Sức bền vật liệu: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 14 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp: σ = F/A
Biến dạng: ε = ΔL/L
Định luật Hooke: σ = E·ε
Độ giãn dài: ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt: ε_T = α·ΔT

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp: τ = T·r/J
Trục đặc: J = πd⁴/32
Trục rỗng: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn: φ = TL/(GJ)
Công suất: P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lực cắt và mômen uốn

Lực cắt và mômen: V = ΣF ở một phía, M = ΣF·d ở một phía
Ứng suất uốn: σ = M·y/I
Hình chữ nhật: I = bh³/12
Mômen chống uốn của mặt cắt: W = I/y_max
Dầm đơn giản, tải phân bố đều: M_max = wL²/8

Phương pháp

Tìm phản lực gối từ cân bằng của cả dầm.
Cắt dầm tại mặt cắt bạn cần và giữ lại một phía.
Lực cắt: tổng các lực thẳng đứng ở phía đó. Mômen uốn: tổng mômen của chúng quanh mặt cắt.
Để tìm mômen lớn nhất, hãy tìm nơi lực cắt bằng không.

Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Trọng tâm: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Hình chữ nhật: I = bh³/12
Định lý trục song song: I = I_c + A·d²
Mặt cắt ghép: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm: C = (σ_x + σ_y)/2
Bán kính: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Ứng suất chính: σ_1,2 = C ± R
Phương chính: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Mặt phẳng nghiêng: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Phương pháp

Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Độ võng của dầm

Tải tập trung ở giữa nhịp: δ = PL³/(48EI)
Tải phân bố đều, dầm đơn giản: δ = 5wL⁴/(384EI)
Công xôn, tải ở đầu: δ = PL³/(3EI)
Công xôn, tải phân bố đều: δ = wL⁴/(8EI)
Nguyên lý xếp chồng: δ = δ₁ + δ₂

Mất ổn định cột

Tải Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán: K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn: σ_cr = P_cr/A
Độ mảnh: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Bài tập

1.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình

Một thanh thép (đường kính 25 mm, E = 200 GPa) nằm trong một ống làm bằng đồng thanh (đường kính ngoài 120 mm, đường kính trong 70 mm, E = 110 GPa). Cả hai dài 600 mm và bị nén cùng nhau giữa các tấm cứng bởi 100 kN. Tìm độ co ngắn δ.

P = 100 kNthanh: Ø25 mm, E = 200 GPaống: Ø120/Ø70 mm, E = 110 GPaL = 600 mm

δ = mm

2.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó

Thanh bậc được ngàm vào tường và chịu tải ở đầu tự do. Tìm tổng độ giãn dài δ.

P = 50 kNđoạn 1: Ø40 mm, 1 m, nhôm (E = 70 GPa)đoạn 2: Ø16 mm, 2 m, đồng (E = 117 GPa)

δ = mm

3.Xoắn của trụcTrung bình

Một trục đặc thép được ngàm vào tường và bị xoắn bởi mômen xoắn T ở đầu tự do. Tìm góc xoắn φ của đầu tự do, theo độ.

T = 1000 N·md = 40 mmL = 1,5 mG = 80 GPa

φ = °

4.Xoắn của trụcKhó

Một trục đặc nhôm đường kính 20 mm được ngàm vào các tường cứng ở cả hai đầu A và B. Một mô-men xoắn 250 N·m đặt tại C, cách A 1,5 m và cách B 2,5 m. Tìm ứng suất cắt lớn nhất τ_max trong trục.

d = 20 mmT₀ = 250 N·ma = 1,5 mb = 2,5 m

τ_max = MPa

5.Lực cắt và mômen uốnTrung bình

Tìm mômen uốn M_x tại mặt cắt x = 5,5 m tính từ gối A. Coi mômen làm dầm võng xuống là dương và lực cắt hướng lên trên mặt trái là dương.

L = 10 mw = 3 kN/m từ 0 đến 10 mx = 5,5 m

M_x = kN·m

6.Lực cắt và mômen uốnKhó

Dầm đặt trên gối cố định tại A và gối con lăn tại B, và đoạn công-xôn nhô ra khỏi B một đoạn 1 m tới đầu tự do C. Tải phân bố đều w tác dụng trên toàn bộ chiều dài A–C. Tìm mô-men uốn võng xuống lớn nhất M_max giữa hai gối.

L = 9 mw = 2 kN/m từ 0 đến 9 mcác gối tại x = 0 và x = 8 m

M_max = kN·m

7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtTrung bình

Tìm mômen quán tính I_x của mặt cắt chữ T đối với trục ngang x đi qua trọng tâm.

b_f = 200 mmt_f = 10 mmt_w = 12 mmh_w = 220 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtKhó

Mặt cắt chữ T được dùng làm dầm với cánh ở trên và chịu mômen uốn làm võng xuống 15 kN·m. Tìm ứng suất uốn σ_dưới ở mép dưới.

b_f = 180 mmt_f = 15 mmt_w = 20 mmh_w = 100 mmM = 15 kN·m

σ_dưới = MPa

9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình

Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = −10 MPa, σᵧ = −30 MPa và τₓᵧ = −40 MPa (kéo là dương). Tìm góc θ_p từ trục x đến phương của ứng suất chính lớn nhất, trong khoảng −90° đến 90°.

σ_x = −10 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = −40 MPa

θ_p = °

10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó

Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = −80 MPa, σᵧ = 120 MPa và τₓᵧ = 30 MPa (kéo là dương). Tìm ứng suất pháp σ_θ trên một mặt có pháp tuyến xoay 30° theo chiều kim đồng hồ so với trục x.

σ_x = −80 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = 30 MPaθ = -30°

σ_θ = MPa

11.Độ võng của dầmTrung bình

Một dầm công xôn chịu tải phân bố đều w trên toàn chiều dài. Tìm độ võng δ tại đầu tự do.

w = 2 kN/mL = 2,5 mE = 11 GPa (gỗ xẻ)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Độ võng của dầmKhó

Một dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w và một tải tập trung P ở giữa nhịp. Dùng nguyên lý xếp chồng, tìm độ võng giữa nhịp δ_max.

P = 23 kNw = 12 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (nhôm)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Mất ổn định cộtTrung bình

Một cột dài L làm bằng nhôm được ngàm ở chân và tự do ở đỉnh. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn P_cr của nó.

L = 5 mE = 70 GPa (nhôm)d = 60 mm

P_cr = kN

14.Mất ổn định cộtKhó

Một cột dài L làm bằng thép được hai đầu khớp. Tìm độ mảnh của nó và ứng suất oằn tới hạn σ_cr theo công thức Euler.

L = 2,5 mE = 200 GPa (thép)d = 60 mm

σ_cr = MPa

3Dung dịch

1.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: δ = 0,06529 mm

Hai vật liệu: khi nối tiếp (cái này sau cái kia) mỗi đoạn chịu cùng một lực và các độ giãn dài cộng lại: δ = P·Σ L/(E·A). Khi song song (cạnh nhau giữa các tấm cứng) cả hai phần co lại cùng một lượng, nên biến dạng của chúng bằng nhau: phần cứng hơn nhận phần tải lớn hơn, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, và σ_i = E_i·ε. Một thanh bị giữ giữa hai vách cứng với tải đặt tại chỗ nối là siêu tĩnh: hai đoạn chia tải theo tỉ lệ độ cứng k = EA/L của chúng.

Diện tích

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

Độ cứng dọc trục kết hợp

ΣEA = 200·10³·490,9 + 110·10³·7461 = 9,189 × 10⁸ N

Độ co ngắn

δ = 100000·600/9,189 × 10⁸ = 0,06529 mm

Đáp số

δ = 0,06529 mm

2.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: δ = 4,819 mm

Cấu kiện chịu tải dọc trục: mỗi đoạn lăng trụ tuân theo δ = PL/(AE). Với các cấu kiện nối tiếp, độ giãn dài cộng lại.

Cùng một lực trong cả hai đoạn

Đầu tự do chịu lực P, nên mọi mặt cắt của thanh đều chịu cùng một lực dọc trục P. Chỉ có diện tích và vật liệu thay đổi.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 39,79 MPa

σ₂ = 248,7 MPa

Cộng độ giãn dài của các đoạn

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 39,79·1000/70000 = 0,5684 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 248,7·2000/117000 = 4,251 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 4,819 mm

Đáp số

δ = 4,819 mm

3.Xoắn của trục

Đáp số: φ = 4,274 °

Mômen quán tính độc cực của mặt cắt

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Góc xoắn

φ = TL/(GJ) = 1000·1000·1500/(80000·251327) = 0,0746 rad

φ = 0,0746·180/π = 4,274°

Đáp số

φ = 4,274°

4.Xoắn của trục

Đáp số: τ_max = 99,47 MPa

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τ_max = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω. Khi cả hai đầu bị ngàm, tĩnh học chỉ cho T_A + T_B = T₀; phương trình thứ hai là điều kiện tương thích (góc xoắn của hai phần bằng nhau tại tiết diện chịu tải).

Cân bằng và tương thích

T_A + T_B = 250

T_A·a = T_B·b

T_A = 250·2,5/4 = 156,3 N·m

T_B = 250·1,5/4 = 93,75 N·m

Ứng suất tiếp lớn nhất

Mô-men xoắn lớn hơn trong hai mô-men quyết định (cùng đường kính).

τ_max = 16·156250/(π·20³) = 99,47 MPa

Đáp số

τ_max = 99,47 MPa

5.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: M_x = 37,13 kN·m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt.

Phản lực gối

Cân bằng của cả dầm.

Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 3·10 = 30 kN, đặt tại x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 3·10·5

R_B = 150/10 = 15 kN

ΣF_y = 0: R_A = 30 − 15 = 15 kN

Cắt tại x = 5,5 m và giữ phần bên trái

Chỉ các lực bên trái mặt cắt xuất hiện. Phần tải phân bố đều được thay bằng một lực đặt tại giữa phần đó.

M = R_A·x − (mỗi tải bên trái mặt cắt × cánh tay đòn đến mặt cắt)

M_x = 15·5,5 − 3·5,5·2,75 = 37,13 kN·m

Đáp số

M_x = 37,13 kN·m

6.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: M_max = 15,5 kN·m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt. Mô-men lớn nhất: vì dM/dx = V, mô-men uốn đạt cực trị tại nơi lực cắt đi qua không, hoặc tại một lực tập trung hoặc bên trong một tải phân bố.

Phản lực gối

Cân bằng của toàn bộ dầm, kể cả tải trên đoạn công-xôn.

Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 2·9 = 18 kN, đặt tại x̄ = 4,5 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 2·9·4,5

R_B = 81/8 = 10,13 kN

ΣF_y = 0: R_A = 18 − 10,13 = 7,875 kN

Lực cắt bằng không

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 7,875/2 = 3,938 m

Mô-men võng xuống lớn nhất

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = R_A²/(2w) = 7,875²/(2·2) = 15,5 kN·m

Đáp số

M_max = 15,5 kN·m

7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: I_x = 25,71 × 10⁶ mm⁴

Diện tích ghép: chia mặt cắt thành các hình chữ nhật. Trọng tâm là trung bình có trọng số theo diện tích ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Mômen quán tính của mặt cắt đối với trục đi qua trọng tâm bằng tổng bh³/12 của từng phần và số hạng trục song song A·d², trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm của phần đó đến trọng tâm chung. Ứng suất uốn là σ = M·y/I.

Chia thành hai hình chữ nhật

Đo mọi y từ mép dưới.

cánh: A_f = 200·10 = 2000 mm², y_f = 220 + 10/2 = 225 mm

bụng: A_w = 12·220 = 2640 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

Trọng tâm

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2000·225 + 2640·110)/4640 = 159,6 mm

Định lý trục song song

cánh: 200·10³/12 + 2000·(225 − 159,6)² = 8,579 × 10⁶ mm⁴

bụng: 12·220³/12 + 2640·(110 − 159,6)² = 1,713 × 10⁷ mm⁴

I_x = 8,579 × 10⁶ + 1,713 × 10⁷ = 2,571 × 10⁷ mm⁴ = 25,71 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

I_x = 25,71 × 10⁶ mm⁴

8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: σ_dưới = 225,8 MPa

Chia thành hai hình chữ nhật

Đo mọi y từ mép dưới.

cánh: A_f = 180·15 = 2700 mm², y_f = 100 + 15/2 = 107,5 mm

bụng: A_w = 20·100 = 2000 mm², y_w = 100/2 = 50 mm

Trọng tâm

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2700·107,5 + 2000·50)/4700 = 83,03 mm

Định lý trục song song

cánh: 180·15³/12 + 2700·(107,5 − 83,03)² = 1,667 × 10⁶ mm⁴

bụng: 20·100³/12 + 2000·(50 − 83,03)² = 3,849 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1,667 × 10⁶ + 3,849 × 10⁶ = 5,516 × 10⁶ mm⁴

Ứng suất uốn

Mép dưới cách trục ȳ.

y = 83,03 mm

σ = M·y/I = 1,5 × 10⁷·83,03/5,516 × 10⁶ = 225,8 MPa

Đáp số

σ_dưới = 225,8 MPa

9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: θ_p = −37,98 °

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

Góc trên vòng tròn

Điểm x nằm ở góc 2θp so với trục σ trên vòng tròn Mohr; góc phần tư suy ra từ dấu của σₓ − σᵧ và τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−40, −10 − −30) = −75,96°

Góc trên phần tử

θ_p = −37,98°

Đáp số

θ_p = −37,98°

Góc dương là ngược chiều kim đồng hồ.

10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: σ_θ = −55,98 MPa

Phương trình biến đổi

σ_θ = 20 + −100·0,5 + 30·−0,866 = −55,98 MPa

Đáp số

σ_θ = −55,98 MPa

11.Độ võng của dầm

Đáp số: δ = 7,398 mm

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 2500 mm

EI = 1,32 × 10¹² N·mm²

Độ võng

δ = wL⁴/(8EI) = 2·2500⁴/(8·1,32 × 10¹²) = 7,398 mm

Đáp số

δ = 7,398 mm

12.Độ võng của dầm

Đáp số: δ_max = 3,934 mm

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

P = 23000 N, w = 12 N/mm, L = 2000 mm, EI = 1,61 × 10¹² N·mm²

Từng tải riêng rẽ

δ_P = PL³/(48EI) = 23000·2000³/(48·1,61 × 10¹²) = 2,381 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·2000⁴/(384·1,61 × 10¹²) = 1,553 mm

Cộng lại

δ_max = 2,381 + 1,553 = 3,934 mm

Đáp số

δ_max = 3,934 mm

13.Mất ổn định cột

Đáp số: P_cr = 4,395 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại P_cr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 2·5000 = 10000 mm

Tải trọng tới hạn

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/10000² = 4395 N = 4,395 kN

Đáp số

P_cr = 4,395 kN

14.Mất ổn định cột

Đáp số: σ_cr = 71,06 MPa

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Bán kính quán tính và độ mảnh

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 1·2500 = 2500 mm

KL/r = 2500/15 = 166,7

Ứng suất tới hạn

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/166,7² = 71,06 MPa

Đáp số

σ_cr = 71,06 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials