Sức bền vật liệu: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 14 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp
σ = F/A
Biến dạng
ε = ΔL/L
Định luật Hooke
σ = E·ε
Độ giãn dài
ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt
εT = α·ΔT

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp
τ = T·r/J
Trục đặc
J = πd⁴/32
Trục rỗng
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn
φ = TL/(GJ)
Công suất
P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

  1. Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
  2. Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
  3. Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
  4. Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lực cắt và mômen uốn

Lực cắt và mômen
V = ΣF ở một phía, M = ΣF·d ở một phía
Ứng suất uốn
σ = M·y/I
Hình chữ nhật
I = bh³/12
Mômen chống uốn của mặt cắt
W = I/ymax
Dầm đơn giản, tải phân bố đều
Mmax = wL²/8

Phương pháp

  1. Tìm phản lực gối từ cân bằng của cả dầm.
  2. Cắt dầm tại mặt cắt bạn cần và giữ lại một phía.
  3. Lực cắt: tổng các lực thẳng đứng ở phía đó. Mômen uốn: tổng mômen của chúng quanh mặt cắt.
  4. Để tìm mômen lớn nhất, hãy tìm nơi lực cắt bằng không.

Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Trọng tâm
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Hình chữ nhật
I = bh³/12
Định lý trục song song
I = Ic + A·d²
Mặt cắt ghép
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm
C = (σx + σy)/2
Bán kính
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Ứng suất chính
σ1,2 = C ± R
Phương chính
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Mặt phẳng nghiêng
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Phương pháp

  1. Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
  4. Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Độ võng của dầm

Tải tập trung ở giữa nhịp
δ = PL³/(48EI)
Tải phân bố đều, dầm đơn giản
δ = 5wL⁴/(384EI)
Công xôn, tải ở đầu
δ = PL³/(3EI)
Công xôn, tải phân bố đều
δ = wL⁴/(8EI)
Nguyên lý xếp chồng
δ = δ1 + δ2

Mất ổn định cột

Tải Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán
K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn
σcr = Pcr/A
Độ mảnh
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Bài tập

1.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình
Ø 12 mmThép1,5 mP = 105 kN

Tìm độ giãn dài δ của thanh thép dưới tải trọng dọc trục.

P = 105 kNd = 12 mmL = 1,5 mE = 200 GPa
δ = mm
2.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó
Ø 40 mmThép1,5 mØ 20 mmĐồng0,5 mP = 100 kN

Thanh bậc được ngàm vào tường và chịu tải ở đầu tự do. Tìm tổng độ giãn dài δ.

P = 100 kNđoạn 1: Ø40 mm, 1,5 m, thép (E = 200 GPa)đoạn 2: Ø20 mm, 0,5 m, đồng (E = 117 GPa)
δ = mm
3.Xoắn của trụcTrung bình
T = 400 N·md = 40 mmL = 1 mφ = ?

Một trục đặc thép được ngàm vào tường và bị xoắn bởi mômen xoắn T ở đầu tự do. Tìm góc xoắn φ của đầu tự do, theo độ.

T = 400 N·md = 40 mmL = 1 mG = 80 GPa
φ = °
4.Xoắn của trụcKhó
do​ = ?100 kW, 1000 rpm

Một trục rỗng phải truyền 100 kW ở 1000 rpm. Đường kính trong của nó bằng 0,75 lần đường kính ngoài, và ứng suất cắt không được vượt quá 40 MPa. Tìm đường kính ngoài nhỏ nhất do.

P = 100 kWN = 1000 rpmdi/do = 0,75τallow = 40 MPa
do = mm
5.Lực cắt và mômen uốnTrung bình
P1​ = 10 kNP2​ = 70 kNAB1,5 m2 m1,5 m

Dầm đơn giản chịu hai lực tập trung. Tìm mô-men uốn lớn nhất Mmax trong dầm.

L = 5 mP1 = 10 kN tại 1,5 mP2 = 70 kN tại 3,5 m
Mmax = kN·m
6.Lực cắt và mômen uốnKhó
w = 4 kN/mABC5 m2 m

Dầm đặt trên gối cố định tại A và gối con lăn tại B, và đoạn công-xôn nhô ra khỏi B một đoạn 2 m tới đầu tự do C. Tải phân bố đều w tác dụng trên toàn bộ chiều dài A–C. Tìm khoảng cách xc từ A đến điểm đổi dấu mô-men giữa hai gối (nơi mô-men uốn đổi dấu).

L = 7 mw = 4 kN/m từ 0 đến 7 mcác gối tại x = 0 và x = 5 m
xc = m
7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtTrung bình
200 mm150 mm60 mmØ60xIx​ = ?

Một tấm 200 mm × 150 mm có một lỗ tròn đường kính 60 mm trên đường tâm thẳng đứng, tâm lỗ cách đáy 60 mm. Tìm mômen quán tính diện tích Ix quanh trục nằm ngang đi qua trọng tâm.

b = 200 mmh = 150 mmd = 60 mmtâm lỗ: y = 60 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtKhó
2802016010xM võng xuốngkích thước tính bằng mm

Một dầm gang có tiết diện chữ T như hình, cánh nằm phía trên. Ứng suất cho phép là 35 MPa khi kéo và 100 MPa khi nén. Tìm mô-men uốn võng xuống lớn nhất Mallow mà dầm có thể chịu.

bf = 280 mmtf = 20 mmtw = 10 mmhw = 160 mmσt,allow = 35 MPaσc,allow = 100 MPa
Mallow = kN·m
9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình
σx​ = 120σy​ = 0τxy​ = −50MPa

Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = 120 MPa, σᵧ = 0 MPa và τₓᵧ = −50 MPa (kéo là dương). Tìm góc θp từ trục x đến phương của ứng suất chính lớn nhất, trong khoảng −90° đến 90°.

σx = 120 MPaσy = 0 MPaτxy = −50 MPa
θp = °
10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó
σx​ = 40τxy​ = −50MPa

Một điểm trong một tấm mỏng ở trạng thái ứng suất phẳng: σₓ = 40 MPa, σᵧ = 0 MPa và τₓᵧ = −50 MPa (σz = 0). Vật liệu có giới hạn chảy 460 MPa. Tìm hệ số an toàn n chống chảy theo tiêu chuẩn Tresca (ứng suất cắt lớn nhất).

σx = 40 MPaσy = 0 MPaτxy = −50 MPaσY = 460 MPa
n =
11.Độ võng của dầmTrung bình
P = 27 kNABδ2,5 m1,5 m

Một dầm công-xôn dài L ngàm tại A và chịu lực tập trung P tại vị trí cách A một đoạn a = 2,5 m. Tìm độ võng δP dưới tải.

P = 27 kNa = 2,5 mL = 4 mE = 200 GPa (thép)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
12.Độ võng của dầmKhó
w = 6 kN/mδL = 4 m

Một dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w. Độ võng của nó không được vượt quá nhịp/360. Tìm mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt Ireq thỏa mãn giới hạn này.

w = 6 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (nhôm)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.Mất ổn định cộtTrung bình
PL = 1,5 md = 40 mmmặt cắt ngang

Một cột dài L làm bằng thép được ngàm ở chân và tự do ở đỉnh. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn Pcr của nó.

L = 1,5 mE = 200 GPa (thép)d = 40 mm
Pcr = kN
14.Mất ổn định cộtKhó
P = 40 kNL = 2,5 md = ?mặt cắt ngang

Một cột tròn đặc dài L làm bằng nhôm được ngàm cả hai đầu. Nó phải chịu 40 kN với hệ số an toàn 2,5 chống oằn. Tìm đường kính nhỏ nhất d.

P = 40 kNn = 2,5L = 2,5 mE = 70 GPa (nhôm)
d = mm

3Dung dịch

1.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: δ = 6,963 mm

Định luật Hooke: trong giới hạn đàn hồi σ = E·ε. Kết hợp với σ = P/A và ε = δ/L ta được δ = PL/(AE).

Ứng suất

A = π·12²/4 = 113,1 mm²
σ = P/A = 105·1000/113,1 = 928,4 MPa

Biến dạng (định luật Hooke)

E for thép = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 928,4/200000 = 0,004642 = 4642 µε

Độ giãn dài

δ = ε·L = 0,004642·1500 mm = 6,963 mm

Đáp số

δ = 6,963 mm
2.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: δ = 1,957 mm

Cấu kiện chịu tải dọc trục: mỗi đoạn lăng trụ tuân theo δ = PL/(AE). Với các cấu kiện nối tiếp, độ giãn dài cộng lại.

Cùng một lực trong cả hai đoạn

Đầu tự do chịu lực P, nên mọi mặt cắt của thanh đều chịu cùng một lực dọc trục P. Chỉ có diện tích và vật liệu thay đổi.

A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·20²/4 = 314,2 mm²
σ1 = 79,58 MPa
σ2 = 318,3 MPa

Cộng độ giãn dài của các đoạn

δ1 = σ1L1/E1 = 79,58·1500/200000 = 0,5968 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 318,3·500/117000 = 1,36 mm
δ = δ1 + δ2 = 1,957 mm

Đáp số

δ = 1,957 mm
3.Xoắn của trục

Đáp số: φ = 1,14 °

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen quán tính độc cực của mặt cắt

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Góc xoắn

φ = TL/(GJ) = 400·1000·1000/(80000·251327) = 0,01989 rad
φ = 0,01989·180/π = 1,14°

Đáp số

φ = 1,14°
4.Xoắn của trục

Đáp số: do = 56,24 mm

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen xoắn

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s
T = P/ω = 100000/104,7 = 954,9 N·m

Đường kính ngoài từ ứng suất cho phép

T = 954,9 N·m = 954930 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0,75⁴ = 0,6836
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·954930/(π·40·0,6836)) = 56,24 mm
di = 0,75·56,24 = 42,18 mm

Đáp số

do = 56,24 mm

Một trục đặc sẽ cần d = 49,54 mm; trục rỗng lớn hơn một chút nhưng nhẹ hơn nhiều.

5.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: Mmax = 78 kN·m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt. Mô-men lớn nhất: vì dM/dx = V, mô-men uốn đạt cực trị tại nơi lực cắt đi qua không, hoặc tại một lực tập trung hoặc bên trong một tải phân bố.

Phản lực gối

Cân bằng của cả dầm.

ΣMA = 0: RB·5 = 10·1,5 + 70·3,5
RB = 260/5 = 52 kN
ΣFy = 0: RA = 80 − 52 = 28 kN

Mô-men dưới mỗi tải

Giữ phần bên trái của mỗi tải.

dưới P1: M = RA·1,5 = 28·1,5 = 42 kN·m
dưới P2: M = RB·1,5 = 52·1,5 = 78 kN·m

Giá trị lớn nhất

Mmax = 78 kN·m (dưới P2)

Đáp số

Mmax = 78 kN·m
6.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: xc = 4,2 m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt. Mô-men lớn nhất: vì dM/dx = V, mô-men uốn đạt cực trị tại nơi lực cắt đi qua không, hoặc tại một lực tập trung hoặc bên trong một tải phân bố.

Phản lực gối

Cân bằng của toàn bộ dầm, kể cả tải trên đoạn công-xôn.

Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 4·7 = 28 kN, đặt tại x̄ = 3,5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 4·7·3,5
RB = 98/5 = 19,6 kN
ΣFy = 0: RA = 28 − 19,6 = 8,4 kN

Mô-men bằng không

Giữa hai gối M(x) = RA·x − w·x²/2. Ngoài x = 0, nó bằng không tại x = 2RA/w.

RA·xc − w·xc²/2 = 0
xc = 2·8,4/4 = 4,2 m

Đáp số

xc = 4,2 m
7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: Ix = 54,91 × 10⁶ mm⁴

Tiết diện có lỗ: coi lỗ là một diện tích âm. Trọng tâm là ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), với A₁, y₁ cho tấm đầy đủ và A₂, y₂ cho lỗ. Với mômen quán tính diện tích quanh trục đi qua trọng tâm, dùng định lý trục song song cho từng phần rồi trừ lỗ: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm riêng của mỗi phần đến trục đi qua ȳ. Hình chữ nhật có Ic = bh³/12 và hình tròn có Ic = πd⁴/64.

Trọng tâm

ȳ = (30000·75 − 2827·60)/(30000 − 2827) = 76,56 mm

Tấm đầy đủ quanh ȳ

200·150³/12 + 30000·−1,561² = 56,32 × 10⁶ mm⁴

Lỗ quanh ȳ

π·60⁴/64 + 2827·−16,56² = 1,412 × 10⁶ mm⁴

Trừ

Ix = 54,91 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

Ix = 54,91 × 10⁶ mm⁴
8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: Mallow = 3,192 kN·m

Diện tích ghép: chia mặt cắt thành các hình chữ nhật. Trọng tâm là trung bình có trọng số theo diện tích ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Mômen quán tính của mặt cắt đối với trục đi qua trọng tâm bằng tổng bh³/12 của từng phần và số hạng trục song song A·d², trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm của phần đó đến trọng tâm chung. Ứng suất uốn là σ = M·y/I.

Trọng tâm

ȳ = (5600·170 + 1600·80)/7200 = 150 mm
cạnh trên: c = 180 − 150 = 30 mm

Mômen quán tính mặt cắt

I = 280·20³/12 + 5600·20² + 10·160³/12 + 1600·70² = 1,368 × 10⁷ mm⁴

Mô-men cho phép theo từng cạnh

Võng xuống: thớ trên chịu nén, thớ dưới chịu kéo.

cạnh trên: M = 100·1,368 × 10⁷/30 = 45,6 kN·m
cạnh dưới: M = 35·1,368 × 10⁷/150 = 3,192 kN·m

Giá trị quyết định

Mallow = min = 3,192 kN·m (cạnh dưới)

Đáp số

Mallow = 3,192 kN·m
9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: θp = −19,9 °

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

στxyCσ1​σ2​

Góc trên vòng tròn

Điểm x nằm ở góc 2θp so với trục σ trên vòng tròn Mohr; góc phần tư suy ra từ dấu của σₓ − σᵧ và τₓᵧ.

2θp = atan2(2·−50, 120 − 0) = −39,81°

Góc trên phần tử

θp = −19,9°

Đáp số

θp = −19,9°

Góc dương là ngược chiều kim đồng hồ.

10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: n = 4,271

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R. Tiêu chuẩn chảy: von Mises dự đoán vật liệu chảy khi σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) đạt σY; Tresca khi ứng suất cắt lớn nhất tuyệt đối đạt σY/2.

στxyCσ1​σ2​

Ứng suất chính

C = 20 MPa, R = 53,85 MPa
σ1 = 73,85 MPa, σ2 = −33,85 MPa, σ3 = 0

Tresca

σmax − σmin = 107,7 MPa
n = 460/107,7 = 4,271

Đáp số

n = 4,271

n > 1 nghĩa là điểm không bị chảy; Tresca thận trọng hơn von Mises một chút.

11.Độ võng của dầm

Đáp số: δP = 30,57 mm

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

P = 27000 N, a = 2500 mm, L = 4000 mm
EI = 4,6 × 10¹² N·mm²

Độ võng dưới tải

δP = Pa³/(3EI) = 27000·2500³/(3·4,6 × 10¹²) = 30,57 mm

Đáp số

δP = 30,57 mm
12.Độ võng của dầm

Đáp số: Ireq = 25,71 × 10⁶ mm⁴

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Giới hạn độ võng

δallow = L/360 = 4000/360 = 11,11 mm

Mômen quán tính mặt cắt yêu cầu

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·6·4000⁴/(384·70000·11,11) = 2,571 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 25,71 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

Ireq = 25,71 × 10⁶ mm⁴
13.Mất ổn định cột

Đáp số: Pcr = 27,56 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 2·1500 = 3000 mm

Tải trọng tới hạn

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/3000² = 27561 N = 27,56 kN

Đáp số

Pcr = 27,56 kN
14.Mất ổn định cột

Đáp số: d = 46,33 mm

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Tải trọng tới hạn yêu cầu

Pcr = n·P = 2,5·40000 = 100000 N
KL = 0,5·2500 = 1250 mm

Giải tìm đường kính

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·100000·1250²/(π³·70000))^(1/4) = 46,33 mm

Đáp số

d = 46,33 mm

Kiểm tra: độ mảnh KL/r là 107,9, nên cột là mảnh và công thức Euler áp dụng được.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials