Sức bền vật liệu: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 14 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp
σ = F/A
Biến dạng
ε = ΔL/L
Định luật Hooke
σ = E·ε
Độ giãn dài
ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt
εT = α·ΔT

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp
τ = T·r/J
Trục đặc
J = πd⁴/32
Trục rỗng
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn
φ = TL/(GJ)
Công suất
P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

  1. Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
  2. Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
  3. Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
  4. Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lực cắt và mômen uốn

Lực cắt và mômen
V = ΣF ở một phía, M = ΣF·d ở một phía
Ứng suất uốn
σ = M·y/I
Hình chữ nhật
I = bh³/12
Mômen chống uốn của mặt cắt
W = I/ymax
Dầm đơn giản, tải phân bố đều
Mmax = wL²/8

Phương pháp

  1. Tìm phản lực gối từ cân bằng của cả dầm.
  2. Cắt dầm tại mặt cắt bạn cần và giữ lại một phía.
  3. Lực cắt: tổng các lực thẳng đứng ở phía đó. Mômen uốn: tổng mômen của chúng quanh mặt cắt.
  4. Để tìm mômen lớn nhất, hãy tìm nơi lực cắt bằng không.

Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Trọng tâm
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Hình chữ nhật
I = bh³/12
Định lý trục song song
I = Ic + A·d²
Mặt cắt ghép
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm
C = (σx + σy)/2
Bán kính
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Ứng suất chính
σ1,2 = C ± R
Phương chính
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Mặt phẳng nghiêng
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Phương pháp

  1. Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
  4. Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Độ võng của dầm

Tải tập trung ở giữa nhịp
δ = PL³/(48EI)
Tải phân bố đều, dầm đơn giản
δ = 5wL⁴/(384EI)
Công xôn, tải ở đầu
δ = PL³/(3EI)
Công xôn, tải phân bố đều
δ = wL⁴/(8EI)
Nguyên lý xếp chồng
δ = δ1 + δ2

Mất ổn định cột

Tải Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán
K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn
σcr = Pcr/A
Độ mảnh
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Bài tập

1.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình
Ø 10 mmNhôm1 mP = 40 kN

Tìm độ giãn dài δ của thanh nhôm dưới tải trọng dọc trục.

P = 40 kNd = 10 mmL = 1 mE = 70 GPa
δ = mm
2.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó
60 kN12500 mm500 mmØ25Ø60σ2​ = ?

Một đoạn thép (đường kính 25 mm, chiều dài 500 mm, E = 200 GPa) và một đoạn làm bằng đồng thanh (đường kính 60 mm, chiều dài 500 mm, E = 110 GPa) được nối đầu với đầu và ngàm giữa hai vách cứng. Một tải dọc trục 60 kN tác dụng tại chỗ nối, hướng về phía đoạn 2. Tìm độ lớn ứng suất σ2 trong đoạn 2.

đoạn 1: thép, Ø25 mm, 500 mm, E = 200 GPađoạn 2: đồng thanh, Ø60 mm, 500 mm, E = 110 GPaP = 60 kN
σ2 = MPa
3.Xoắn của trụcTrung bình
T = 400 N·md = 30 mmL = 1 mφ = ?

Một trục đặc đồng thau được ngàm vào tường và bị xoắn bởi mômen xoắn T ở đầu tự do. Tìm góc xoắn φ của đầu tự do, theo độ.

T = 400 N·md = 30 mmL = 1 mG = 39 GPa
φ = °
4.Xoắn của trụcKhó
d = 40 mmT0​ = 1000 N·mACBa = 2 mb = 1,2 m

Một trục đặc đồng thau đường kính 40 mm được ngàm vào các tường cứng ở cả hai đầu A và B. Một mô-men xoắn 1000 N·m đặt tại C, cách A 2 m và cách B 1,2 m. Tìm góc quay φC của tiết diện C, theo độ.

d = 40 mmT0 = 1000 N·ma = 2 mb = 1,2 mG = 39 GPa
φC = °
5.Lực cắt và mômen uốnTrung bình
w = 12 kN/mABmặt cắt3,5 m6,5 m

Tìm mômen uốn Mx tại mặt cắt x = 3,5 m tính từ gối A. Coi mômen làm dầm võng xuống là dương và lực cắt hướng lên trên mặt trái là dương.

L = 10 mw = 12 kN/m từ 0 đến 10 mx = 3,5 m
Mx = kN·m
6.Lực cắt và mômen uốnKhó
w = 5 kN/mABC4 m1 m

Dầm đặt trên gối cố định tại A và gối con lăn tại B, và đoạn công-xôn nhô ra khỏi B một đoạn 1 m tới đầu tự do C. Tải phân bố đều w tác dụng trên toàn bộ chiều dài A–C. Tìm mô-men uốn MB tại gối B. Dùng quy ước mô-men làm võng xuống là dương và lực cắt hướng lên trên mặt cắt bên trái là dương.

L = 5 mw = 5 kN/m từ 0 đến 5 mcác gối tại x = 0 và x = 4 m
MB = kN·m
7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtTrung bình
1802026020xkích thước tính bằng mm

Tìm mômen quán tính Ix của mặt cắt chữ T đối với trục ngang x đi qua trọng tâm.

bf = 180 mmtf = 20 mmtw = 20 mmhw = 260 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtKhó
2202030018xM = 40 kN·mkích thước tính bằng mm

Mặt cắt chữ T được dùng làm dầm với cánh ở trên và chịu mômen uốn làm võng xuống 40 kN·m. Tìm ứng suất uốn σdưới ở mép dưới.

bf = 220 mmtf = 20 mmtw = 18 mmhw = 300 mmM = 40 kN·m
σdưới = MPa
9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình
σx​ = 40σy​ = −50τxy​ = −40MPa

Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = 40 MPa, σᵧ = −50 MPa và τₓᵧ = −40 MPa (kéo là dương). Tìm ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng τmax.

σx = 40 MPaσy = −50 MPaτxy = −40 MPa
τmax = MPa
10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó
σx​ = 100σy​ = −10τxy​ = 30MPa

Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = 100 MPa, σᵧ = −10 MPa và τₓᵧ = 30 MPa (kéo là dương). Tìm ứng suất tiếp τθ trên một mặt có pháp tuyến xoay 30° theo chiều kim đồng hồ so với trục x (dương cùng chiều với τₓᵧ).

σx = 100 MPaσy = −10 MPaτxy = 30 MPaθ = -30°
τθ = MPa
11.Độ võng của dầmTrung bình
w = 2 kN/mδL = 6 m

Một dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w trên toàn nhịp. Tìm độ võng lớn nhất δmax, tại giữa nhịp.

w = 2 kN/mL = 6 mE = 70 GPa (nhôm)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.Độ võng của dầmKhó
w = 12 kN/mδL = 2,5 m

Một dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w. Độ võng của nó không được vượt quá nhịp/360. Tìm mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt Ireq thỏa mãn giới hạn này.

w = 12 kN/mL = 2,5 mE = 200 GPa (thép)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.Mất ổn định cộtTrung bình
PL = 2 md = 25 mmmặt cắt ngang

Một cột dài L làm bằng nhôm được hai đầu khớp. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn Pcr của nó.

L = 2 mE = 70 GPa (nhôm)d = 25 mm
Pcr = kN
14.Mất ổn định cộtKhó
PL = 4 md = 30 mmmặt cắt ngang

Một cột dài L làm bằng thép được ngàm cả hai đầu. Tìm độ mảnh của nó và ứng suất oằn tới hạn σcr theo công thức Euler.

L = 4 mE = 200 GPa (thép)d = 30 mm
σcr = MPa

3Dung dịch

1.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: δ = 7,276 mm

Định luật Hooke: trong giới hạn đàn hồi σ = E·ε. Kết hợp với σ = P/A và ε = δ/L ta được δ = PL/(AE).

Ứng suất

A = π·10²/4 = 78,54 mm²
σ = P/A = 40·1000/78,54 = 509,3 MPa

Biến dạng (định luật Hooke)

E for nhôm = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 509,3/70000 = 0,007276 = 7276 µε

Độ giãn dài

δ = ε·L = 0,007276·1000 mm = 7,276 mm

Đáp số

δ = 7,276 mm
2.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: σ2 = 16,13 MPa

Hai vật liệu: khi nối tiếp (cái này sau cái kia) mỗi đoạn chịu cùng một lực và các độ giãn dài cộng lại: δ = P·Σ L/(E·A). Khi song song (cạnh nhau giữa các tấm cứng) cả hai phần co lại cùng một lượng, nên biến dạng của chúng bằng nhau: phần cứng hơn nhận phần tải lớn hơn, Pi = P·EiAi/ΣEA, và σi = Ei·ε. Một thanh bị giữ giữa hai vách cứng với tải đặt tại chỗ nối là siêu tĩnh: hai đoạn chia tải theo tỉ lệ độ cứng k = EA/L của chúng.

Các độ cứng

k₁ = 200000·490,9/500 = 196350 N/mm
k₂ = 110000·2827/500 = 622035 N/mm

Phần của đoạn 2

F2 = 60000·622035/818385 = 45605 N

Ứng suất

σ2 = 45605/2827 = 16,13 MPa (nén)

Đáp số

σ2 = 16,13 MPa
3.Xoắn của trục

Đáp số: φ = 7,39 °

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen quán tính độc cực của mặt cắt

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Góc xoắn

φ = TL/(GJ) = 400·1000·1000/(39000·79522) = 0,129 rad
φ = 0,129·180/π = 7,39°

Đáp số

φ = 7,39°
4.Xoắn của trục

Đáp số: φC = 4,384 °

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω. Khi cả hai đầu bị ngàm, tĩnh học chỉ cho TA + TB = T₀; phương trình thứ hai là điều kiện tương thích (góc xoắn của hai phần bằng nhau tại tiết diện chịu tải).

Cân bằng và tương thích

TA + TB = 1000
TA·a = TB·b
TA = 1000·1,2/3,2 = 375 N·m
TB = 1000·2/3,2 = 625 N·m

Góc quay của C

Dùng đoạn AC: nó được ngàm tại A và chịu TA.

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴
G = 39 GPa = 39000 MPa
φC = TA·a/(GJ) = 375000·2000/(39000·251327) = 0,07652 rad = 4,384°

Đáp số

φC = 4,384°
5.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: Mx = 136,5 kN·m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt.

Phản lực gối

Cân bằng của cả dầm.

Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 12·10 = 120 kN, đặt tại x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 12·10·5
RB = 600/10 = 60 kN
ΣFy = 0: RA = 120 − 60 = 60 kN
w = 12 kN/mABRA​ = 60RB​ = 60mặt cắt3,5 m6,5 m

Cắt tại x = 3,5 m và giữ phần bên trái

Chỉ các lực bên trái mặt cắt xuất hiện. Phần tải phân bố đều được thay bằng một lực đặt tại giữa phần đó.

M = RA·x − (mỗi tải bên trái mặt cắt × cánh tay đòn đến mặt cắt)
Mx = 60·3,5 − 12·3,5·1,75 = 136,5 kN·m

Đáp số

Mx = 136,5 kN·m
6.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: MB = −2,5 kN·m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt. Mô-men lớn nhất: vì dM/dx = V, mô-men uốn đạt cực trị tại nơi lực cắt đi qua không, hoặc tại một lực tập trung hoặc bên trong một tải phân bố.

Phản lực gối

Cân bằng của toàn bộ dầm, kể cả tải trên đoạn công-xôn.

Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 5·5 = 25 kN, đặt tại x̄ = 2,5 m
ΣMA = 0: RB·4 = 5·5·2,5
RB = 62,5/4 = 15,63 kN
ΣFy = 0: RA = 25 − 15,63 = 9,375 kN

Cắt tại B và giữ đoạn công-xôn

Tải trên đoạn công-xôn, w·a, đặt cách B một đoạn a/2 và làm dầm uốn võng lên trên gối.

MB = −w·a²/2 = −5·1²/2 = −2,5 kN·m

Đáp số

MB = −2,5 kN·m
7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: Ix = 71,11 × 10⁶ mm⁴

Diện tích ghép: chia mặt cắt thành các hình chữ nhật. Trọng tâm là trung bình có trọng số theo diện tích ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Mômen quán tính của mặt cắt đối với trục đi qua trọng tâm bằng tổng bh³/12 của từng phần và số hạng trục song song A·d², trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm của phần đó đến trọng tâm chung. Ứng suất uốn là σ = M·y/I.

Chia thành hai hình chữ nhật

Đo mọi y từ mép dưới.

cánh: Af = 180·20 = 3600 mm², yf = 260 + 20/2 = 270 mm
bụng: Aw = 20·260 = 5200 mm², yw = 260/2 = 130 mm

Trọng tâm

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (3600·270 + 5200·130)/8800 = 187,3 mm

Định lý trục song song

cánh: 180·20³/12 + 3600·(270 − 187,3)² = 2,476 × 10⁷ mm⁴
bụng: 20·260³/12 + 5200·(130 − 187,3)² = 4,635 × 10⁷ mm⁴
Ix = 2,476 × 10⁷ + 4,635 × 10⁷ = 7,111 × 10⁷ mm⁴ = 71,11 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

Ix = 71,11 × 10⁶ mm⁴
8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: σdưới = 86,39 MPa

Diện tích ghép: chia mặt cắt thành các hình chữ nhật. Trọng tâm là trung bình có trọng số theo diện tích ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Mômen quán tính của mặt cắt đối với trục đi qua trọng tâm bằng tổng bh³/12 của từng phần và số hạng trục song song A·d², trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm của phần đó đến trọng tâm chung. Ứng suất uốn là σ = M·y/I.

Chia thành hai hình chữ nhật

Đo mọi y từ mép dưới.

cánh: Af = 220·20 = 4400 mm², yf = 300 + 20/2 = 310 mm
bụng: Aw = 18·300 = 5400 mm², yw = 300/2 = 150 mm

Trọng tâm

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (4400·310 + 5400·150)/9800 = 221,8 mm

Định lý trục song song

cánh: 220·20³/12 + 4400·(310 − 221,8)² = 3,435 × 10⁷ mm⁴
bụng: 18·300³/12 + 5400·(150 − 221,8)² = 6,837 × 10⁷ mm⁴
Ix = 3,435 × 10⁷ + 6,837 × 10⁷ = 1,027 × 10⁸ mm⁴

Ứng suất uốn

Mép dưới cách trục ȳ.

y = 221,8 mm
σ = M·y/I = 4 × 10⁷·221,8/1,027 × 10⁸ = 86,39 MPa

Đáp số

σdưới = 86,39 MPa
9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: τmax = 60,21 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

στxyCτmax​

Bán kính vòng tròn Mohr

τmax = R = √(((40 − −50)/2)² + −40²) = 60,21 MPa

Đáp số

τmax = 60,21 MPa
10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: τθ = 62,63 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

Phương trình biến đổi

τθ = −55·−0,866 + 30·0,5 = 62,63 MPa

Đáp số

τθ = 62,63 MPa
11.Độ võng của dầm

Đáp số: δmax = 3,013 mm

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 6000 mm
EI = 1,12 × 10¹³ N·mm²

Độ võng

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·6000⁴/(384·1,12 × 10¹³) = 3,013 mm

Đáp số

δmax = 3,013 mm
12.Độ võng của dầm

Đáp số: Ireq = 4,395 × 10⁶ mm⁴

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Giới hạn độ võng

δallow = L/360 = 2500/360 = 6,944 mm

Mômen quán tính mặt cắt yêu cầu

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·12·2500⁴/(384·200000·6,944) = 4,395 × 10⁶ mm⁴
Ireq = 4,395 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

Ireq = 4,395 × 10⁶ mm⁴
13.Mất ổn định cột

Đáp số: Pcr = 3,312 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 1·2000 = 2000 mm

Tải trọng tới hạn

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·19175/2000² = 3312 N = 3,312 kN

Đáp số

Pcr = 3,312 kN
14.Mất ổn định cột

Đáp số: σcr = 27,76 MPa

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Bán kính quán tính và độ mảnh

A = 706,9 mm²
r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm
KL = 0,5·4000 = 2000 mm
KL/r = 2000/7,5 = 266,7

Ứng suất tới hạn

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/266,7² = 27,76 MPa

Đáp số

σcr = 27,76 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials