Sức bền vật liệu: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 14 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp: σ = F/A
Biến dạng: ε = ΔL/L
Định luật Hooke: σ = E·ε
Độ giãn dài: ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt: ε_T = α·ΔT

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp: τ = T·r/J
Trục đặc: J = πd⁴/32
Trục rỗng: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn: φ = TL/(GJ)
Công suất: P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lực cắt và mômen uốn

Lực cắt và mômen: V = ΣF ở một phía, M = ΣF·d ở một phía
Ứng suất uốn: σ = M·y/I
Hình chữ nhật: I = bh³/12
Mômen chống uốn của mặt cắt: W = I/y_max
Dầm đơn giản, tải phân bố đều: M_max = wL²/8

Phương pháp

Tìm phản lực gối từ cân bằng của cả dầm.
Cắt dầm tại mặt cắt bạn cần và giữ lại một phía.
Lực cắt: tổng các lực thẳng đứng ở phía đó. Mômen uốn: tổng mômen của chúng quanh mặt cắt.
Để tìm mômen lớn nhất, hãy tìm nơi lực cắt bằng không.

Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Trọng tâm: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Hình chữ nhật: I = bh³/12
Định lý trục song song: I = I_c + A·d²
Mặt cắt ghép: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm: C = (σ_x + σ_y)/2
Bán kính: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Ứng suất chính: σ_1,2 = C ± R
Phương chính: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Mặt phẳng nghiêng: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Phương pháp

Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Độ võng của dầm

Tải tập trung ở giữa nhịp: δ = PL³/(48EI)
Tải phân bố đều, dầm đơn giản: δ = 5wL⁴/(384EI)
Công xôn, tải ở đầu: δ = PL³/(3EI)
Công xôn, tải phân bố đều: δ = wL⁴/(8EI)
Nguyên lý xếp chồng: δ = δ₁ + δ₂

Mất ổn định cột

Tải Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán: K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn: σ_cr = P_cr/A
Độ mảnh: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Bài tập

1.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình

Tìm độ giãn dài δ của thanh nhôm dưới tải trọng dọc trục.

P = 80 kNd = 12 mmL = 3 mE = 70 GPa

δ = mm

2.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó

Thanh bậc được ngàm vào tường và chịu tải ở đầu tự do. Tìm tổng độ giãn dài δ.

P = 55 kNđoạn 1: Ø30 mm, 1 m, đồng (E = 117 GPa)đoạn 2: Ø20 mm, 1,5 m, đồng thau (E = 100 GPa)

δ = mm

3.Xoắn của trụcTrung bình

Một trục rỗng thép (đường kính ngoài 50 mm, đường kính trong 35 mm, chiều dài 2,5 m) được ngàm một đầu và bị xoắn bởi mô-men xoắn 250 N·m ở đầu kia. Tìm góc xoắn φ theo độ.

T = 250 N·md_o = 50 mmd_i = 35 mmL = 2,5 mG = 80 GPa

φ = °

4.Xoắn của trụcKhó

Một trục đặc nhôm đường kính 30 mm được ngàm tại A. Một mô-men xoắn 1000 N·m tác dụng tại B, cách A 1,5 m, và một mô-men xoắn 100 N·m ngược chiều tác dụng tại đầu tự do C, cách thêm 0,5 m. Tìm ứng suất cắt lớn nhất τ_max trong trục.

d = 30 mmT_B = 1000 N·mT_C = 100 N·mAB = 1,5 mBC = 0,5 m

τ_max = MPa

5.Lực cắt và mômen uốnTrung bình

Các điểm đánh dấu từ A đến G chia dầm thành sáu phần bằng nhau. Tại điểm nào mômen uốn có độ lớn lớn nhất, dù võng hay vồng? Nhấp vào nó trong sơ đồ.

60 kN @ 8 m6 kN/m, 0–12 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Lực cắt và mômen uốnKhó

Dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w trên toàn bộ nhịp và một lực tập trung P. Tìm mô-men uốn lớn nhất M_max trong dầm.

L = 5 mP = 75 kN tại 2,5 mw = 2 kN/m từ 0 đến 5 m

M_max = kN·m

7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtTrung bình

Một tấm 150 mm × 300 mm có một lỗ tròn đường kính 60 mm trên đường tâm thẳng đứng, tâm lỗ cách đáy 120 mm. Tìm mômen quán tính diện tích I_x quanh trục nằm ngang đi qua trọng tâm.

b = 150 mmh = 300 mmd = 60 mmtâm lỗ: y = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtKhó

Mặt cắt chữ T được dùng làm dầm với cánh ở trên và chịu mômen uốn làm võng xuống 5 kN·m. Tìm độ lớn ứng suất uốn σ_trên ở mép trên.

b_f = 200 mmt_f = 15 mmt_w = 8 mmh_w = 120 mmM = 5 kN·m

σ_trên = MPa

9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình

Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = 80 MPa, σᵧ = −40 MPa và τₓᵧ = −40 MPa (kéo là dương). Tìm góc θ_p từ trục x đến phương của ứng suất chính lớn nhất, trong khoảng −90° đến 90°.

σ_x = 80 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = −40 MPa

θ_p = °

10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó

Một bể hình trụ thành mỏng có đường kính trong 1000 mm và chiều dày thành 12 mm chứa khí ở áp suất dư 1 MPa. Nó được làm từ tấm thép hàn theo một đường hàn xoắn ốc nghiêng 55° so với trục của hình trụ. Tìm độ lớn của ứng suất cắt |τ_n| tác dụng dọc theo đường hàn.

D = 1000 mmt = 12 mmp = 1 MPaα = 55°

|τ_n| = MPa

11.Độ võng của dầmTrung bình

Một dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w trên toàn nhịp. Tìm độ võng lớn nhất δ_max, tại giữa nhịp.

w = 10 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (thép)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Độ võng của dầmKhó

Một dầm công-xôn có gối chống ngàm tại A và tựa đơn (chống) tại B. Dầm chịu một lực tập trung P tại giữa nhịp. EI không đổi. Tìm phản lực R_B tại gối chống.

L = 6 mP = 15 kN tại 3 m

R_B = kN

13.Mất ổn định cộtTrung bình

Một cột dài L làm bằng thép được hai đầu khớp. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn P_cr của nó.

L = 6 mE = 200 GPa (thép)d = 30 mm

P_cr = kN

14.Mất ổn định cộtKhó

Một cột tròn đặc dài L làm bằng nhôm được ngàm ở chân và khớp ở đỉnh. Nó phải chịu 55 kN với hệ số an toàn 3 chống oằn. Tìm đường kính nhỏ nhất d.

P = 55 kNn = 3L = 2 mE = 70 GPa (nhôm)

d = mm

3Dung dịch

1.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: δ = 30,32 mm

Định luật Hooke: trong giới hạn đàn hồi σ = E·ε. Kết hợp với σ = P/A và ε = δ/L ta được δ = PL/(AE).

Ứng suất

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 80·1000/113,1 = 707,4 MPa

Biến dạng (định luật Hooke)

E for nhôm = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 707,4/70000 = 0,01011 = 10105 µε

Độ giãn dài

δ = ε·L = 0,01011·3000 mm = 30,32 mm

Đáp số

δ = 30,32 mm

2.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: δ = 3,291 mm

Cấu kiện chịu tải dọc trục: mỗi đoạn lăng trụ tuân theo δ = PL/(AE). Với các cấu kiện nối tiếp, độ giãn dài cộng lại.

Cùng một lực trong cả hai đoạn

Đầu tự do chịu lực P, nên mọi mặt cắt của thanh đều chịu cùng một lực dọc trục P. Chỉ có diện tích và vật liệu thay đổi.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 77,81 MPa

σ₂ = 175,1 MPa

Cộng độ giãn dài của các đoạn

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 77,81·1000/117000 = 0,665 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 175,1·1500/100000 = 2,626 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 3,291 mm

Đáp số

δ = 3,291 mm

3.Xoắn của trục

Đáp số: φ = 0,96 °

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τ_max = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen quán tính độc cực của mặt cắt

J = π(50⁴ − 35⁴)/32 = 466269 mm⁴

Góc xoắn

T = 250 N·m = 250000 N·mm

L = 2,5 m = 2500 mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ = TL/(GJ) = 250000·2500/(80000·466269) = 0,01676 rad

φ = 0,01676·180/π = 0,96°

Đáp số

φ = 0,96°

4.Xoắn của trục

Đáp số: τ_max = 169,8 MPa

Các mô-men xoắn nội lực

Chiều của T_C được lấy là dương.

T_BC = T_C = 100 N·m

T_AB = T_C − T_B = 100 − 1000 = −900 N·m

Ứng suất tiếp lớn nhất

Đoạn có mô-men xoắn nội lực lớn nhất có ứng suất lớn nhất (cùng đường kính).

|T|_max = 900 N·m

τ_max = 16·900000/(π·30³) = 169,8 MPa

Đáp số

τ_max = 169,8 MPa

5.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: E (x = 8 m)

Mômen uốn lớn nhất: M đổi độ dốc ở bất cứ chỗ nào lực cắt thay đổi, nên các đỉnh của nó nằm nơi lực cắt đi qua không: dưới một tải tập trung, bên trong một tải phân bố, hoặc trên một gối của phần công-xon. Tại ngàm của dầm công-xon, mômen lớn nhất ở chân tường. So sánh độ lớn của M tại những chỗ đó, dù là mômen làm võng hay làm vồng.

Phản lực gối

Lấy mômen quanh một gối tựa, rồi dùng cân bằng lực thẳng đứng.

R₁ = 56 kN, R₂ = 76 kN

Mômen uốn tại mỗi điểm đánh dấu

Cộng các mômen của mọi lực ở một phía của mặt cắt. Võng là dương, vồng là âm.

M_A = 0, M_B = 100, M_C = 176, M_D = 228, M_E = 256 kN·m, M_F = 140, M_G = 0

Đáp số

Điểm đánh dấu E: M_E = 256 kN·m

6.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: M_max = 100 kN·m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt. Mô-men lớn nhất: vì dM/dx = V, mô-men uốn đạt cực trị tại nơi lực cắt đi qua không, hoặc tại một lực tập trung hoặc bên trong một tải phân bố.

Phản lực gối

Cân bằng của cả dầm.

Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 2·5 = 10 kN, đặt tại x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 75·2,5 + 2·5·2,5

R_B = 212,5/5 = 42,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 85 − 42,5 = 42,5 kN

V = 0 ở đâu?

V(2,5⁻) = R_A − w·2,5 = 37,5 kN

V(2,5⁺) = 37,5 − 75 = −37,5 kN

Lực cắt đổi dấu tại tải, nên giá trị lớn nhất nằm dưới tải.

Mô-men lớn nhất

M_max = R_A·2,5 − w·2,5²/2 = 42,5·2,5 − 2·2,5²/2 = 100 kN·m

Đáp số

M_max = 100 kN·m

Nó xảy ra tại x = 2,5 m tính từ A.

7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: I_x = 334,1 × 10⁶ mm⁴

Tiết diện có lỗ: coi lỗ là một diện tích âm. Trọng tâm là ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), với A₁, y₁ cho tấm đầy đủ và A₂, y₂ cho lỗ. Với mômen quán tính diện tích quanh trục đi qua trọng tâm, dùng định lý trục song song cho từng phần rồi trừ lỗ: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm riêng của mỗi phần đến trục đi qua ȳ. Hình chữ nhật có I_c = bh³/12 và hình tròn có I_c = πd⁴/64.

Trọng tâm

ȳ = (45000·150 − 2827·120)/(45000 − 2827) = 152 mm

Tấm đầy đủ quanh ȳ

150·300³/12 + 45000·−2,011² = 337,7 × 10⁶ mm⁴

Lỗ quanh ȳ

π·60⁴/64 + 2827·−32,01² = 3,534 × 10⁶ mm⁴

Trừ

I_x = 334,1 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

I_x = 334,1 × 10⁶ mm⁴

8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: σ_trên = 26,39 MPa

Diện tích ghép: chia mặt cắt thành các hình chữ nhật. Trọng tâm là trung bình có trọng số theo diện tích ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Mômen quán tính của mặt cắt đối với trục đi qua trọng tâm bằng tổng bh³/12 của từng phần và số hạng trục song song A·d², trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm của phần đó đến trọng tâm chung. Ứng suất uốn là σ = M·y/I.

Chia thành hai hình chữ nhật

Đo mọi y từ mép dưới.

cánh: A_f = 200·15 = 3000 mm², y_f = 120 + 15/2 = 127,5 mm

bụng: A_w = 8·120 = 960 mm², y_w = 120/2 = 60 mm

Trọng tâm

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3000·127,5 + 960·60)/3960 = 111,1 mm

Định lý trục song song

cánh: 200·15³/12 + 3000·(127,5 − 111,1)² = 859556 mm⁴

bụng: 8·120³/12 + 960·(60 − 111,1)² = 3,662 × 10⁶ mm⁴

I_x = 859556 + 3,662 × 10⁶ = 4,522 × 10⁶ mm⁴

Ứng suất uốn

Mép trên cách trục h − ȳ.

y = 135 − 111,1 = 23,86 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁶·23,86/4,522 × 10⁶ = 26,39 MPa

Đáp số

σ_trên = 26,39 MPa

9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: θ_p = −16,85 °

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

Góc trên vòng tròn

Điểm x nằm ở góc 2θp so với trục σ trên vòng tròn Mohr; góc phần tư suy ra từ dấu của σₓ − σᵧ và τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−40, 80 − −40) = −33,69°

Góc trên phần tử

θ_p = −16,85°

Đáp số

θ_p = −16,85°

Góc dương là ngược chiều kim đồng hồ.

10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: |τ_n| = 9,788 MPa

Các ứng suất trong thành

r = 1000/2 = 500 mm

σ_h = pr/t = 1·500/12 = 41,67 MPa

σ_a = pr/(2t) = 20,83 MPa

Biến đổi sang đường hàn

Lấy x dọc theo trục (σ_a) và y theo chiều vòng (σ_h). Pháp tuyến của đường hàn tạo góc 90° − α với trục.

|τ_n| = (41,67 − 20,83)·sin 55°·cos 55° = 9,788 MPa

Đáp số

|τ_n| = 9,788 MPa

11.Độ võng của dầm

Đáp số: δ_max = 31,75 mm

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

w = 10 N/mm, L = 8000 mm

EI = 1,68 × 10¹³ N·mm²

Độ võng

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·10·8000⁴/(384·1,68 × 10¹³) = 31,75 mm

Đáp số

δ_max = 31,75 mm

12.Độ võng của dầm

Đáp số: R_B = 4,688 kN

Bỏ gối chống đi

Khi không có gối chống, dầm là một dầm công-xôn. Đầu tự do của nó sẽ võng dưới tải.

δ_load = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Điều kiện tương thích tại gối chống

Chỉ riêng lực chống R_B nâng đầu tự do lên một đoạn R_BL³/(3EI). Gối chống giữ B có độ võng bằng không, nên hai độ võng phải triệt tiêu nhau. EI được khử.

R_B·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → R_B = 5P/16 = 5·15/16 = 4,688 kN

Đáp số

R_B = 4,688 kN

13.Mất ổn định cột

Đáp số: P_cr = 2,18 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại P_cr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 1·6000 = 6000 mm

Tải trọng tới hạn

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/6000² = 2180 N = 2,18 kN

Đáp số

P_cr = 2,18 kN

14.Mất ổn định cột

Đáp số: d = 55,57 mm

Tải trọng tới hạn yêu cầu

P_cr = n·P = 3·55000 = 165000 N

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Giải tìm đường kính

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·165000·1400²/(π³·70000))^(1/4) = 55,57 mm

Đáp số

d = 55,57 mm

Kiểm tra: độ mảnh KL/r là 100,8, nên cột là mảnh và công thức Euler áp dụng được.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials