Sức bền vật liệu: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 14 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp: σ = F/A
Biến dạng: ε = ΔL/L
Định luật Hooke: σ = E·ε
Độ giãn dài: ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt: ε_T = α·ΔT

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp: τ = T·r/J
Trục đặc: J = πd⁴/32
Trục rỗng: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn: φ = TL/(GJ)
Công suất: P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lực cắt và mômen uốn

Lực cắt và mômen: V = ΣF ở một phía, M = ΣF·d ở một phía
Ứng suất uốn: σ = M·y/I
Hình chữ nhật: I = bh³/12
Mômen chống uốn của mặt cắt: W = I/y_max
Dầm đơn giản, tải phân bố đều: M_max = wL²/8

Phương pháp

Tìm phản lực gối từ cân bằng của cả dầm.
Cắt dầm tại mặt cắt bạn cần và giữ lại một phía.
Lực cắt: tổng các lực thẳng đứng ở phía đó. Mômen uốn: tổng mômen của chúng quanh mặt cắt.
Để tìm mômen lớn nhất, hãy tìm nơi lực cắt bằng không.

Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Trọng tâm: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Hình chữ nhật: I = bh³/12
Định lý trục song song: I = I_c + A·d²
Mặt cắt ghép: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm: C = (σ_x + σ_y)/2
Bán kính: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Ứng suất chính: σ_1,2 = C ± R
Phương chính: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Mặt phẳng nghiêng: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Phương pháp

Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Độ võng của dầm

Tải tập trung ở giữa nhịp: δ = PL³/(48EI)
Tải phân bố đều, dầm đơn giản: δ = 5wL⁴/(384EI)
Công xôn, tải ở đầu: δ = PL³/(3EI)
Công xôn, tải phân bố đều: δ = wL⁴/(8EI)
Nguyên lý xếp chồng: δ = δ₁ + δ₂

Mất ổn định cột

Tải Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán: K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn: σ_cr = P_cr/A
Độ mảnh: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Bài tập

1.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình

Tìm độ giãn dài δ của thanh đồng dưới tải trọng dọc trục.

P = 60 kNd = 10 mmL = 3 mE = 117 GPa

δ = mm

2.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó

Thanh bậc được ngàm vào tường và chịu tải ở đầu tự do. Tìm tổng độ giãn dài δ.

P = 80 kNđoạn 1: Ø40 mm, 0,5 m, đồng thau (E = 100 GPa)đoạn 2: Ø12 mm, 1,5 m, thép (E = 200 GPa)

δ = mm

3.Xoắn của trụcTrung bình

Một trục đặc nhôm được ngàm vào tường và bị xoắn bởi mômen xoắn T ở đầu tự do. Tìm góc xoắn φ của đầu tự do, theo độ.

T = 250 N·md = 40 mmL = 1 mG = 26 GPa

φ = °

4.Xoắn của trụcKhó

Một trục rỗng phải truyền 50 kW ở 500 rpm. Đường kính trong của nó bằng 0,6 lần đường kính ngoài, và ứng suất cắt không được vượt quá 50 MPa. Tìm đường kính ngoài nhỏ nhất d_o.

P = 50 kWN = 500 rpmd_i/d_o = 0,6τ_allow = 50 MPa

d_o = mm

5.Lực cắt và mômen uốnTrung bình

Tìm lực cắt V_x tại mặt cắt x = 4,5 m tính từ gối A. Coi mômen làm dầm võng xuống là dương và lực cắt hướng lên trên mặt trái là dương.

L = 6 mw = 4 kN/m từ 0 đến 6 mx = 4,5 m

V_x = kN

6.Lực cắt và mômen uốnKhó

Các điểm đánh dấu từ A đến G chia dầm thành sáu phần bằng nhau. Tại điểm nào mômen uốn có độ lớn lớn nhất, dù võng hay vồng? Nhấp vào nó trong sơ đồ.

50 kN @ 0 m15 kN @ 6 m35 kN @ 2 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtTrung bình

Một ống tròn có đường kính ngoài D = 160 mm và đường kính trong d = 128 mm. Tìm bán kính quán tính r của nó đối với trục nằm ngang qua trọng tâm.

D = 160 mmd = 128 mm

r = mm

8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtKhó

Một tiết diện chữ I hàn có cánh trên 140 × 18 mm, bụng cao 300 mm và dày 8 mm, và cánh dưới 240 × 12 mm (chiều rộng × chiều dày). Tìm mô-men quán tính I_x của nó đối với trục nằm ngang x qua trọng tâm.

cánh trên: 140 × 18 mmbụng: 8 × 300 mmcánh dưới: 240 × 12 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình

Một điểm trong một tấm mỏng ở trạng thái ứng suất phẳng: σₓ = 140 MPa, σᵧ = −40 MPa và τₓᵧ = 20 MPa, với σ_z = 0. Tìm ứng suất cắt lớn nhất tuyệt đối τ_abs tại điểm đó (xét mọi mặt trong không gian ba chiều).

σ_x = 140 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = 20 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó

Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = 70 MPa, σᵧ = −70 MPa và τₓᵧ = −30 MPa (kéo là dương). Tìm ứng suất pháp σ_θ trên một mặt có pháp tuyến xoay 45° theo chiều kim đồng hồ so với trục x.

σ_x = 70 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = −30 MPaθ = -45°

σ_θ = MPa

11.Độ võng của dầmTrung bình

Một dầm công-xôn dài L ngàm tại A và chịu lực tập trung P tại vị trí cách A một đoạn a = 0,5 m. Tìm độ võng δ_B tại đầu tự do B.

P = 28 kNa = 0,5 mL = 2 mE = 70 GPa (nhôm)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

12.Độ võng của dầmKhó

Một dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w và một tải tập trung P ở giữa nhịp. Dùng nguyên lý xếp chồng, tìm độ võng giữa nhịp δ_max.

P = 20 kNw = 15 kN/mL = 2,5 mE = 200 GPa (thép)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Mất ổn định cộtTrung bình

Một cột dài L làm bằng nhôm được ngàm cả hai đầu. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn P_cr của nó.

L = 5 mE = 70 GPa (nhôm)d = 50 mm

P_cr = kN

14.Mất ổn định cộtKhó

Một cột dài L làm bằng thép được ngàm ở chân và khớp ở đỉnh. Tìm độ mảnh của nó và ứng suất oằn tới hạn σ_cr theo công thức Euler.

L = 3 mE = 200 GPa (thép)d = 80 mm

σ_cr = MPa

3Dung dịch

1.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: δ = 19,59 mm

Định luật Hooke: trong giới hạn đàn hồi σ = E·ε. Kết hợp với σ = P/A và ε = δ/L ta được δ = PL/(AE).

Ứng suất

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 60·1000/78,54 = 763,9 MPa

Biến dạng (định luật Hooke)

E for đồng = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 763,9/117000 = 0,006529 = 6529 µε

Độ giãn dài

δ = ε·L = 0,006529·3000 mm = 19,59 mm

Đáp số

δ = 19,59 mm

2.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: δ = 5,623 mm

Cấu kiện chịu tải dọc trục: mỗi đoạn lăng trụ tuân theo δ = PL/(AE). Với các cấu kiện nối tiếp, độ giãn dài cộng lại.

Cùng một lực trong cả hai đoạn

Đầu tự do chịu lực P, nên mọi mặt cắt của thanh đều chịu cùng một lực dọc trục P. Chỉ có diện tích và vật liệu thay đổi.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 63,66 MPa

σ₂ = 707,4 MPa

Cộng độ giãn dài của các đoạn

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 63,66·500/100000 = 0,3183 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 707,4·1500/200000 = 5,305 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 5,623 mm

Đáp số

δ = 5,623 mm

3.Xoắn của trục

Đáp số: φ = 2,192 °

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τ_max = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen quán tính độc cực của mặt cắt

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Góc xoắn

φ = TL/(GJ) = 250·1000·1000/(26000·251327) = 0,03826 rad

φ = 0,03826·180/π = 2,192°

Đáp số

φ = 2,192°

4.Xoắn của trục

Đáp số: d_o = 48,17 mm

Mômen xoắn

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 50000/52,36 = 954,9 N·m

Đường kính ngoài từ ứng suất cho phép

T = 954,9 N·m = 954930 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,6⁴ = 0,8704

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·954930/(π·50·0,8704)) = 48,17 mm

d_i = 0,6·48,17 = 28,9 mm

Đáp số

d_o = 48,17 mm

Một trục đặc sẽ cần d = 45,99 mm; trục rỗng lớn hơn một chút nhưng nhẹ hơn nhiều.

5.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: V_x = −6 kN

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt.

Phản lực gối

Cân bằng của cả dầm.

Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 4·6 = 24 kN, đặt tại x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 4·6·3

R_B = 72/6 = 12 kN

ΣF_y = 0: R_A = 24 − 12 = 12 kN

Cắt tại x = 4,5 m và giữ phần bên trái

Chỉ các lực bên trái mặt cắt xuất hiện. Phần tải phân bố đều được thay bằng một lực đặt tại giữa phần đó.

V = R_A − (mọi tải hướng xuống bên trái mặt cắt)

V_x = 12 − 4·4,5 = −6 kN

Đáp số

V_x = −6 kN

6.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: B (x = 1 m)

Mômen uốn lớn nhất: M đổi độ dốc ở bất cứ chỗ nào lực cắt thay đổi, nên các đỉnh của nó nằm nơi lực cắt đi qua không: dưới một tải tập trung, bên trong một tải phân bố, hoặc trên một gối của phần công-xon. Tại ngàm của dầm công-xon, mômen lớn nhất ở chân tường. So sánh độ lớn của M tại những chỗ đó, dù là mômen làm võng hay làm vồng.

Phản lực gối

Lấy mômen quanh một gối tựa, rồi dùng cân bằng lực thẳng đứng.

R₁ = 80 kN, R₂ = 20 kN

Mômen uốn tại mỗi điểm đánh dấu

Cộng các mômen của mọi lực ở một phía của mặt cắt. Võng là dương, vồng là âm.

M_A = 0, M_B = −50 kN·m, M_C = −20, M_D = −25, M_E = −30, M_F = −15, M_G = 0

Đáp số

Điểm đánh dấu B: M_B = −50 kN·m

7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: r = 51,22 mm

Mô-men quán tính của tiết diện: với hình chữ nhật đối với trục qua trọng tâm của nó I = bh³/12, và đối với trục đáy bh³/3 (định lý trục song song I = I_c + A·d²). Lỗ rỗng được xử lý bằng cách trừ đi I của nó, miễn là cả hai phần có chung một trục. Mô-đun chống uốn đàn hồi là S = I/c, với c là khoảng cách đến thớ ngoài cùng. Bán kính quán tính r = √(I/A) là khoảng cách mà tại đó toàn bộ diện tích cho cùng giá trị I; nó được dùng trong bài toán mất ổn định của cột.

Diện tích thực và mô-men quán tính

A = π(D² − d²)/4 = 7238 mm²

I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 1,899 × 10⁷ mm⁴

Bán kính quán tính

r = √(I/A) = √(1,899 × 10⁷/7238) = 51,22 mm

Đáp số

r = 51,22 mm

8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: I_x = 151,6 × 10⁶ mm⁴

Diện tích ghép: chia mặt cắt thành các hình chữ nhật. Trọng tâm là trung bình có trọng số theo diện tích ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Mômen quán tính của mặt cắt đối với trục đi qua trọng tâm bằng tổng bh³/12 của từng phần và số hạng trục song song A·d², trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm của phần đó đến trọng tâm chung. Ứng suất uốn là σ = M·y/I.

Chia thành ba hình chữ nhật

Đo mọi y từ mép dưới.

cánh trên: A = 2520 mm², y = 321 mm

bụng: A = 2400 mm², y = 162 mm

cánh dưới: A = 2880 mm², y = 6 mm

Trọng tâm

ȳ = (2520·321 + 2400·162 + 2880·6)/7800 = 155,8 mm

Định lý trục song song

cánh trên: 140·18³/12 + 2520·165,2² = 6,887 × 10⁷ mm⁴

bụng: 8·300³/12 + 2400·6,231² = 1,809 × 10⁷ mm⁴

cánh dưới: 240·12³/12 + 2880·149,8² = 6,464 × 10⁷ mm⁴

I_x = 6,887 × 10⁷ + 1,809 × 10⁷ + 6,464 × 10⁷

I_x = 1,516 × 10⁸ mm⁴ = 151,6 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

I_x = 151,6 × 10⁶ mm⁴

9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: τ_abs = 92,2 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R. Trong không gian ba chiều, ứng suất cắt lớn nhất tuyệt đối là (σ_max − σ_min)/2 trên cả ba ứng suất chính; trong ứng suất phẳng, ứng suất thứ ba bằng không.

Các ứng suất chính trong mặt phẳng

C = 50 MPa, R = √(90² + 20²) = 92,2 MPa

σ₁ = 142,2 MPa, σ₂ = −42,2 MPa, σ_z = 0

Vòng tròn lớn nhất trong ba vòng tròn

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(184,4, 142,2, 42,2)/2 = 92,2 MPa

Đáp số

τ_abs = 92,2 MPa

Ở đây σ₁ và σ₂ trái dấu, nên giá trị lớn nhất trong mặt phẳng R cũng là giá trị lớn nhất tuyệt đối.

10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: σ_θ = 30 MPa

Phương trình biến đổi

σ_θ = 0 + 70·0 + −30·−1 = 30 MPa

Đáp số

σ_θ = 30 MPa

11.Độ võng của dầm

Đáp số: δ_B = 1,608 mm

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

P = 28000 N, a = 500 mm, L = 2000 mm

EI = 3,99 × 10¹² N·mm²

Độ võng ở đầu tự do

Độ võng tại tải cộng góc xoay tại tải nhân với chiều dài còn lại.

δ_P = Pa³/(3EI) = 0,2924 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,0008772 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 1,608 mm

Đáp số

δ_B = 1,608 mm

12.Độ võng của dầm

Đáp số: δ_max = 1,964 mm

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

P = 20000 N, w = 15 N/mm, L = 2500 mm, EI = 7,2 × 10¹² N·mm²

Từng tải riêng rẽ

δ_P = PL³/(48EI) = 20000·2500³/(48·7,2 × 10¹²) = 0,9042 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·2500⁴/(384·7,2 × 10¹²) = 1,06 mm

Cộng lại

δ_max = 0,9042 + 1,06 = 1,964 mm

Đáp số

δ_max = 1,964 mm

13.Mất ổn định cột

Đáp số: P_cr = 33,91 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại P_cr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Tải trọng tới hạn

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/2500² = 33913 N = 33,91 kN

Đáp số

P_cr = 33,91 kN

14.Mất ổn định cột

Đáp số: σ_cr = 179 MPa

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Bán kính quán tính và độ mảnh

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

KL/r = 2100/20 = 105

Ứng suất tới hạn

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/105² = 179 MPa

Đáp số

σ_cr = 179 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials