Sức bền vật liệu: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 14 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp: σ = F/A
Biến dạng: ε = ΔL/L
Định luật Hooke: σ = E·ε
Độ giãn dài: ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt: ε_T = α·ΔT

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp: τ = T·r/J
Trục đặc: J = πd⁴/32
Trục rỗng: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn: φ = TL/(GJ)
Công suất: P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lực cắt và mômen uốn

Lực cắt và mômen: V = ΣF ở một phía, M = ΣF·d ở một phía
Ứng suất uốn: σ = M·y/I
Hình chữ nhật: I = bh³/12
Mômen chống uốn của mặt cắt: W = I/y_max
Dầm đơn giản, tải phân bố đều: M_max = wL²/8

Phương pháp

Tìm phản lực gối từ cân bằng của cả dầm.
Cắt dầm tại mặt cắt bạn cần và giữ lại một phía.
Lực cắt: tổng các lực thẳng đứng ở phía đó. Mômen uốn: tổng mômen của chúng quanh mặt cắt.
Để tìm mômen lớn nhất, hãy tìm nơi lực cắt bằng không.

Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Trọng tâm: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Hình chữ nhật: I = bh³/12
Định lý trục song song: I = I_c + A·d²
Mặt cắt ghép: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm: C = (σ_x + σ_y)/2
Bán kính: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Ứng suất chính: σ_1,2 = C ± R
Phương chính: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Mặt phẳng nghiêng: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Phương pháp

Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Độ võng của dầm

Tải tập trung ở giữa nhịp: δ = PL³/(48EI)
Tải phân bố đều, dầm đơn giản: δ = 5wL⁴/(384EI)
Công xôn, tải ở đầu: δ = PL³/(3EI)
Công xôn, tải phân bố đều: δ = wL⁴/(8EI)
Nguyên lý xếp chồng: δ = δ₁ + δ₂

Mất ổn định cột

Tải Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán: K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn: σ_cr = P_cr/A
Độ mảnh: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Bài tập

1.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình

Một thanh gồm một đoạn thép (đường kính 25 mm, chiều dài 300 mm, E = 200 GPa) nối đầu với đầu với một đoạn làm bằng đồng thau (đường kính 50 mm, chiều dài 500 mm, E = 100 GPa). Nó được ngàm một đầu và bị kéo ở đầu kia. Tìm tải dọc trục P làm nó giãn tổng cộng 0,4 mm.

đoạn 1: thép, Ø25 mm, 300 mm, E = 200 GPađoạn 2: đồng thau, Ø50 mm, 500 mm, E = 100 GPaδ = 0,4 mm

P = kN

2.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó

Một đoạn thép (đường kính 20 mm, chiều dài 500 mm, E = 200 GPa) và một đoạn làm bằng nhôm (đường kính 30 mm, chiều dài 300 mm, E = 70 GPa) được nối đầu với đầu và ngàm giữa hai vách cứng. Một tải dọc trục 80 kN tác dụng tại chỗ nối, hướng về phía đoạn 2. Tìm độ lớn ứng suất σ₂ trong đoạn 2.

đoạn 1: thép, Ø20 mm, 500 mm, E = 200 GPađoạn 2: nhôm, Ø30 mm, 300 mm, E = 70 GPaP = 80 kN

σ₂ = MPa

3.Xoắn của trụcTrung bình

Một trục đặc nhôm được ngàm vào tường và bị xoắn bởi mômen xoắn T ở đầu tự do. Tìm góc xoắn φ của đầu tự do, theo độ.

T = 200 N·md = 25 mmL = 2 mG = 26 GPa

φ = °

4.Xoắn của trụcKhó

Một trục đặc đồng thau truyền 20 kW ở 300 rpm. Ứng suất cắt không được vượt quá 50 MPa và góc xoắn không được vượt quá 0,5° trên mỗi m chiều dài. Tìm đường kính nhỏ nhất d thỏa mãn cả hai giới hạn.

P = 20 kWN = 300 rpmτ_allow = 50 MPaθ_allow = 0,5°/mG = 39 GPa

d = mm

5.Lực cắt và mômen uốnTrung bình

Dầm đặt trên gối cố định tại A và gối con lăn tại B, và đoạn công-xôn nhô ra khỏi B một đoạn 1,5 m tới đầu tự do C. Dầm chịu một lực tập trung P₁ giữa hai gối và một lực tập trung P₂ tại C. Tìm mô-men uốn M_x dưới tải P₁. Dùng quy ước mô-men làm võng xuống là dương và lực cắt hướng lên trên mặt cắt bên trái là dương.

L = 7,5 mP₁ = 75 kN tại 4,5 mP₂ = 70 kN tại 7,5 mcác gối tại x = 0 và x = 6 m

M_x = kN·m

6.Lực cắt và mômen uốnKhó

Tìm mômen uốn M_x tại mặt cắt x = 0,5 m tính từ gối A. Coi mômen làm dầm võng xuống là dương và lực cắt hướng lên trên mặt trái là dương.

L = 5 mP = 55 kN tại 2,5 mw = 10 kN/m từ 0 đến 5 mx = 0,5 m

M_x = kN·m

7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtTrung bình

Một tấm 100 mm × 200 mm có một lỗ tròn đường kính 30 mm trên đường tâm thẳng đứng, tâm lỗ cách đáy 70 mm. Tìm mômen quán tính diện tích I_x quanh trục nằm ngang đi qua trọng tâm.

b = 100 mmh = 200 mmd = 30 mmtâm lỗ: y = 70 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtKhó

Một tấm 120 mm × 200 mm có một lỗ khoét hình chữ nhật rộng 80 mm và cao 30 mm, đặt giữa đường tâm thẳng đứng với tâm cách đáy 60 mm. Tìm mômen quán tính diện tích I_x quanh trục nằm ngang đi qua trọng tâm.

b = 120 mmh = 200 mmlỗ khoét: 80 × 30 mmtâm lỗ: y = 60 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình

Một điểm có σₓ = 120 MPa, σᵧ = 120 MPa và τₓᵧ = 30 MPa (kéo là dương). Phân tố được xoay 40° ngược chiều kim đồng hồ. Tìm ứng suất pháp σ_y′ trên các mặt của phân tố đã xoay vuông góc với trục y′ sau khi xoay.

σ_x = 120 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = 30 MPaθ = 40°

σ_y′ = MPa

10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó

Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = −60 MPa, σᵧ = 70 MPa và τₓᵧ = −10 MPa (kéo là dương). Tìm ứng suất pháp σ_θ trên một mặt có pháp tuyến xoay 50° ngược chiều kim đồng hồ so với trục x.

σ_x = −60 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = −10 MPaθ = 50°

σ_θ = MPa

11.Độ võng của dầmTrung bình

Một dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w trên toàn bộ nhịp. Tìm góc xoay θ_A của dầm tại gối A, theo radian.

w = 8 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (thép)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.Độ võng của dầmKhó

Một dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w. Độ võng của nó không được vượt quá nhịp/360. Tìm mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt I_req thỏa mãn giới hạn này.

w = 15 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (nhôm)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Mất ổn định cộtTrung bình

Một cột dài L làm bằng nhôm được ngàm ở chân và khớp ở đỉnh. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn P_cr của nó.

L = 4 mE = 70 GPa (nhôm)b × h = 25 × 40 mm

P_cr = kN

14.Mất ổn định cộtKhó

Một cột dài L làm bằng thép được ngàm cả hai đầu. Tìm độ mảnh của nó và ứng suất oằn tới hạn σ_cr theo công thức Euler.

L = 5 mE = 200 GPa (thép)d = 30 mm

σ_cr = MPa

3Dung dịch

1.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: P = 71,4 kN

Hai vật liệu: khi nối tiếp (cái này sau cái kia) mỗi đoạn chịu cùng một lực và các độ giãn dài cộng lại: δ = P·Σ L/(E·A). Khi song song (cạnh nhau giữa các tấm cứng) cả hai phần co lại cùng một lượng, nên biến dạng của chúng bằng nhau: phần cứng hơn nhận phần tải lớn hơn, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, và σ_i = E_i·ε. Một thanh bị giữ giữa hai vách cứng với tải đặt tại chỗ nối là siêu tĩnh: hai đoạn chia tải theo tỉ lệ độ cứng k = EA/L của chúng.

Diện tích

A₁ = 490,9 mm², A₂ = 1963 mm²

Các độ mềm

L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·490,9) = 3,056 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 500/(100000·1963) = 2,546 × 10⁻⁶ mm/N

Tải

P = 0,4/5,602 × 10⁻⁶ = 71400 N = 71,4 kN

Đáp số

P = 71,4 kN

2.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: σ₂ = 64,24 MPa

Các độ cứng

k₁ = 200000·314,2/500 = 125664 N/mm

k₂ = 70000·706,9/300 = 164934 N/mm

Phần của đoạn 2

F₂ = 80000·164934/290597 = 45405 N

Ứng suất

σ₂ = 45405/706,9 = 64,24 MPa (nén)

Đáp số

σ₂ = 64,24 MPa

3.Xoắn của trục

Đáp số: φ = 22,99 °

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τ_max = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen quán tính độc cực của mặt cắt

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Góc xoắn

φ = TL/(GJ) = 200·1000·2000/(26000·38350) = 0,4012 rad

φ = 0,4012·180/π = 22,99°

Đáp số

φ = 22,99°

4.Xoắn của trục

Đáp số: d = 66,07 mm

Mômen xoắn

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 20000/31,42 = 636,6 N·m

Đường kính theo điều kiện bền

T = 636,6 N·m = 636620 N·mm

d_τ = ∛(16·636620/(π·50)) = 40,18 mm

Đường kính theo điều kiện cứng

θ = 0,5·π/180/1000 = 8,727 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

d_φ = (32·636620/(π·39000·8,727 × 10⁻⁶))^1/4 = 66,07 mm

Đường kính quyết định

Cả hai giới hạn đều phải thỏa, nên đường kính lớn hơn quyết định.

d = max(40,18, 66,07) = 66,07 mm

Đáp số

d = 66,07 mm

Ở đây điều kiện cứng quyết định.

5.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: M_x = 5,625 kN·m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt.

Phản lực gối

Cân bằng của toàn bộ dầm. Tải ở đoạn công-xôn cũng gây mô-men đối với A.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 75·4,5 + 70·7,5

R_B = 862,5/6 = 143,8 kN

ΣF_y = 0: R_A = 145 − 143,8 = 1,25 kN

Cắt dưới P₁ và giữ phần bên trái

M_x = R_A·4,5 = 1,25·4,5 = 5,625 kN·m

Đáp số

M_x = 5,625 kN·m

6.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: M_x = 25 kN·m

Phản lực gối

Cân bằng của cả dầm.

Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 10·5 = 50 kN, đặt tại x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 55·2,5 + 10·5·2,5

R_B = 262,5/5 = 52,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 105 − 52,5 = 52,5 kN

Cắt tại x = 0,5 m và giữ phần bên trái

Chỉ các lực bên trái mặt cắt xuất hiện. Phần tải phân bố đều được thay bằng một lực đặt tại giữa phần đó.

M = R_A·x − (mỗi tải bên trái mặt cắt × cánh tay đòn đến mặt cắt)

M_x = 52,5·0,5 − 10·0,5·0,25 = 25 kN·m

Đáp số

M_x = 25 kN·m

7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: I_x = 65,97 × 10⁶ mm⁴

Tiết diện có lỗ: coi lỗ là một diện tích âm. Trọng tâm là ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), với A₁, y₁ cho tấm đầy đủ và A₂, y₂ cho lỗ. Với mômen quán tính diện tích quanh trục đi qua trọng tâm, dùng định lý trục song song cho từng phần rồi trừ lỗ: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm riêng của mỗi phần đến trục đi qua ȳ. Hình chữ nhật có I_c = bh³/12 và hình tròn có I_c = πd⁴/64.

Trọng tâm

ȳ = (20000·100 − 706,9·70)/(20000 − 706,9) = 101,1 mm

Tấm đầy đủ quanh ȳ

100·200³/12 + 20000·−1,099² = 66,69 × 10⁶ mm⁴

Lỗ quanh ȳ

π·30⁴/64 + 706,9·−31,1² = 0,7234 × 10⁶ mm⁴

Trừ

I_x = 65,97 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

I_x = 65,97 × 10⁶ mm⁴

8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: I_x = 75,55 × 10⁶ mm⁴

Trọng tâm

ȳ = (24000·100 − 2400·60)/(24000 − 2400) = 104,4 mm

Tấm đầy đủ quanh ȳ

120·200³/12 + 24000·−4,444² = 80,47 × 10⁶ mm⁴

Lỗ quanh ȳ

80·30³/12 + 2400·−44,44² = 4,921 × 10⁶ mm⁴

Trừ

I_x = 75,55 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

I_x = 75,55 × 10⁶ mm⁴

9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: σ_y′ = 90,46 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

Phương trình biến đổi cho mặt y′

σ_y′ = 120 − 0·0,1736 − 30·0,9848 = 90,46 MPa

Kiểm tra

Tổng các ứng suất pháp không thay đổi khi xoay.

σ_x′ = 149,5 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 240 = σ_x + σ_y

Đáp số

σ_y′ = 90,46 MPa

10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: σ_θ = 6,439 MPa

Phương trình biến đổi

σ_θ = 5 + −65·−0,1736 + −10·0,9848 = 6,439 MPa

Đáp số

σ_θ = 6,439 MPa

11.Độ võng của dầm

Đáp số: θ_A = 0,02451 rad

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng). Góc xoay θ = dv/dx là tích phân bậc một của M/(EI); với các đơn vị nhất quán, nó có đơn vị radian.

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

w = 8 N/mm, L = 5000 mm

EI = 1,7 × 10¹² N·mm²

Góc xoay ở đầu

θ_A = wL³/(24EI) = 8·5000³/(24·1,7 × 10¹²) = 0,02451 rad

Đáp số

θ_A = 0,02451 rad

Đó là 1,404°.

12.Độ võng của dầm

Đáp số: I_req = 27,12 × 10⁶ mm⁴

Giới hạn độ võng

δ_allow = L/360 = 3000/360 = 8,333 mm

Mômen quán tính mặt cắt yêu cầu

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·15·3000⁴/(384·70000·8,333) = 2,712 × 10⁷ mm⁴

I_req = 27,12 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

I_req = 27,12 × 10⁶ mm⁴

13.Mất ổn định cột

Đáp số: P_cr = 4,59 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại P_cr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Hình chữ nhật oằn quanh trục yếu, dùng kích thước nhỏ hơn lập phương.

I_min = h·b³/12 = 40·25³/12 = 52083 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

Tải trọng tới hạn

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·52083/2800² = 4590 N = 4,59 kN

Đáp số

P_cr = 4,59 kN

14.Mất ổn định cột

Đáp số: σ_cr = 17,77 MPa

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Bán kính quán tính và độ mảnh

A = 706,9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

KL/r = 2500/7,5 = 333,3

Ứng suất tới hạn

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/333,3² = 17,77 MPa

Đáp số

σ_cr = 17,77 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials

Sức bền vật liệu: gói ôn nước rút

1Công thức và phương pháp

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Xoắn của trục

Phương pháp

Lực cắt và mômen uốn

Phương pháp

Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Phương pháp

Độ võng của dầm

Mất ổn định cột

2Bài tập

3Dung dịch

Diện tích

Các độ mềm

Tải

Đáp số

Các độ cứng

Phần của đoạn 2

Ứng suất

Đáp số

Mômen quán tính độc cực của mặt cắt

Góc xoắn

Đáp số

Mômen xoắn

Đường kính theo điều kiện bền

Đường kính theo điều kiện cứng

Đường kính quyết định

Đáp số

Phản lực gối

Cắt dưới P1 và giữ phần bên trái

Đáp số

Phản lực gối

Cắt tại x = 0,5 m và giữ phần bên trái

Đáp số

Trọng tâm

Tấm đầy đủ quanh ȳ

Lỗ quanh ȳ

Trừ

Đáp số

Trọng tâm

Tấm đầy đủ quanh ȳ

Lỗ quanh ȳ

Trừ

Đáp số

Phương trình biến đổi cho mặt y′

Kiểm tra

Đáp số

Phương trình biến đổi

Đáp số

Đơn vị nhất quán

Góc xoay ở đầu

Đáp số

Giới hạn độ võng

Mômen quán tính mặt cắt yêu cầu

Đáp số

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Chiều dài tính toán

Tải trọng tới hạn

Đáp số

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Bán kính quán tính và độ mảnh

Ứng suất tới hạn

Đáp số

Cắt dưới P₁ và giữ phần bên trái