Sức bền vật liệu: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 14 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp
σ = F/A
Biến dạng
ε = ΔL/L
Định luật Hooke
σ = E·ε
Độ giãn dài
ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt
εT = α·ΔT

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp
τ = T·r/J
Trục đặc
J = πd⁴/32
Trục rỗng
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn
φ = TL/(GJ)
Công suất
P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

  1. Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
  2. Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
  3. Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
  4. Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lực cắt và mômen uốn

Lực cắt và mômen
V = ΣF ở một phía, M = ΣF·d ở một phía
Ứng suất uốn
σ = M·y/I
Hình chữ nhật
I = bh³/12
Mômen chống uốn của mặt cắt
W = I/ymax
Dầm đơn giản, tải phân bố đều
Mmax = wL²/8

Phương pháp

  1. Tìm phản lực gối từ cân bằng của cả dầm.
  2. Cắt dầm tại mặt cắt bạn cần và giữ lại một phía.
  3. Lực cắt: tổng các lực thẳng đứng ở phía đó. Mômen uốn: tổng mômen của chúng quanh mặt cắt.
  4. Để tìm mômen lớn nhất, hãy tìm nơi lực cắt bằng không.

Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Trọng tâm
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Hình chữ nhật
I = bh³/12
Định lý trục song song
I = Ic + A·d²
Mặt cắt ghép
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm
C = (σx + σy)/2
Bán kính
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Ứng suất chính
σ1,2 = C ± R
Phương chính
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Mặt phẳng nghiêng
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Phương pháp

  1. Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
  4. Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Độ võng của dầm

Tải tập trung ở giữa nhịp
δ = PL³/(48EI)
Tải phân bố đều, dầm đơn giản
δ = 5wL⁴/(384EI)
Công xôn, tải ở đầu
δ = PL³/(3EI)
Công xôn, tải phân bố đều
δ = wL⁴/(8EI)
Nguyên lý xếp chồng
δ = δ1 + δ2

Mất ổn định cột

Tải Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán
K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn
σcr = Pcr/A
Độ mảnh
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Bài tập

1.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình
Ø 12 mmNhôm2 mP = 50 kN

Tìm độ giãn dài δ của thanh nhôm dưới tải trọng dọc trục.

P = 50 kNd = 12 mmL = 2 mE = 70 GPa
δ = mm
2.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó
P = ?Ø4070 GPaØ120/60500 mm

Một thanh thép (đường kính 40 mm, E = 200 GPa, ứng suất cho phép 160 MPa) nằm trong một ống làm bằng nhôm (đường kính ngoài 120 mm, đường kính trong 60 mm, E = 70 GPa, ứng suất cho phép 50 MPa). Chúng bị nén cùng nhau giữa các tấm cứng. Tìm tải lớn nhất Pmax.

thanh: Ø40 mm, E = 200 GPa, σallow = 160 MPaống: Ø120/Ø60 mm, E = 70 GPa, σallow = 50 MPa
Pmax = kN
3.Xoắn của trụcTrung bình
d = 12 mmT = 75 N·m250 mmφ = 6,6°

Trong một thí nghiệm xoắn, một mẫu đặc đường kính 12 mm bị xoắn bởi mô-men xoắn 75 N·m. Hai đầu của một đoạn đo dài 250 mm quay 6,6° so với nhau (vật liệu vẫn còn đàn hồi). Tìm mô-đun cắt G của vật liệu.

T = 75 N·md = 12 mmL = 250 mmφ = 6,6°
G = GPa
4.Xoắn của trụcKhó
Td = ?

Một trục đặc phải truyền 15 kW ở 300 rpm mà ứng suất tiếp không vượt quá 80 MPa. Tìm đường kính nhỏ nhất d thỏa mãn.

P = 15 kWN = 300 rpmτallow = 80 MPa
d = mm
5.Lực cắt và mômen uốnTrung bình
w = 2 kN/mP = 30 kNAB1 m3 m

Dầm công-xôn ngàm tại A. Dầm chịu tải phân bố đều w trên toàn bộ chiều dài và một lực tập trung P tại vị trí cách A 1 m. Tìm mô-men uốn MA tại ngàm A. Dùng quy ước mô-men làm võng xuống là dương và lực cắt hướng lên trên mặt cắt bên trái là dương.

L = 4 mP = 30 kN tại 1 mw = 2 kN/m từ 0 đến 4 m
MA = kN·m
6.Lực cắt và mômen uốnKhó
50 kN55 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

Các điểm đánh dấu từ A đến G chia dầm thành sáu phần bằng nhau. Tại điểm nào mômen uốn có độ lớn lớn nhất, dù võng hay vồng? Nhấp vào nó trong sơ đồ.

50 kN @ 6 m55 kN @ 3 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtTrung bình
xD = 100d = 88kích thước tính bằng mm

Một ống tròn có đường kính ngoài D = 100 mm và đường kính trong d = 88 mm. Tìm bán kính quán tính r của nó đối với trục nằm ngang qua trọng tâm.

D = 100 mmd = 88 mm
r = mm
8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtKhó
200 mm150 mm97,5 mm60 × 40xIx​ = ?

Một tấm 200 mm × 150 mm có một lỗ khoét hình chữ nhật rộng 60 mm và cao 40 mm, đặt giữa đường tâm thẳng đứng với tâm cách đáy 97,5 mm. Tìm mômen quán tính diện tích Ix quanh trục nằm ngang đi qua trọng tâm.

b = 200 mmh = 150 mmlỗ khoét: 60 × 40 mmtâm lỗ: y = 97,5 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình
σx​ = 90σy​ = 10τxy​ = −10MPa

Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = 90 MPa, σᵧ = 10 MPa và τₓᵧ = −10 MPa (kéo là dương). Tìm ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng τmax.

σx = 90 MPaσy = 10 MPaτxy = −10 MPa
τmax = MPa
10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó
σx​ = 150σy​ = 0τxy​ = −10MPa

Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = 150 MPa, σᵧ = 0 MPa và τₓᵧ = −10 MPa (kéo là dương). Tìm ứng suất pháp σθ trên một mặt có pháp tuyến xoay 30° ngược chiều kim đồng hồ so với trục x.

σx = 150 MPaσy = 0 MPaτxy = −10 MPaθ = 30°
σθ = MPa
11.Độ võng của dầmTrung bình
P = 19 kNABδ1 m3 m

Một dầm công-xôn dài L ngàm tại A và chịu lực tập trung P tại vị trí cách A một đoạn a = 1 m. Tìm độ võng δP dưới tải.

P = 19 kNa = 1 mL = 4 mE = 70 GPa (nhôm)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
12.Độ võng của dầmKhó
w = 10 kN/mAB8 m

Một dầm công-xôn có gối chống ngàm tại A và tựa đơn (chống) tại B. Dầm chịu tải phân bố đều w trên toàn bộ chiều dài. EI không đổi. Tìm độ lớn của mô-men uốn MA tại đầu ngàm.

L = 8 mw = 10 kN/m
MA = kN·m
13.Mất ổn định cộtTrung bình
PL = 5 m50 × 60 mmmặt cắt ngang

Một cột dài L làm bằng nhôm được ngàm ở chân và tự do ở đỉnh. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn Pcr của nó.

L = 5 mE = 70 GPa (nhôm)b × h = 50 × 60 mm
Pcr = kN
14.Mất ổn định cộtKhó
PL = 1 md = 25 mmmặt cắt ngang

Một cột dài L làm bằng nhôm được hai đầu khớp. Tìm độ mảnh của nó và ứng suất oằn tới hạn σcr theo công thức Euler.

L = 1 mE = 70 GPa (nhôm)d = 25 mm
σcr = MPa

3Dung dịch

1.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: δ = 12,63 mm

Định luật Hooke: trong giới hạn đàn hồi σ = E·ε. Kết hợp với σ = P/A và ε = δ/L ta được δ = PL/(AE).

Ứng suất

A = π·12²/4 = 113,1 mm²
σ = P/A = 50·1000/113,1 = 442,1 MPa

Biến dạng (định luật Hooke)

E for nhôm = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 442,1/70000 = 0,006316 = 6316 µε

Độ giãn dài

δ = ε·L = 0,006316·2000 mm = 12,63 mm

Đáp số

δ = 12,63 mm
2.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: Pmax = 603,6 kN

Hai vật liệu: khi nối tiếp (cái này sau cái kia) mỗi đoạn chịu cùng một lực và các độ giãn dài cộng lại: δ = P·Σ L/(E·A). Khi song song (cạnh nhau giữa các tấm cứng) cả hai phần co lại cùng một lượng, nên biến dạng của chúng bằng nhau: phần cứng hơn nhận phần tải lớn hơn, Pi = P·EiAi/ΣEA, và σi = Ei·ε. Một thanh bị giữ giữa hai vách cứng với tải đặt tại chỗ nối là siêu tĩnh: hai đoạn chia tải theo tỉ lệ độ cứng k = EA/L của chúng.

Diện tích

Ar = π·40²/4 = 1257 mm²
At = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

Độ cứng dọc trục kết hợp

ΣEA = 200·10³·1257 + 70·10³·8482 = 8,451 × 10⁸ N

Biến dạng quyết định

ε = min(0,0008, 0,0007143) = 0,0007143 (nhôm)

Tải lớn nhất

Pmax = 0,0007143·8,451 × 10⁸ = 603635 N = 603,6 kN

Đáp số

Pmax = 603,6 kN
3.Xoắn của trục

Đáp số: G = 79,96 GPa

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mô-men quán tính độc cực và góc

J = π·12⁴/32 = 2036 mm⁴
φ = 6,6·π/180 = 0,1152 rad

Mô đun trượt

T = 75 N·m = 75000 N·mm
G = TL/(Jφ) = 75000·250/(2036·0,1152) = 79957 MPa
G = 79,96 GPa

Đáp số

G = 79,96 GPa

So sánh: thép ≈ 80 GPa, đồng thau ≈ 39 GPa, nhôm ≈ 26 GPa.

4.Xoắn của trục

Đáp số: d = 31,21 mm

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen xoắn

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s
T = P/ω = 15000/31,42 = 477,5 N·m

Đường kính từ ứng suất cho phép

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·477465/(π·80)) = 31,21 mm

Đáp số

d = 31,21 mm

Trong thực tế bạn sẽ làm tròn lên kích thước tiêu chuẩn kế tiếp.

5.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: MA = −46 kN·m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt.

Giữ phần đầu tự do

P: −30·1 = −30 kN·m
w: −2·4²/2 = −16 kN·m
MA = −30 − 16 = −46 kN·m

Đáp số

MA = −46 kN·m

Dấu âm nghĩa là uốn võng lên: thớ trên chịu kéo.

6.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: F (x = 5 m)

Mômen uốn lớn nhất: M đổi độ dốc ở bất cứ chỗ nào lực cắt thay đổi, nên các đỉnh của nó nằm nơi lực cắt đi qua không: dưới một tải tập trung, bên trong một tải phân bố, hoặc trên một gối của phần công-xon. Tại ngàm của dầm công-xon, mômen lớn nhất ở chân tường. So sánh độ lớn của M tại những chỗ đó, dù là mômen làm võng hay làm vồng.

Phản lực gối

Lấy mômen quanh một gối tựa, rồi dùng cân bằng lực thẳng đứng.

R1 = 12 kN, R2 = 93 kN

Mômen uốn tại mỗi điểm đánh dấu

Cộng các mômen của mọi lực ở một phía của mặt cắt. Võng là dương, vồng là âm.

MA = 0, MB = 12, MC = 24, MD = 36, ME = −7, MF = −50 kN·m, MG = 0

Đáp số

Điểm đánh dấu F: MF = −50 kN·m
7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: r = 33,3 mm

Mô-men quán tính của tiết diện: với hình chữ nhật đối với trục qua trọng tâm của nó I = bh³/12, và đối với trục đáy bh³/3 (định lý trục song song I = Ic + A·d²). Lỗ rỗng được xử lý bằng cách trừ đi I của nó, miễn là cả hai phần có chung một trục. Mô-đun chống uốn đàn hồi là S = I/c, với c là khoảng cách đến thớ ngoài cùng. Bán kính quán tính r = √(I/A) là khoảng cách mà tại đó toàn bộ diện tích cho cùng giá trị I; nó được dùng trong bài toán mất ổn định của cột.

Diện tích thực và mô-men quán tính

A = π(D² − d²)/4 = 1772 mm²
I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 1,965 × 10⁶ mm⁴

Bán kính quán tính

r = √(I/A) = √(1,965 × 10⁶/1772) = 33,3 mm

Đáp số

r = 33,3 mm
8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: Ix = 54,61 × 10⁶ mm⁴

Tiết diện có lỗ: coi lỗ là một diện tích âm. Trọng tâm là ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), với A₁, y₁ cho tấm đầy đủ và A₂, y₂ cho lỗ. Với mômen quán tính diện tích quanh trục đi qua trọng tâm, dùng định lý trục song song cho từng phần rồi trừ lỗ: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm riêng của mỗi phần đến trục đi qua ȳ. Hình chữ nhật có Ic = bh³/12 và hình tròn có Ic = πd⁴/64.

Trọng tâm

ȳ = (30000·75 − 2400·97,5)/(30000 − 2400) = 73,04 mm

Tấm đầy đủ quanh ȳ

200·150³/12 + 30000·1,957² = 56,36 × 10⁶ mm⁴

Lỗ quanh ȳ

60·40³/12 + 2400·24,46² = 1,755 × 10⁶ mm⁴

Trừ

Ix = 54,61 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

Ix = 54,61 × 10⁶ mm⁴
9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: τmax = 41,23 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

στxyCτmax​

Bán kính vòng tròn Mohr

τmax = R = √(((90 − 10)/2)² + −10²) = 41,23 MPa

Đáp số

τmax = 41,23 MPa
10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: σθ = 103,8 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

Phương trình biến đổi

σθ = 75 + 75·0,5 + −10·0,866 = 103,8 MPa

Đáp số

σθ = 103,8 MPa
11.Độ võng của dầm

Đáp số: δP = 3,934 mm

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

P = 19000 N, a = 1000 mm, L = 4000 mm
EI = 1,61 × 10¹² N·mm²

Độ võng dưới tải

δP = Pa³/(3EI) = 19000·1000³/(3·1,61 × 10¹²) = 3,934 mm

Đáp số

δP = 3,934 mm
12.Độ võng của dầm

Đáp số: MA = 80 kN·m

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng). Với dầm siêu tĩnh, hãy bỏ một liên kết thừa và đòi hỏi độ võng tại đó bằng không (điều kiện tương thích).

Bỏ gối chống đi

Khi không có gối chống, dầm là một dầm công-xôn. Đầu tự do của nó sẽ võng dưới tải.

δload = wL⁴/(8EI)

Điều kiện tương thích tại gối chống

Chỉ riêng lực chống RB nâng đầu tự do lên một đoạn RBL³/(3EI). Gối chống giữ B có độ võng bằng không, nên hai độ võng phải triệt tiêu nhau. EI được khử.

RB·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → RB = 3wL/8 = 3·10·8/8 = 30 kN

Mô-men tại đầu ngàm

Mô-men đối với A của các tải và lực chống.

MA = wL²/2 − RB·L = 320 − 240 = 80 kN·m

Đáp số

MA = 80 kN·m
13.Mất ổn định cột

Đáp số: Pcr = 4,318 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Hình chữ nhật oằn quanh trục yếu, dùng kích thước nhỏ hơn lập phương.

Imin = h·b³/12 = 60·50³/12 = 625000 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 2·5000 = 10000 mm

Tải trọng tới hạn

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·625000/10000² = 4318 N = 4,318 kN

Đáp số

Pcr = 4,318 kN
14.Mất ổn định cột

Đáp số: σcr = 26,99 MPa

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Bán kính quán tính và độ mảnh

A = 490,9 mm²
r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm
KL = 1·1000 = 1000 mm
KL/r = 1000/6,25 = 160

Ứng suất tới hạn

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/160² = 26,99 MPa

Đáp số

σcr = 26,99 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials