mm²
σ1 = 57,17 MPa
σ2 = 273,5 MPa

Cộng độ giãn dài của các đoạn

δ1 = σ1L1/E1 = 57,17·1000/117000 = 0,4886 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 273,5·2000/200000 = 2,735 mm
δ = δ1 + δ2 = 3,224 mm

Đáp số

δ = 3,224 mm
3.Xoắn của trục

Đáp số: do = 40,62 mm

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Đường kính ngoài từ ứng suất cho phép

T = 400 N·m = 400000 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0,7⁴ = 0,7599
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·400000/(π·40·0,7599)) = 40,62 mm
di = 0,7·40,62 = 28,43 mm

Đáp số

do = 40,62 mm

Một trục đặc sẽ cần d = 37,07 mm; trục rỗng lớn hơn một chút nhưng nhẹ hơn nhiều.

4.Xoắn của trục

Đáp số: do = 48,55 mm

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen xoắn

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s
T = P/ω = 100000/188,5 = 530,5 N·m

Đường kính ngoài từ ứng suất cho phép

T = 530,5 N·m = 530516 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0,8⁴ = 0,5904
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·530516/(π·40·0,5904)) = 48,55 mm
di = 0,8·48,55 = 38,84 mm

Đáp số

do = 48,55 mm

Một trục đặc sẽ cần d = 40,73 mm; trục rỗng lớn hơn một chút nhưng nhẹ hơn nhiều.

5.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: Vx = −5 kN

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt.

Phản lực gối

Cân bằng của cả dầm.

Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 5·4 = 20 kN, đặt tại x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 5·4·2
RB = 40/4 = 10 kN
ΣFy = 0: RA = 20 − 10 = 10 kN
w = 5 kN/mABRA​ = 10RB​ = 10mặt cắt3 m1 m

Cắt tại x = 3 m và giữ phần bên trái

Chỉ các lực bên trái mặt cắt xuất hiện. Phần tải phân bố đều được thay bằng một lực đặt tại giữa phần đó.

V = RA − (mọi tải hướng xuống bên trái mặt cắt)
Vx = 10 − 5·3 = −5 kN

Đáp số

Vx = −5 kN
6.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: B (x = 2 m)

Mômen uốn lớn nhất: M đổi độ dốc ở bất cứ chỗ nào lực cắt thay đổi, nên các đỉnh của nó nằm nơi lực cắt đi qua không: dưới một tải tập trung, bên trong một tải phân bố, hoặc trên một gối của phần công-xon. Tại ngàm của dầm công-xon, mômen lớn nhất ở chân tường. So sánh độ lớn của M tại những chỗ đó, dù là mômen làm võng hay làm vồng.

Phản lực gối

Lấy mômen quanh một gối tựa, rồi dùng cân bằng lực thẳng đứng.

R1 = 22,5 kN, R2 = 7,5 kN

Mômen uốn tại mỗi điểm đánh dấu

Cộng các mômen của mọi lực ở một phía của mặt cắt. Võng là dương, vồng là âm.

MA = 0, MB = −40 kN·m, MC = −35, MD = −30, ME = −25, MF = −20, MG = 0

Đáp số

Điểm đánh dấu B: MB = −40 kN·m
7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: r = 90,64 mm

Mô-men quán tính của tiết diện: với hình chữ nhật đối với trục qua trọng tâm của nó I = bh³/12, và đối với trục đáy bh³/3 (định lý trục song song I = Ic + A·d²). Lỗ rỗng được xử lý bằng cách trừ đi I của nó, miễn là cả hai phần có chung một trục. Mô-đun chống uốn đàn hồi là S = I/c, với c là khoảng cách đến thớ ngoài cùng. Bán kính quán tính r = √(I/A) là khoảng cách mà tại đó toàn bộ diện tích cho cùng giá trị I; nó được dùng trong bài toán mất ổn định của cột.

Diện tích thực và mô-men quán tính

A = π(D² − d²)/4 = 11259 mm²
I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 9,251 × 10⁷ mm⁴

Bán kính quán tính

r = √(I/A) = √(9,251 × 10⁷/11259) = 90,64 mm

Đáp số

r = 90,64 mm
8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: Ix = 132,9 × 10⁶ mm⁴

Tiết diện có lỗ: coi lỗ là một diện tích âm. Trọng tâm là ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), với A₁, y₁ cho tấm đầy đủ và A₂, y₂ cho lỗ. Với mômen quán tính diện tích quanh trục đi qua trọng tâm, dùng định lý trục song song cho từng phần rồi trừ lỗ: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm riêng của mỗi phần đến trục đi qua ȳ. Hình chữ nhật có Ic = bh³/12 và hình tròn có Ic = πd⁴/64.

Trọng tâm

ȳ = (40000·100 − 900·120)/(40000 − 900) = 99,54 mm

Tấm đầy đủ quanh ȳ

200·200³/12 + 40000·0,4604² = 133,3 × 10⁶ mm⁴

Lỗ quanh ȳ

30·30³/12 + 900·20,46² = 0,4443 × 10⁶ mm⁴

Trừ

Ix = 132,9 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

Ix = 132,9 × 10⁶ mm⁴
9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: τmax = 67,08 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

στxyCτmax​

Bán kính vòng tròn Mohr

τmax = R = √(((−20 − 100)/2)² + 30²) = 67,08 MPa

Đáp số

τmax = 67,08 MPa
10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: σθ = 70 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

Phương trình biến đổi

σθ = 40 + −10·0 + −30·−1 = 70 MPa

Đáp số

σθ = 70 MPa
11.Độ võng của dầm

Đáp số: δP = 1,789 mm

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

P = 17000 N, a = 500 mm, L = 2000 mm
EI = 3,96 × 10¹¹ N·mm²

Độ võng dưới tải

δP = Pa³/(3EI) = 17000·500³/(3·3,96 × 10¹¹) = 1,789 mm

Đáp số

δP = 1,789 mm
12.Độ võng của dầm

Đáp số: Ireq = 552,3 × 10⁶ mm⁴

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Giới hạn độ võng

δallow = L/360 = 6000/360 = 16,67 mm

Mômen quán tính mặt cắt yêu cầu

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·6·6000⁴/(384·11000·16,67) = 5,523 × 10⁸ mm⁴
Ireq = 552,3 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

Ireq = 552,3 × 10⁶ mm⁴
13.Mất ổn định cột

Đáp số: Pcr = 17,58 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 0,5·2500 = 1250 mm

Tải trọng tới hạn

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·39761/1250² = 17581 N = 17,58 kN

Đáp số

Pcr = 17,58 kN
14.Mất ổn định cột

Đáp số: d = 76,48 mm

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Tải trọng tới hạn yêu cầu

Pcr = n·P = 2·145000 = 290000 N
KL = 2·1000 = 2000 mm

Giải tìm đường kính

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·290000·2000²/(π³·70000))^(1/4) = 76,48 mm

Đáp số

d = 76,48 mm

Kiểm tra: độ mảnh KL/r là 104,6, nên cột là mảnh và công thức Euler áp dụng được.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials