Sức bền vật liệu: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 14 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp
σ = F/A
Biến dạng
ε = ΔL/L
Định luật Hooke
σ = E·ε
Độ giãn dài
ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt
εT = α·ΔT

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp
τ = T·r/J
Trục đặc
J = πd⁴/32
Trục rỗng
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn
φ = TL/(GJ)
Công suất
P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

  1. Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
  2. Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
  3. Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
  4. Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lực cắt và mômen uốn

Lực cắt và mômen
V = ΣF ở một phía, M = ΣF·d ở một phía
Ứng suất uốn
σ = M·y/I
Hình chữ nhật
I = bh³/12
Mômen chống uốn của mặt cắt
W = I/ymax
Dầm đơn giản, tải phân bố đều
Mmax = wL²/8

Phương pháp

  1. Tìm phản lực gối từ cân bằng của cả dầm.
  2. Cắt dầm tại mặt cắt bạn cần và giữ lại một phía.
  3. Lực cắt: tổng các lực thẳng đứng ở phía đó. Mômen uốn: tổng mômen của chúng quanh mặt cắt.
  4. Để tìm mômen lớn nhất, hãy tìm nơi lực cắt bằng không.

Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Trọng tâm
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Hình chữ nhật
I = bh³/12
Định lý trục song song
I = Ic + A·d²
Mặt cắt ghép
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm
C = (σx + σy)/2
Bán kính
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Ứng suất chính
σ1,2 = C ± R
Phương chính
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Mặt phẳng nghiêng
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Phương pháp

  1. Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
  4. Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Độ võng của dầm

Tải tập trung ở giữa nhịp
δ = PL³/(48EI)
Tải phân bố đều, dầm đơn giản
δ = 5wL⁴/(384EI)
Công xôn, tải ở đầu
δ = PL³/(3EI)
Công xôn, tải phân bố đều
δ = wL⁴/(8EI)
Nguyên lý xếp chồng
δ = δ1 + δ2

Mất ổn định cột

Tải Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán
K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn
σcr = Pcr/A
Độ mảnh
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Bài tập

1.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình
P = ?12300 mm200 mmØ30Ø30δ = 0,3 mm

Một thanh gồm một đoạn thép (đường kính 30 mm, chiều dài 300 mm, E = 200 GPa) nối đầu với đầu với một đoạn làm bằng nhôm (đường kính 30 mm, chiều dài 200 mm, E = 70 GPa). Nó được ngàm một đầu và bị kéo ở đầu kia. Tìm tải dọc trục P làm nó giãn tổng cộng 0,3 mm.

đoạn 1: thép, Ø30 mm, 300 mm, E = 200 GPađoạn 2: nhôm, Ø30 mm, 200 mm, E = 70 GPaδ = 0,3 mm
P = kN
2.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó
60 kN12600 mm500 mmØ30Ø40σ2​ = ?

Một đoạn thép (đường kính 30 mm, chiều dài 600 mm, E = 200 GPa) và một đoạn làm bằng đồng (đường kính 40 mm, chiều dài 500 mm, E = 120 GPa) được nối đầu với đầu và ngàm giữa hai vách cứng. Một tải dọc trục 60 kN tác dụng tại chỗ nối, hướng về phía đoạn 2. Tìm độ lớn ứng suất σ2 trong đoạn 2.

đoạn 1: thép, Ø30 mm, 600 mm, E = 200 GPađoạn 2: đồng, Ø40 mm, 500 mm, E = 120 GPaP = 60 kN
σ2 = MPa
3.Xoắn của trụcTrung bình
T = 750 N·md = 40 mmL = 1,2 mφ = ?

Một trục đặc nhôm được ngàm vào tường và bị xoắn bởi mômen xoắn T ở đầu tự do. Tìm góc xoắn φ của đầu tự do, theo độ.

T = 750 N·md = 40 mmL = 1,2 mG = 26 GPa
φ = °
4.Xoắn của trụcKhó
d = 50 mmT0​ = 2000 N·mACBa = 1,5 mb = 2 m

Một trục đặc đồng thau đường kính 50 mm được ngàm vào các tường cứng ở cả hai đầu A và B. Một mô-men xoắn 2000 N·m đặt tại C, cách A 1,5 m và cách B 2 m. Tìm mô-men phản lực TA tại tường A.

d = 50 mmT0 = 2000 N·ma = 1,5 mb = 2 m
TA = N·m
5.Lực cắt và mômen uốnTrung bình
w = 6 kN/mABmặt cắt3,5 m2,5 m

Tìm mômen uốn Mx tại mặt cắt x = 3,5 m tính từ gối A. Coi mômen làm dầm võng xuống là dương và lực cắt hướng lên trên mặt trái là dương.

L = 6 mw = 6 kN/m từ 0 đến 6 mx = 3,5 m
Mx = kN·m
6.Lực cắt và mômen uốnKhó
w = 3 kN/mABC8 m2,5 m

Dầm đặt trên gối cố định tại A và gối con lăn tại B, và đoạn công-xôn nhô ra khỏi B một đoạn 2,5 m tới đầu tự do C. Tải phân bố đều w tác dụng trên toàn bộ chiều dài A–C. Tìm mô-men uốn võng xuống lớn nhất Mmax giữa hai gối.

L = 10,5 mw = 3 kN/m từ 0 đến 10,5 mcác gối tại x = 0 và x = 8 m
Mmax = kN·m
7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtTrung bình
xD = 190d = 174kích thước tính bằng mm

Một ống tròn có đường kính ngoài D = 190 mm và đường kính trong d = 174 mm. Tìm bán kính quán tính r của nó đối với trục nằm ngang qua trọng tâm.

D = 190 mmd = 174 mm
r = mm
8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtKhó
120 mm300 mm180 mm60 × 30xIx​ = ?

Một tấm 120 mm × 300 mm có một lỗ khoét hình chữ nhật rộng 60 mm và cao 30 mm, đặt giữa đường tâm thẳng đứng với tâm cách đáy 180 mm. Tìm mômen quán tính diện tích Ix quanh trục nằm ngang đi qua trọng tâm.

b = 120 mmh = 300 mmlỗ khoét: 60 × 30 mmtâm lỗ: y = 180 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình
σx​ = −40σy​ = 70τxy​ = 10MPa

Một điểm có σₓ = −40 MPa, σᵧ = 70 MPa và τₓᵧ = 10 MPa (kéo là dương). Tìm góc θs, trong khoảng từ −90° đến 90°, từ trục x đến pháp tuyến của mặt có ứng suất cắt đạt giá trị dương lớn nhất +R (ứng suất cắt dương cùng chiều với τₓᵧ).

σx = −40 MPaσy = 70 MPaτxy = 10 MPa
θs = °
10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó
σx​ = −60σy​ = 90τxy​ = 30MPa

Một điểm trong một tấm mỏng ở trạng thái ứng suất phẳng: σₓ = −60 MPa, σᵧ = 90 MPa và τₓᵧ = 30 MPa (σz = 0). Vật liệu có giới hạn chảy 350 MPa. Tìm hệ số an toàn n chống chảy theo tiêu chuẩn Tresca (ứng suất cắt lớn nhất).

σx = −60 MPaσy = 90 MPaτxy = 30 MPaσY = 350 MPa
n =
11.Độ võng của dầmTrung bình
w = 15 kN/mδL = 3 m

Một dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w trên toàn nhịp. Tìm độ võng lớn nhất δmax, tại giữa nhịp.

w = 15 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (thép)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.Độ võng của dầmKhó
w = 10 kN/mP = 3 kNδL = 3 m

Một dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w và một tải tập trung P ở giữa nhịp. Dùng nguyên lý xếp chồng, tìm độ võng giữa nhịp δmax.

P = 3 kNw = 10 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (thép)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.Mất ổn định cộtTrung bình
PL = 2 m30 × 40 mmmặt cắt ngang

Một cột dài L làm bằng thép được ngàm ở chân và khớp ở đỉnh. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn Pcr của nó.

L = 2 mE = 200 GPa (thép)b × h = 30 × 40 mm
Pcr = kN
14.Mất ổn định cộtKhó
PL = 6 md = 50 mmmặt cắt ngang

Một cột dài L làm bằng thép được ngàm cả hai đầu. Tìm độ mảnh của nó và ứng suất oằn tới hạn σcr theo công thức Euler.

L = 6 mE = 200 GPa (thép)d = 50 mm
σcr = MPa

3Dung dịch

1.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: P = 48,67 kN

Hai vật liệu: khi nối tiếp (cái này sau cái kia) mỗi đoạn chịu cùng một lực và các độ giãn dài cộng lại: δ = P·Σ L/(E·A). Khi song song (cạnh nhau giữa các tấm cứng) cả hai phần co lại cùng một lượng, nên biến dạng của chúng bằng nhau: phần cứng hơn nhận phần tải lớn hơn, Pi = P·EiAi/ΣEA, và σi = Ei·ε. Một thanh bị giữ giữa hai vách cứng với tải đặt tại chỗ nối là siêu tĩnh: hai đoạn chia tải theo tỉ lệ độ cứng k = EA/L của chúng.

Diện tích

A₁ = 706,9 mm², A₂ = 706,9 mm²

Các độ mềm

L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·706,9) = 2,122 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 200/(70000·706,9) = 4,042 × 10⁻⁶ mm/N

Tải

P = 0,3/6,164 × 10⁻⁶ = 48669 N = 48,67 kN

Đáp số

P = 48,67 kN
2.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: σ2 = 26,81 MPa

Hai vật liệu: khi nối tiếp (cái này sau cái kia) mỗi đoạn chịu cùng một lực và các độ giãn dài cộng lại: δ = P·Σ L/(E·A). Khi song song (cạnh nhau giữa các tấm cứng) cả hai phần co lại cùng một lượng, nên biến dạng của chúng bằng nhau: phần cứng hơn nhận phần tải lớn hơn, Pi = P·EiAi/ΣEA, và σi = Ei·ε. Một thanh bị giữ giữa hai vách cứng với tải đặt tại chỗ nối là siêu tĩnh: hai đoạn chia tải theo tỉ lệ độ cứng k = EA/L của chúng.

Các độ cứng

k₁ = 200000·706,9/600 = 235619 N/mm
k₂ = 120000·1257/500 = 301593 N/mm

Phần của đoạn 2

F2 = 60000·301593/537212 = 33684 N

Ứng suất

σ2 = 33684/1257 = 26,81 MPa (nén)

Đáp số

σ2 = 26,81 MPa
3.Xoắn của trục

Đáp số: φ = 7,891 °

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen quán tính độc cực của mặt cắt

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Góc xoắn

φ = TL/(GJ) = 750·1000·1200/(26000·251327) = 0,1377 rad
φ = 0,1377·180/π = 7,891°

Đáp số

φ = 7,891°
4.Xoắn của trục

Đáp số: TA = 1143 N·m

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω. Khi cả hai đầu bị ngàm, tĩnh học chỉ cho TA + TB = T₀; phương trình thứ hai là điều kiện tương thích (góc xoắn của hai phần bằng nhau tại tiết diện chịu tải).

Cân bằng và tương thích

TA + TB = 2000
TA·a = TB·b
TA = 2000·2/3,5 = 1143 N·m
TB = 2000·1,5/3,5 = 857,1 N·m

Đáp số

TA = 1143 N·m
5.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: Mx = 26,25 kN·m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt.

Phản lực gối

Cân bằng của cả dầm.

Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 6·6 = 36 kN, đặt tại x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 6·6·3
RB = 108/6 = 18 kN
ΣFy = 0: RA = 36 − 18 = 18 kN
w = 6 kN/mABRA​ = 18RB​ = 18mặt cắt3,5 m2,5 m

Cắt tại x = 3,5 m và giữ phần bên trái

Chỉ các lực bên trái mặt cắt xuất hiện. Phần tải phân bố đều được thay bằng một lực đặt tại giữa phần đó.

M = RA·x − (mỗi tải bên trái mặt cắt × cánh tay đòn đến mặt cắt)
Mx = 18·3,5 − 6·3,5·1,75 = 26,25 kN·m

Đáp số

Mx = 26,25 kN·m
6.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: Mmax = 19,54 kN·m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt. Mô-men lớn nhất: vì dM/dx = V, mô-men uốn đạt cực trị tại nơi lực cắt đi qua không, hoặc tại một lực tập trung hoặc bên trong một tải phân bố.

Phản lực gối

Cân bằng của toàn bộ dầm, kể cả tải trên đoạn công-xôn.

Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 3·10,5 = 31,5 kN, đặt tại x̄ = 5,25 m
ΣMA = 0: RB·8 = 3·10,5·5,25
RB = 165,4/8 = 20,67 kN
ΣFy = 0: RA = 31,5 − 20,67 = 10,83 kN

Lực cắt bằng không

RA − w·x0 = 0 → x0 = 10,83/3 = 3,609 m

Mô-men võng xuống lớn nhất

Mmax = RA·x0 − w·x0²/2 = RA²/(2w) = 10,83²/(2·3) = 19,54 kN·m

Đáp số

Mmax = 19,54 kN·m
7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: r = 64,41 mm

Mô-men quán tính của tiết diện: với hình chữ nhật đối với trục qua trọng tâm của nó I = bh³/12, và đối với trục đáy bh³/3 (định lý trục song song I = Ic + A·d²). Lỗ rỗng được xử lý bằng cách trừ đi I của nó, miễn là cả hai phần có chung một trục. Mô-đun chống uốn đàn hồi là S = I/c, với c là khoảng cách đến thớ ngoài cùng. Bán kính quán tính r = √(I/A) là khoảng cách mà tại đó toàn bộ diện tích cho cùng giá trị I; nó được dùng trong bài toán mất ổn định của cột.

Diện tích thực và mô-men quán tính

A = π(D² − d²)/4 = 4574 mm²
I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 1,898 × 10⁷ mm⁴

Bán kính quán tính

r = √(I/A) = √(1,898 × 10⁷/4574) = 64,41 mm

Đáp số

r = 64,41 mm
8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: Ix = 268,2 × 10⁶ mm⁴

Tiết diện có lỗ: coi lỗ là một diện tích âm. Trọng tâm là ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), với A₁, y₁ cho tấm đầy đủ và A₂, y₂ cho lỗ. Với mômen quán tính diện tích quanh trục đi qua trọng tâm, dùng định lý trục song song cho từng phần rồi trừ lỗ: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm riêng của mỗi phần đến trục đi qua ȳ. Hình chữ nhật có Ic = bh³/12 và hình tròn có Ic = πd⁴/64.

Trọng tâm

ȳ = (36000·150 − 1800·180)/(36000 − 1800) = 148,4 mm

Tấm đầy đủ quanh ȳ

120·300³/12 + 36000·1,579² = 270,1 × 10⁶ mm⁴

Lỗ quanh ȳ

60·30³/12 + 1800·31,58² = 1,93 × 10⁶ mm⁴

Trừ

Ix = 268,2 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

Ix = 268,2 × 10⁶ mm⁴
9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: θs = 39,85 °

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

στxyCτmax​

Góc trên vòng tròn

Trên vòng tròn Mohr, điểm trên cùng (+R) lệch 90° so với điểm chính σ₁; trên phân tố đó là 45°.

cos 2θs = 10/55,9 = 0,1789, sin 2θs = −(−55)/55,9 = 0,9839
2θs = atan2(55, 10) = 79,7°

Góc trên phần tử

θs = 39,85°
kiểm tra: θs − θp = 39,85 − 84,85 = −45°

Đáp số

θs = 39,85°

Góc dương là ngược chiều kim đồng hồ.

10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: n = 2,166

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R. Tiêu chuẩn chảy: von Mises dự đoán vật liệu chảy khi σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) đạt σY; Tresca khi ứng suất cắt lớn nhất tuyệt đối đạt σY/2.

στxyCσ1​σ2​

Ứng suất chính

C = 15 MPa, R = 80,78 MPa
σ1 = 95,78 MPa, σ2 = −65,78 MPa, σ3 = 0

Tresca

σmax − σmin = 161,6 MPa
n = 350/161,6 = 2,166

Đáp số

n = 2,166

n > 1 nghĩa là điểm không bị chảy; Tresca thận trọng hơn von Mises một chút.

11.Độ võng của dầm

Đáp số: δmax = 9,306 mm

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

w = 15 N/mm, L = 3000 mm
EI = 1,7 × 10¹² N·mm²

Độ võng

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·3000⁴/(384·1,7 × 10¹²) = 9,306 mm

Đáp số

δmax = 9,306 mm
12.Độ võng của dầm

Đáp số: δmax = 7,197 mm

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

P = 3000 N, w = 10 N/mm, L = 3000 mm, EI = 1,7 × 10¹² N·mm²

Từng tải riêng rẽ

δP = PL³/(48EI) = 3000·3000³/(48·1,7 × 10¹²) = 0,9926 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·10·3000⁴/(384·1,7 × 10¹²) = 6,204 mm

Cộng lại

δmax = 0,9926 + 6,204 = 7,197 mm

Đáp số

δmax = 7,197 mm
13.Mất ổn định cột

Đáp số: Pcr = 90,64 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Hình chữ nhật oằn quanh trục yếu, dùng kích thước nhỏ hơn lập phương.

Imin = h·b³/12 = 40·30³/12 = 90000 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Tải trọng tới hạn

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·90000/1400² = 90639 N = 90,64 kN

Đáp số

Pcr = 90,64 kN
14.Mất ổn định cột

Đáp số: σcr = 34,27 MPa

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Bán kính quán tính và độ mảnh

A = 1963 mm²
r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm
KL = 0,5·6000 = 3000 mm
KL/r = 3000/12,5 = 240

Ứng suất tới hạn

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/240² = 34,27 MPa

Đáp số

σcr = 34,27 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials