Sức bền vật liệu: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 14 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp: σ = F/A
Biến dạng: ε = ΔL/L
Định luật Hooke: σ = E·ε
Độ giãn dài: ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt: ε_T = α·ΔT

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp: τ = T·r/J
Trục đặc: J = πd⁴/32
Trục rỗng: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn: φ = TL/(GJ)
Công suất: P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lực cắt và mômen uốn

Lực cắt và mômen: V = ΣF ở một phía, M = ΣF·d ở một phía
Ứng suất uốn: σ = M·y/I
Hình chữ nhật: I = bh³/12
Mômen chống uốn của mặt cắt: W = I/y_max
Dầm đơn giản, tải phân bố đều: M_max = wL²/8

Phương pháp

Tìm phản lực gối từ cân bằng của cả dầm.
Cắt dầm tại mặt cắt bạn cần và giữ lại một phía.
Lực cắt: tổng các lực thẳng đứng ở phía đó. Mômen uốn: tổng mômen của chúng quanh mặt cắt.
Để tìm mômen lớn nhất, hãy tìm nơi lực cắt bằng không.

Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Trọng tâm: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Hình chữ nhật: I = bh³/12
Định lý trục song song: I = I_c + A·d²
Mặt cắt ghép: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm: C = (σ_x + σ_y)/2
Bán kính: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Ứng suất chính: σ_1,2 = C ± R
Phương chính: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Mặt phẳng nghiêng: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Phương pháp

Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Độ võng của dầm

Tải tập trung ở giữa nhịp: δ = PL³/(48EI)
Tải phân bố đều, dầm đơn giản: δ = 5wL⁴/(384EI)
Công xôn, tải ở đầu: δ = PL³/(3EI)
Công xôn, tải phân bố đều: δ = wL⁴/(8EI)
Nguyên lý xếp chồng: δ = δ₁ + δ₂

Mất ổn định cột

Tải Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán: K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn: σ_cr = P_cr/A
Độ mảnh: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Bài tập

1.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình

Tìm độ giãn dài δ của thanh đồng thau dưới tải trọng dọc trục.

P = 65 kNd = 30 mmL = 0,5 mE = 100 GPa

δ = mm

2.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó

Một thanh thép (đường kính 25 mm, E = 200 GPa, ứng suất cho phép 150 MPa) nằm trong một ống làm bằng đồng (đường kính ngoài 80 mm, đường kính trong 50 mm, E = 120 GPa, ứng suất cho phép 70 MPa). Chúng bị nén cùng nhau giữa các tấm cứng. Tìm tải lớn nhất P_max.

thanh: Ø25 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 150 MPaống: Ø80/Ø50 mm, E = 120 GPa, σ_allow = 70 MPa

P_max = kN

3.Xoắn của trụcTrung bình

Một trục đồng thau đặc dài 1,5 m chịu mô-men xoắn 1500 N·m. Góc xoắn giữa hai đầu không được vượt quá 1°. Tìm đường kính nhỏ nhất d đáp ứng giới hạn này.

T = 1500 N·mL = 1,5 mG = 39 GPaφ_allow = 1°

d = mm

4.Xoắn của trụcKhó

Một trục đặc thép đường kính 30 mm được ngàm tại A. Một mô-men xoắn 500 N·m tác dụng tại B, cách A 2 m, và một mô-men xoắn 400 N·m ngược chiều tác dụng tại đầu tự do C, cách thêm 1,2 m. Tìm độ lớn của góc xoắn φ_C của đầu C, theo độ.

d = 30 mmT_B = 500 N·mT_C = 400 N·mAB = 2 mBC = 1,2 mG = 80 GPa

φ_C = °

5.Lực cắt và mômen uốnTrung bình

Tìm lực cắt V_x tại mặt cắt x = 4 m tính từ gối A. Coi mômen làm dầm võng xuống là dương và lực cắt hướng lên trên mặt trái là dương.

L = 6 mw = 10 kN/m từ 0 đến 6 mx = 4 m

V_x = kN

6.Lực cắt và mômen uốnKhó

Các điểm đánh dấu từ A đến G chia dầm thành sáu phần bằng nhau. Tại điểm nào mômen uốn có độ lớn lớn nhất, dù võng hay vồng? Nhấp vào nó trong sơ đồ.

55 kN @ 0 m60 kN @ 6 m15 kN @ 2 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtTrung bình

Tìm mômen quán tính I_x của mặt cắt chữ T đối với trục ngang x đi qua trọng tâm.

b_f = 300 mmt_f = 20 mmt_w = 8 mmh_w = 260 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtKhó

Mặt cắt chữ T được dùng làm dầm với cánh ở trên và chịu mômen uốn làm võng xuống 15 kN·m. Tìm ứng suất uốn σ_dưới ở mép dưới.

b_f = 200 mmt_f = 10 mmt_w = 16 mmh_w = 100 mmM = 15 kN·m

σ_dưới = MPa

9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình

Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = 10 MPa, σᵧ = −50 MPa và τₓᵧ = 60 MPa (kéo là dương). Tìm góc θ_p từ trục x đến phương của ứng suất chính lớn nhất, trong khoảng −90° đến 90°.

σ_x = 10 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = 60 MPa

θ_p = °

10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó

Một trục đặc đường kính 40 mm chịu một mô-men uốn 300 N·m cùng với mô-men xoắn 200 N·m. Tại bề mặt trên, nơi ứng suất uốn là kéo và lớn nhất, hãy tìm ứng suất chính lớn nhất σ₁.

d = 40 mmM = 300 N·mT = 200 N·m

σ₁ = MPa

11.Độ võng của dầmTrung bình

Một dầm công xôn chịu tải phân bố đều w trên toàn chiều dài. Tìm độ võng δ tại đầu tự do.

w = 20 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (thép)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Độ võng của dầmKhó

Một dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w và một tải tập trung P ở giữa nhịp. Dùng nguyên lý xếp chồng, tìm độ võng giữa nhịp δ_max.

P = 15 kNw = 5 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (thép)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Mất ổn định cộtTrung bình

Một cột dài L làm bằng thép được ngàm cả hai đầu. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn P_cr của nó.

L = 5 mE = 200 GPa (thép)d = 25 mm

P_cr = kN

14.Mất ổn định cộtKhó

Một cột dài L làm bằng thép được ngàm ở chân và tự do ở đỉnh. Tìm độ mảnh của nó và ứng suất oằn tới hạn σ_cr theo công thức Euler.

L = 4 mE = 200 GPa (thép)d = 40 mm

σ_cr = MPa

3Dung dịch

1.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: δ = 0,4598 mm

Định luật Hooke: trong giới hạn đàn hồi σ = E·ε. Kết hợp với σ = P/A và ε = δ/L ta được δ = PL/(AE).

Ứng suất

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 65·1000/706,9 = 91,96 MPa

Biến dạng (định luật Hooke)

E for đồng thau = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 91,96/100000 = 0,0009196 = 919,6 µε

Độ giãn dài

δ = ε·L = 0,0009196·500 mm = 0,4598 mm

Đáp số

δ = 0,4598 mm

2.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: P_max = 271,7 kN

Hai vật liệu: khi nối tiếp (cái này sau cái kia) mỗi đoạn chịu cùng một lực và các độ giãn dài cộng lại: δ = P·Σ L/(E·A). Khi song song (cạnh nhau giữa các tấm cứng) cả hai phần co lại cùng một lượng, nên biến dạng của chúng bằng nhau: phần cứng hơn nhận phần tải lớn hơn, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, và σ_i = E_i·ε. Một thanh bị giữ giữa hai vách cứng với tải đặt tại chỗ nối là siêu tĩnh: hai đoạn chia tải theo tỉ lệ độ cứng k = EA/L của chúng.

Diện tích

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²

Độ cứng dọc trục kết hợp

ΣEA = 200·10³·490,9 + 120·10³·3063 = 4,657 × 10⁸ N

Biến dạng quyết định

ε = min(0,00075, 0,0005833) = 0,0005833 (đồng)

Tải lớn nhất

P_max = 0,0005833·4,657 × 10⁸ = 271682 N = 271,7 kN

Đáp số

P_max = 271,7 kN

3.Xoắn của trục

Đáp số: d = 76,17 mm

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τ_max = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mô-men quán tính độc cực cần thiết

T = 1500 N·m = 1,5 × 10⁶ N·mm

L = 1,5 m = 1500 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = 1·π/180 = 0,01745 rad

J = TL/(Gφ) = 1,5 × 10⁶·1500/(39000·0,01745) = 3,306 × 10⁶ mm⁴

Đường kính

d = (32J/π)^1/4 = 76,17 mm

Đáp số

d = 76,17 mm

Trong thực tế bạn sẽ làm tròn lên kích thước tiêu chuẩn kế tiếp.

4.Xoắn của trục

Đáp số: φ_C = 2,522 °

Các mô-men xoắn nội lực

Chiều của T_C được lấy là dương.

T_BC = T_C = 400 N·m

T_AB = T_C − T_B = 400 − 500 = −100 N·m

Góc xoắn của từng đoạn

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_AB = −100000·2000/(80000·79522) = −0,03144 rad

φ_BC = 400000·1200/(80000·79522) = 0,07545 rad

Góc xoắn của đầu C

φ_C = −0,03144 + 0,07545 = 0,04401 rad → |φ_C| = 2,522°

Đáp số

φ_C = 2,522°

5.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: V_x = −10 kN

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt.

Phản lực gối

Cân bằng của cả dầm.

Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 10·6 = 60 kN, đặt tại x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 10·6·3

R_B = 180/6 = 30 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 30 = 30 kN

Cắt tại x = 4 m và giữ phần bên trái

Chỉ các lực bên trái mặt cắt xuất hiện. Phần tải phân bố đều được thay bằng một lực đặt tại giữa phần đó.

V = R_A − (mọi tải hướng xuống bên trái mặt cắt)

V_x = 30 − 10·4 = −10 kN

Đáp số

V_x = −10 kN

6.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: F (x = 5 m)

Mômen uốn lớn nhất: M đổi độ dốc ở bất cứ chỗ nào lực cắt thay đổi, nên các đỉnh của nó nằm nơi lực cắt đi qua không: dưới một tải tập trung, bên trong một tải phân bố, hoặc trên một gối của phần công-xon. Tại ngàm của dầm công-xon, mômen lớn nhất ở chân tường. So sánh độ lớn của M tại những chỗ đó, dù là mômen làm võng hay làm vồng.

Phản lực gối

Lấy mômen quanh một gối tựa, rồi dùng cân bằng lực thẳng đứng.

R₁ = 65 kN, R₂ = 65 kN

Mômen uốn tại mỗi điểm đánh dấu

Cộng các mômen của mọi lực ở một phía của mặt cắt. Võng là dương, vồng là âm.

M_A = 0, M_B = −55, M_C = −45, M_D = −50, M_E = −55, M_F = −60 kN·m, M_G = 0

Đáp số

Điểm đánh dấu F: M_F = −60 kN·m

7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: I_x = 42,19 × 10⁶ mm⁴

Diện tích ghép: chia mặt cắt thành các hình chữ nhật. Trọng tâm là trung bình có trọng số theo diện tích ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Mômen quán tính của mặt cắt đối với trục đi qua trọng tâm bằng tổng bh³/12 của từng phần và số hạng trục song song A·d², trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm của phần đó đến trọng tâm chung. Ứng suất uốn là σ = M·y/I.

Chia thành hai hình chữ nhật

Đo mọi y từ mép dưới.

cánh: A_f = 300·20 = 6000 mm², y_f = 260 + 20/2 = 270 mm

bụng: A_w = 8·260 = 2080 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

Trọng tâm

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (6000·270 + 2080·130)/8080 = 234 mm

Định lý trục song song

cánh: 300·20³/12 + 6000·(270 − 234)² = 7,993 × 10⁶ mm⁴

bụng: 8·260³/12 + 2080·(130 − 234)² = 3,42 × 10⁷ mm⁴

I_x = 7,993 × 10⁶ + 3,42 × 10⁷ = 4,219 × 10⁷ mm⁴ = 42,19 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

I_x = 42,19 × 10⁶ mm⁴

8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: σ_dưới = 299,2 MPa

Chia thành hai hình chữ nhật

Đo mọi y từ mép dưới.

cánh: A_f = 200·10 = 2000 mm², y_f = 100 + 10/2 = 105 mm

bụng: A_w = 16·100 = 1600 mm², y_w = 100/2 = 50 mm

Trọng tâm

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2000·105 + 1600·50)/3600 = 80,56 mm

Định lý trục song song

cánh: 200·10³/12 + 2000·(105 − 80,56)² = 1,212 × 10⁶ mm⁴

bụng: 16·100³/12 + 1600·(50 − 80,56)² = 2,827 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1,212 × 10⁶ + 2,827 × 10⁶ = 4,039 × 10⁶ mm⁴

Ứng suất uốn

Mép dưới cách trục ȳ.

y = 80,56 mm

σ = M·y/I = 1,5 × 10⁷·80,56/4,039 × 10⁶ = 299,2 MPa

Đáp số

σ_dưới = 299,2 MPa

9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: θ_p = 31,72 °

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

Góc trên vòng tròn

Điểm x nằm ở góc 2θp so với trục σ trên vòng tròn Mohr; góc phần tư suy ra từ dấu của σₓ − σᵧ và τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·60, 10 − −50) = 63,43°

Góc trên phần tử

θ_p = 31,72°

Đáp số

θ_p = 31,72°

Góc dương là ngược chiều kim đồng hồ.

10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: σ₁ = 52,57 MPa

Các ứng suất tại bề mặt

σ = 32M/(πd³) = 32·300000/(π·40³) = 47,75 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·200000/(π·40³) = 15,92 MPa

Vòng tròn Mohr

C = σ/2 = 23,87 MPa

R = √(23,87² + 15,92²) = 28,69 MPa

σ₁ = C + R = 52,57 MPa

σ₂ = C − R = −4,819 MPa

Đáp số

σ₁ = 52,57 MPa

11.Độ võng của dầm

Đáp số: δ = 48,83 mm

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

w = 20 N/mm, L = 5000 mm

EI = 3,2 × 10¹³ N·mm²

Độ võng

δ = wL⁴/(8EI) = 20·5000⁴/(8·3,2 × 10¹³) = 48,83 mm

Đáp số

δ = 48,83 mm

12.Độ võng của dầm

Đáp số: δ_max = 33,02 mm

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

P = 15000 N, w = 5 N/mm, L = 6000 mm, EI = 4,6 × 10¹² N·mm²

Từng tải riêng rẽ

δ_P = PL³/(48EI) = 15000·6000³/(48·4,6 × 10¹²) = 14,67 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·6000⁴/(384·4,6 × 10¹²) = 18,34 mm

Cộng lại

δ_max = 14,67 + 18,34 = 33,02 mm

Đáp số

δ_max = 33,02 mm

13.Mất ổn định cột

Đáp số: P_cr = 6,056 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại P_cr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Tải trọng tới hạn

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/2500² = 6056 N = 6,056 kN

Đáp số

P_cr = 6,056 kN

14.Mất ổn định cột

Đáp số: σ_cr = 3,084 MPa

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Bán kính quán tính và độ mảnh

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 2·4000 = 8000 mm

KL/r = 8000/10 = 800

Ứng suất tới hạn

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/800² = 3,084 MPa

Đáp số

σ_cr = 3,084 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials