Sức bền vật liệu: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 14 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp: σ = F/A
Biến dạng: ε = ΔL/L
Định luật Hooke: σ = E·ε
Độ giãn dài: ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt: ε_T = α·ΔT

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp: τ = T·r/J
Trục đặc: J = πd⁴/32
Trục rỗng: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn: φ = TL/(GJ)
Công suất: P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lực cắt và mômen uốn

Lực cắt và mômen: V = ΣF ở một phía, M = ΣF·d ở một phía
Ứng suất uốn: σ = M·y/I
Hình chữ nhật: I = bh³/12
Mômen chống uốn của mặt cắt: W = I/y_max
Dầm đơn giản, tải phân bố đều: M_max = wL²/8

Phương pháp

Tìm phản lực gối từ cân bằng của cả dầm.
Cắt dầm tại mặt cắt bạn cần và giữ lại một phía.
Lực cắt: tổng các lực thẳng đứng ở phía đó. Mômen uốn: tổng mômen của chúng quanh mặt cắt.
Để tìm mômen lớn nhất, hãy tìm nơi lực cắt bằng không.

Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Trọng tâm: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Hình chữ nhật: I = bh³/12
Định lý trục song song: I = I_c + A·d²
Mặt cắt ghép: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm: C = (σ_x + σ_y)/2
Bán kính: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Ứng suất chính: σ_1,2 = C ± R
Phương chính: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Mặt phẳng nghiêng: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Phương pháp

Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Độ võng của dầm

Tải tập trung ở giữa nhịp: δ = PL³/(48EI)
Tải phân bố đều, dầm đơn giản: δ = 5wL⁴/(384EI)
Công xôn, tải ở đầu: δ = PL³/(3EI)
Công xôn, tải phân bố đều: δ = wL⁴/(8EI)
Nguyên lý xếp chồng: δ = δ₁ + δ₂

Mất ổn định cột

Tải Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán: K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn: σ_cr = P_cr/A
Độ mảnh: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Bài tập

1.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình

Một thanh thép (đường kính 40 mm, E = 200 GPa) nằm trong một ống làm bằng đồng (đường kính ngoài 100 mm, đường kính trong 60 mm, E = 120 GPa). Cả hai dài 600 mm và bị nén cùng nhau giữa các tấm cứng bởi 200 kN. Tìm độ co ngắn δ.

P = 200 kNthanh: Ø40 mm, E = 200 GPaống: Ø100/Ø60 mm, E = 120 GPaL = 600 mm

δ = mm

2.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó

Thanh bậc được ngàm vào tường và chịu tải ở đầu tự do. Tìm tổng độ giãn dài δ.

P = 35 kNđoạn 1: Ø25 mm, 0,5 m, thép (E = 200 GPa)đoạn 2: Ø16 mm, 0,5 m, thép (E = 200 GPa)

δ = mm

3.Xoắn của trụcTrung bình

Một trục đặc thép được ngàm vào tường và bị xoắn bởi mômen xoắn T ở đầu tự do. Tìm góc xoắn φ của đầu tự do, theo độ.

T = 500 N·md = 20 mmL = 0,5 mG = 80 GPa

φ = °

4.Xoắn của trụcKhó

Một trục rỗng truyền 20 kW ở 1500 rpm. Tìm ứng suất tiếp lớn nhất τ_max trong trục.

P = 20 kWN = 1500 rpmd_o = 50 mmd_i = 35 mm

τ_max = MPa

5.Lực cắt và mômen uốnTrung bình

Tìm mômen uốn M_x tại mặt cắt x = 1,5 m tính từ gối A. Coi mômen làm dầm võng xuống là dương và lực cắt hướng lên trên mặt trái là dương.

L = 6 mw = 4 kN/m từ 0 đến 6 mx = 1,5 m

M_x = kN·m

6.Lực cắt và mômen uốnKhó

Tìm mômen uốn M_x tại mặt cắt x = 3 m tính từ gối A. Coi mômen làm dầm võng xuống là dương và lực cắt hướng lên trên mặt trái là dương.

L = 4 mP = 10 kN tại 3 mw = 4 kN/m từ 0 đến 4 mx = 3 m

M_x = kN·m

7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtTrung bình

Tìm mômen quán tính I_x của mặt cắt chữ T đối với trục ngang x đi qua trọng tâm.

b_f = 120 mmt_f = 25 mmt_w = 12 mmh_w = 140 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtKhó

Một dầm gang có tiết diện chữ T như hình, cánh nằm phía trên. Ứng suất cho phép là 30 MPa khi kéo và 100 MPa khi nén. Tìm mô-men uốn võng xuống lớn nhất M_allow mà dầm có thể chịu.

b_f = 260 mmt_f = 15 mmt_w = 10 mmh_w = 120 mmσ_t,allow = 30 MPaσ_c,allow = 100 MPa

M_allow = kN·m

9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình

Một điểm có σₓ = 0 MPa, σᵧ = 30 MPa và τₓᵧ = −30 MPa (kéo là dương). Phân tố được xoay 60° ngược chiều kim đồng hồ. Tìm ứng suất pháp σ_y′ trên các mặt của phân tố đã xoay vuông góc với trục y′ sau khi xoay.

σ_x = 0 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = −30 MPaθ = 60°

σ_y′ = MPa

10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó

Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = 130 MPa, σᵧ = −60 MPa và τₓᵧ = −60 MPa (kéo là dương). Tìm ứng suất tiếp τ_θ trên một mặt có pháp tuyến xoay 40° ngược chiều kim đồng hồ so với trục x (dương cùng chiều với τₓᵧ).

σ_x = 130 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = −60 MPaθ = 40°

τ_θ = MPa

11.Độ võng của dầmTrung bình

Một dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w trên toàn nhịp. Tìm độ võng lớn nhất δ_max, tại giữa nhịp.

w = 5 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (thép)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Độ võng của dầmKhó

Một dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w. Độ võng của nó không được vượt quá nhịp/360. Tìm mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt I_req thỏa mãn giới hạn này.

w = 4 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (nhôm)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Mất ổn định cộtTrung bình

Một cột dài L làm bằng thép được ngàm ở chân và tự do ở đỉnh. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn P_cr của nó.

L = 5 mE = 200 GPa (thép)b × h = 50 × 80 mm

P_cr = kN

14.Mất ổn định cộtKhó

Một cột dài L làm bằng thép được ngàm ở chân và khớp ở đỉnh. Tìm độ mảnh của nó và ứng suất oằn tới hạn σ_cr theo công thức Euler.

L = 6 mE = 200 GPa (thép)d = 80 mm

σ_cr = MPa

3Dung dịch

1.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: δ = 0,1404 mm

Hai vật liệu: khi nối tiếp (cái này sau cái kia) mỗi đoạn chịu cùng một lực và các độ giãn dài cộng lại: δ = P·Σ L/(E·A). Khi song song (cạnh nhau giữa các tấm cứng) cả hai phần co lại cùng một lượng, nên biến dạng của chúng bằng nhau: phần cứng hơn nhận phần tải lớn hơn, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, và σ_i = E_i·ε. Một thanh bị giữ giữa hai vách cứng với tải đặt tại chỗ nối là siêu tĩnh: hai đoạn chia tải theo tỉ lệ độ cứng k = EA/L của chúng.

Diện tích

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²

Độ cứng dọc trục kết hợp

ΣEA = 200·10³·1257 + 120·10³·5027 = 8,545 × 10⁸ N

Độ co ngắn

δ = 200000·600/8,545 × 10⁸ = 0,1404 mm

Đáp số

δ = 0,1404 mm

2.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: δ = 0,6134 mm

Cấu kiện chịu tải dọc trục: mỗi đoạn lăng trụ tuân theo δ = PL/(AE). Với các cấu kiện nối tiếp, độ giãn dài cộng lại.

Cùng một lực trong cả hai đoạn

Đầu tự do chịu lực P, nên mọi mặt cắt của thanh đều chịu cùng một lực dọc trục P. Chỉ có diện tích và vật liệu thay đổi.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 71,3 MPa

σ₂ = 174,1 MPa

Cộng độ giãn dài của các đoạn

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 71,3·500/200000 = 0,1783 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 174,1·500/200000 = 0,4352 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 0,6134 mm

Đáp số

δ = 0,6134 mm

3.Xoắn của trục

Đáp số: φ = 11,4 °

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τ_max = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen quán tính độc cực của mặt cắt

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

Góc xoắn

φ = TL/(GJ) = 500·1000·500/(80000·15708) = 0,1989 rad

φ = 0,1989·180/π = 11,4°

Đáp số

φ = 11,4°

4.Xoắn của trục

Đáp số: τ_max = 6,827 MPa

Mômen xoắn

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 20000/157,1 = 127,3 N·m

Mômen quán tính độc cực của mặt cắt

J = π(50⁴ − 35⁴)/32 = 466269 mm⁴

Ứng suất tiếp lớn nhất

τ_max = T·(d_o/2)/J = 127324·25/466269 = 6,827 MPa

Đáp số

τ_max = 6,827 MPa

5.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: M_x = 13,5 kN·m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt.

Phản lực gối

Cân bằng của cả dầm.

Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 4·6 = 24 kN, đặt tại x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 4·6·3

R_B = 72/6 = 12 kN

ΣF_y = 0: R_A = 24 − 12 = 12 kN

Cắt tại x = 1,5 m và giữ phần bên trái

Chỉ các lực bên trái mặt cắt xuất hiện. Phần tải phân bố đều được thay bằng một lực đặt tại giữa phần đó.

M = R_A·x − (mỗi tải bên trái mặt cắt × cánh tay đòn đến mặt cắt)

M_x = 12·1,5 − 4·1,5·0,75 = 13,5 kN·m

Đáp số

M_x = 13,5 kN·m

6.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: M_x = 13,5 kN·m

Phản lực gối

Cân bằng của cả dầm.

Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 4·4 = 16 kN, đặt tại x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 10·3 + 4·4·2

R_B = 62/4 = 15,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 26 − 15,5 = 10,5 kN

Cắt tại x = 3 m và giữ phần bên trái

Chỉ các lực bên trái mặt cắt xuất hiện. Phần tải phân bố đều được thay bằng một lực đặt tại giữa phần đó.

M = R_A·x − (mỗi tải bên trái mặt cắt × cánh tay đòn đến mặt cắt)

M_x = 10,5·3 − 4·3·1,5 = 13,5 kN·m

Đáp số

M_x = 13,5 kN·m

7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: I_x = 10,23 × 10⁶ mm⁴

Diện tích ghép: chia mặt cắt thành các hình chữ nhật. Trọng tâm là trung bình có trọng số theo diện tích ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Mômen quán tính của mặt cắt đối với trục đi qua trọng tâm bằng tổng bh³/12 của từng phần và số hạng trục song song A·d², trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm của phần đó đến trọng tâm chung. Ứng suất uốn là σ = M·y/I.

Chia thành hai hình chữ nhật

Đo mọi y từ mép dưới.

cánh: A_f = 120·25 = 3000 mm², y_f = 140 + 25/2 = 152,5 mm

bụng: A_w = 12·140 = 1680 mm², y_w = 140/2 = 70 mm

Trọng tâm

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3000·152,5 + 1680·70)/4680 = 122,9 mm

Định lý trục song song

cánh: 120·25³/12 + 3000·(152,5 − 122,9)² = 2,787 × 10⁶ mm⁴

bụng: 12·140³/12 + 1680·(70 − 122,9)² = 7,443 × 10⁶ mm⁴

I_x = 2,787 × 10⁶ + 7,443 × 10⁶ = 1,023 × 10⁷ mm⁴ = 10,23 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

I_x = 10,23 × 10⁶ mm⁴

8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: M_allow = 1,53 kN·m

Trọng tâm

ȳ = (3900·127,5 + 1200·60)/5100 = 111,6 mm

cạnh trên: c = 135 − 111,6 = 23,38 mm

Mômen quán tính mặt cắt

I = 260·15³/12 + 3900·15,88² + 10·120³/12 + 1200·51,62² = 5,694 × 10⁶ mm⁴

Mô-men cho phép theo từng cạnh

Võng xuống: thớ trên chịu nén, thớ dưới chịu kéo.

cạnh trên: M = 100·5,694 × 10⁶/23,38 = 24,35 kN·m

cạnh dưới: M = 30·5,694 × 10⁶/111,6 = 1,53 kN·m

Giá trị quyết định

M_allow = min = 1,53 kN·m (cạnh dưới)

Đáp số

M_allow = 1,53 kN·m

9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: σ_y′ = 33,48 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

Phương trình biến đổi cho mặt y′

σ_y′ = 15 − (−15)·(−0,5) − (−30)·0,866 = 33,48 MPa

Kiểm tra

Tổng các ứng suất pháp không thay đổi khi xoay.

σ_x′ = −3,481 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 30 = σ_x + σ_y

Đáp số

σ_y′ = 33,48 MPa

10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: τ_θ = −104 MPa

Phương trình biến đổi

τ_θ = −95·0,9848 + −60·0,1736 = −104 MPa

Đáp số

τ_θ = −104 MPa

11.Độ võng của dầm

Đáp số: δ_max = 15,87 mm

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 8000 mm

EI = 1,68 × 10¹³ N·mm²

Độ võng

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·8000⁴/(384·1,68 × 10¹³) = 15,87 mm

Đáp số

δ_max = 15,87 mm

12.Độ võng của dầm

Đáp số: I_req = 2,143 × 10⁶ mm⁴

Giới hạn độ võng

δ_allow = L/360 = 2000/360 = 5,556 mm

Mômen quán tính mặt cắt yêu cầu

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·4·2000⁴/(384·70000·5,556) = 2,143 × 10⁶ mm⁴

I_req = 2,143 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

I_req = 2,143 × 10⁶ mm⁴

13.Mất ổn định cột

Đáp số: P_cr = 16,45 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại P_cr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Hình chữ nhật oằn quanh trục yếu, dùng kích thước nhỏ hơn lập phương.

I_min = h·b³/12 = 80·50³/12 = 833333 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 2·5000 = 10000 mm

Tải trọng tới hạn

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·833333/10000² = 16449 N = 16,45 kN

Đáp số

P_cr = 16,45 kN

14.Mất ổn định cột

Đáp số: σ_cr = 44,76 MPa

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Bán kính quán tính và độ mảnh

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 0,7·6000 = 4200 mm

KL/r = 4200/20 = 210

Ứng suất tới hạn

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/210² = 44,76 MPa

Đáp số

σ_cr = 44,76 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials