Sức bền vật liệu: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 14 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp
σ = F/A
Biến dạng
ε = ΔL/L
Định luật Hooke
σ = E·ε
Độ giãn dài
ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt
εT = α·ΔT

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp
τ = T·r/J
Trục đặc
J = πd⁴/32
Trục rỗng
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn
φ = TL/(GJ)
Công suất
P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

  1. Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
  2. Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
  3. Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
  4. Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lực cắt và mômen uốn

Lực cắt và mômen
V = ΣF ở một phía, M = ΣF·d ở một phía
Ứng suất uốn
σ = M·y/I
Hình chữ nhật
I = bh³/12
Mômen chống uốn của mặt cắt
W = I/ymax
Dầm đơn giản, tải phân bố đều
Mmax = wL²/8

Phương pháp

  1. Tìm phản lực gối từ cân bằng của cả dầm.
  2. Cắt dầm tại mặt cắt bạn cần và giữ lại một phía.
  3. Lực cắt: tổng các lực thẳng đứng ở phía đó. Mômen uốn: tổng mômen của chúng quanh mặt cắt.
  4. Để tìm mômen lớn nhất, hãy tìm nơi lực cắt bằng không.

Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Trọng tâm
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Hình chữ nhật
I = bh³/12
Định lý trục song song
I = Ic + A·d²
Mặt cắt ghép
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm
C = (σx + σy)/2
Bán kính
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Ứng suất chính
σ1,2 = C ± R
Phương chính
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Mặt phẳng nghiêng
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Phương pháp

  1. Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
  4. Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Độ võng của dầm

Tải tập trung ở giữa nhịp
δ = PL³/(48EI)
Tải phân bố đều, dầm đơn giản
δ = 5wL⁴/(384EI)
Công xôn, tải ở đầu
δ = PL³/(3EI)
Công xôn, tải phân bố đều
δ = wL⁴/(8EI)
Nguyên lý xếp chồng
δ = δ1 + δ2

Mất ổn định cột

Tải Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán
K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn
σcr = Pcr/A
Độ mảnh
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Bài tập

1.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình
Ø 16 mmĐồng3 mP = 85 kN

Tìm biến dạng dọc trục ε trong thanh đồng, tính bằng microstrain (µε = 10⁻⁶).

P = 85 kNd = 16 mmL = 3 mE = 117 GPa
ε = µε
2.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó
Ø 25 mmĐồng thau2 mØ 20 mmĐồng thau1 mP = 35 kN

Thanh bậc được ngàm vào tường và chịu tải ở đầu tự do. Tìm ứng suất pháp lớn nhất σmax trong thanh.

P = 35 kNđoạn 1: Ø25 mm, 2 m, đồng thau (E = 100 GPa)đoạn 2: Ø20 mm, 1 m, đồng thau (E = 100 GPa)
σmax = MPa
3.Xoắn của trụcTrung bình
d1​ = 30 mmd2​ = 25 mmT = 400 N·mABC1,2 m1,5 m

Một trục đặc nhôm có bậc được ngàm tại A. Đoạn AB có đường kính 30 mm và chiều dài 1,2 m; đoạn BC có đường kính 25 mm và chiều dài 1,5 m. Một mô-men xoắn 400 N·m tác dụng tại đầu tự do C. Tìm ứng suất cắt lớn nhất τmax trong trục.

T = 400 N·md1 = 30 mm, L1 = 1,2 md2 = 25 mm, L2 = 1,5 m
τmax = MPa
4.Xoắn của trụcKhó
Td = ?

Một trục đặc phải truyền 10 kW ở 300 rpm mà ứng suất tiếp không vượt quá 40 MPa. Tìm đường kính nhỏ nhất d thỏa mãn.

P = 10 kWN = 300 rpmτallow = 40 MPa
d = mm
5.Lực cắt và mômen uốnTrung bình
w = 4 kN/mABmặt cắt2 m6 m

Tìm lực cắt Vx tại mặt cắt x = 2 m tính từ gối A. Coi mômen làm dầm võng xuống là dương và lực cắt hướng lên trên mặt trái là dương.

L = 8 mw = 4 kN/m từ 0 đến 8 mx = 2 m
Vx = kN
6.Lực cắt và mômen uốnKhó
12 kN/m60 kN45 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

Các điểm đánh dấu từ A đến G chia dầm thành sáu phần bằng nhau. Tại điểm nào mômen uốn có độ lớn lớn nhất, dù võng hay vồng? Nhấp vào nó trong sơ đồ.

60 kN @ 6 m45 kN @ 3 m12 kN/m, 0–4 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtTrung bình
2201026016xkích thước tính bằng mm

Tìm mômen quán tính Ix của mặt cắt chữ T đối với trục ngang x đi qua trọng tâm.

bf = 220 mmtf = 10 mmtw = 16 mmhw = 260 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtKhó
200 mm300 mm210 mm50 × 20xIx​ = ?

Một tấm 200 mm × 300 mm có một lỗ khoét hình chữ nhật rộng 50 mm và cao 20 mm, đặt giữa đường tâm thẳng đứng với tâm cách đáy 210 mm. Tìm mômen quán tính diện tích Ix quanh trục nằm ngang đi qua trọng tâm.

b = 200 mmh = 300 mmlỗ khoét: 50 × 20 mmtâm lỗ: y = 210 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình
σx​ = −80σy​ = −30τxy​ = 30MPa

Một điểm có σₓ = −80 MPa, σᵧ = −30 MPa và τₓᵧ = 30 MPa (kéo là dương). Phân tố được xoay 40° ngược chiều kim đồng hồ. Tìm ứng suất pháp σy′ trên các mặt của phân tố đã xoay vuông góc với trục y′ sau khi xoay.

σx = −80 MPaσy = −30 MPaτxy = 30 MPaθ = 40°
σy′ = MPa
10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó
σx​ = 10σy​ = 0τxy​ = 20MPa

Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = 10 MPa, σᵧ = 0 MPa và τₓᵧ = 20 MPa (kéo là dương). Tìm ứng suất pháp σθ trên một mặt có pháp tuyến xoay 60° ngược chiều kim đồng hồ so với trục x.

σx = 10 MPaσy = 0 MPaτxy = 20 MPaθ = 60°
σθ = MPa
11.Độ võng của dầmTrung bình
P = 11 kNABδ1,5 m2,5 m

Một dầm đơn giản chịu lực tập trung P tại vị trí cách gối A một đoạn a = 1,5 m. Tìm độ võng δP dưới tải.

P = 11 kNa = 1,5 mL = 4 mE = 70 GPa (nhôm)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
12.Độ võng của dầmKhó
w = 15 kN/mδL = 2 m

Một dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w. Độ võng của nó không được vượt quá nhịp/360. Tìm mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt Ireq thỏa mãn giới hạn này.

w = 15 kN/mL = 2 mE = 200 GPa (thép)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.Mất ổn định cộtTrung bình
PL = 2 m30 × 50 mmmặt cắt ngang

Một cột dài L làm bằng thép được ngàm ở chân và tự do ở đỉnh. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn Pcr của nó.

L = 2 mE = 200 GPa (thép)b × h = 30 × 50 mm
Pcr = kN
14.Mất ổn định cộtKhó
PL = 5 md = 80 mmmặt cắt ngang

Một cột dài L làm bằng thép được ngàm ở chân và khớp ở đỉnh. Tìm độ mảnh của nó và ứng suất oằn tới hạn σcr theo công thức Euler.

L = 5 mE = 200 GPa (thép)d = 80 mm
σcr = MPa

3Dung dịch

1.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: ε = 3613 µε

Định luật Hooke: trong giới hạn đàn hồi σ = E·ε. Kết hợp với σ = P/A và ε = δ/L ta được δ = PL/(AE).

Ứng suất

A = π·16²/4 = 201,1 mm²
σ = P/A = 85·1000/201,1 = 422,8 MPa

Biến dạng (định luật Hooke)

E for đồng = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 422,8/117000 = 0,003613 = 3613 µε

Đáp số

ε = 3613 µε
2.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: σmax = 111,4 MPa

Cấu kiện chịu tải dọc trục: mỗi đoạn lăng trụ tuân theo δ = PL/(AE). Với các cấu kiện nối tiếp, độ giãn dài cộng lại.

Cùng một lực trong cả hai đoạn

Đầu tự do chịu lực P, nên mọi mặt cắt của thanh đều chịu cùng một lực dọc trục P. Chỉ có diện tích và vật liệu thay đổi.

A1 = π·25²/4 = 490,9 mm², A2 = π·20²/4 = 314,2 mm²
σ1 = 71,3 MPa
σ2 = 111,4 MPa

Ứng suất lớn nhất

Đoạn mảnh hơn có diện tích nhỏ hơn, nên chịu ứng suất lớn hơn.

σmax = 111,4 MPa

Đáp số

σmax = 111,4 MPa
3.Xoắn của trục

Đáp số: τmax = 130,4 MPa

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Ứng suất trong từng đoạn

T = 400 N·m = 400000 N·mm
τAB = 16·400000/(π·30³) = 75,45 MPa
τBC = 16·400000/(π·25³) = 130,4 MPa

Đáp số

τmax = 130,4 MPa
4.Xoắn của trục

Đáp số: d = 34,35 mm

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen xoắn

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s
T = P/ω = 10000/31,42 = 318,3 N·m

Đường kính từ ứng suất cho phép

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·318310/(π·40)) = 34,35 mm

Đáp số

d = 34,35 mm

Trong thực tế bạn sẽ làm tròn lên kích thước tiêu chuẩn kế tiếp.

5.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: Vx = 8 kN

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt.

Phản lực gối

Cân bằng của cả dầm.

Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 4·8 = 32 kN, đặt tại x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 4·8·4
RB = 128/8 = 16 kN
ΣFy = 0: RA = 32 − 16 = 16 kN
w = 4 kN/mABRA​ = 16RB​ = 16mặt cắt2 m6 m

Cắt tại x = 2 m và giữ phần bên trái

Chỉ các lực bên trái mặt cắt xuất hiện. Phần tải phân bố đều được thay bằng một lực đặt tại giữa phần đó.

V = RA − (mọi tải hướng xuống bên trái mặt cắt)
Vx = 16 − 4·2 = 8 kN

Đáp số

Vx = 8 kN
6.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: E (x = 4 m)

Mômen uốn lớn nhất: M đổi độ dốc ở bất cứ chỗ nào lực cắt thay đổi, nên các đỉnh của nó nằm nơi lực cắt đi qua không: dưới một tải tập trung, bên trong một tải phân bố, hoặc trên một gối của phần công-xon. Tại ngàm của dầm công-xon, mômen lớn nhất ở chân tường. So sánh độ lớn của M tại những chỗ đó, dù là mômen làm võng hay làm vồng.

Phản lực gối

Lấy mômen quanh một gối tựa, rồi dùng cân bằng lực thẳng đứng.

R1 = 5,25 kN, R2 = 147,8 kN

Mômen uốn tại mỗi điểm đánh dấu

Cộng các mômen của mọi lực ở một phía của mặt cắt. Võng là dương, vồng là âm.

MA = 0, MB = −0,75, MC = −13,5, MD = −38,25, ME = −120 kN·m, MF = −60, MG = 0

Đáp số

Điểm đánh dấu E: ME = −120 kN·m
7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: Ix = 49,68 × 10⁶ mm⁴

Diện tích ghép: chia mặt cắt thành các hình chữ nhật. Trọng tâm là trung bình có trọng số theo diện tích ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Mômen quán tính của mặt cắt đối với trục đi qua trọng tâm bằng tổng bh³/12 của từng phần và số hạng trục song song A·d², trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm của phần đó đến trọng tâm chung. Ứng suất uốn là σ = M·y/I.

Chia thành hai hình chữ nhật

Đo mọi y từ mép dưới.

cánh: Af = 220·10 = 2200 mm², yf = 260 + 10/2 = 265 mm
bụng: Aw = 16·260 = 4160 mm², yw = 260/2 = 130 mm

Trọng tâm

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (2200·265 + 4160·130)/6360 = 176,7 mm

Định lý trục song song

cánh: 220·10³/12 + 2200·(265 − 176,7)² = 1,717 × 10⁷ mm⁴
bụng: 16·260³/12 + 4160·(130 − 176,7)² = 3,251 × 10⁷ mm⁴
Ix = 1,717 × 10⁷ + 3,251 × 10⁷ = 4,968 × 10⁷ mm⁴ = 49,68 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

Ix = 49,68 × 10⁶ mm⁴
8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: Ix = 446,3 × 10⁶ mm⁴

Tiết diện có lỗ: coi lỗ là một diện tích âm. Trọng tâm là ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), với A₁, y₁ cho tấm đầy đủ và A₂, y₂ cho lỗ. Với mômen quán tính diện tích quanh trục đi qua trọng tâm, dùng định lý trục song song cho từng phần rồi trừ lỗ: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm riêng của mỗi phần đến trục đi qua ȳ. Hình chữ nhật có Ic = bh³/12 và hình tròn có Ic = πd⁴/64.

Trọng tâm

ȳ = (60000·150 − 1000·210)/(60000 − 1000) = 149 mm

Tấm đầy đủ quanh ȳ

200·300³/12 + 60000·1,017² = 450,1 × 10⁶ mm⁴

Lỗ quanh ȳ

50·20³/12 + 1000·61,02² = 3,756 × 10⁶ mm⁴

Trừ

Ix = 446,3 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

Ix = 446,3 × 10⁶ mm⁴
9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: σy′ = −80,2 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

Phương trình biến đổi cho mặt y′

σy′ = −55 − (−25)·0,1736 − 30·0,9848 = −80,2 MPa

Kiểm tra

Tổng các ứng suất pháp không thay đổi khi xoay.

σx′ = −29,8 MPa, σx′ + σy′ = −110 = σx + σy

Đáp số

σy′ = −80,2 MPa
10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: σθ = 19,82 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

Phương trình biến đổi

σθ = 5 + 5·−0,5 + 20·0,866 = 19,82 MPa

Đáp số

σθ = 19,82 MPa
11.Độ võng của dầm

Đáp số: δP = 8,007 mm

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

P = 11000 N, a = 1500 mm, b = 2500 mm, L = 4000 mm
EI = 1,61 × 10¹² N·mm²

Độ võng dưới tải

δP = Pa²b²/(3EIL) = 11000·1500²·2500²/(3·1,61 × 10¹²·4000) = 8,007 mm

Đáp số

δP = 8,007 mm
12.Độ võng của dầm

Đáp số: Ireq = 2,813 × 10⁶ mm⁴

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Giới hạn độ võng

δallow = L/360 = 2000/360 = 5,556 mm

Mômen quán tính mặt cắt yêu cầu

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·15·2000⁴/(384·200000·5,556) = 2,813 × 10⁶ mm⁴
Ireq = 2,813 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

Ireq = 2,813 × 10⁶ mm⁴
13.Mất ổn định cột

Đáp số: Pcr = 13,88 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Hình chữ nhật oằn quanh trục yếu, dùng kích thước nhỏ hơn lập phương.

Imin = h·b³/12 = 50·30³/12 = 112500 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 2·2000 = 4000 mm

Tải trọng tới hạn

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·112500/4000² = 13879 N = 13,88 kN

Đáp số

Pcr = 13,88 kN
14.Mất ổn định cột

Đáp số: σcr = 64,45 MPa

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Bán kính quán tính và độ mảnh

A = 5027 mm²
r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm
KL = 0,7·5000 = 3500 mm
KL/r = 3500/20 = 175

Ứng suất tới hạn

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/175² = 64,45 MPa

Đáp số

σcr = 64,45 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials