Sức bền vật liệu: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 14 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp
σ = F/A
Biến dạng
ε = ΔL/L
Định luật Hooke
σ = E·ε
Độ giãn dài
ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt
εT = α·ΔT

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp
τ = T·r/J
Trục đặc
J = πd⁴/32
Trục rỗng
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn
φ = TL/(GJ)
Công suất
P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

  1. Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
  2. Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
  3. Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
  4. Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lực cắt và mômen uốn

Lực cắt và mômen
V = ΣF ở một phía, M = ΣF·d ở một phía
Ứng suất uốn
σ = M·y/I
Hình chữ nhật
I = bh³/12
Mômen chống uốn của mặt cắt
W = I/ymax
Dầm đơn giản, tải phân bố đều
Mmax = wL²/8

Phương pháp

  1. Tìm phản lực gối từ cân bằng của cả dầm.
  2. Cắt dầm tại mặt cắt bạn cần và giữ lại một phía.
  3. Lực cắt: tổng các lực thẳng đứng ở phía đó. Mômen uốn: tổng mômen của chúng quanh mặt cắt.
  4. Để tìm mômen lớn nhất, hãy tìm nơi lực cắt bằng không.

Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Trọng tâm
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Hình chữ nhật
I = bh³/12
Định lý trục song song
I = Ic + A·d²
Mặt cắt ghép
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm
C = (σx + σy)/2
Bán kính
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Ứng suất chính
σ1,2 = C ± R
Phương chính
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Mặt phẳng nghiêng
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Phương pháp

  1. Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
  4. Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Độ võng của dầm

Tải tập trung ở giữa nhịp
δ = PL³/(48EI)
Tải phân bố đều, dầm đơn giản
δ = 5wL⁴/(384EI)
Công xôn, tải ở đầu
δ = PL³/(3EI)
Công xôn, tải phân bố đều
δ = wL⁴/(8EI)
Nguyên lý xếp chồng
δ = δ1 + δ2

Mất ổn định cột

Tải Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán
K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn
σcr = Pcr/A
Độ mảnh
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Bài tập

1.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình
Ø 10 mmĐồng1,5 mP = 90 kN

Tìm độ giãn dài δ của thanh đồng dưới tải trọng dọc trục.

P = 90 kNd = 10 mmL = 1,5 mE = 117 GPa
δ = mm
2.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó
Ø 40 mmĐồng thau2 mØ 16 mmNhôm1,5 mP = 40 kN

Thanh bậc được ngàm vào tường và chịu tải ở đầu tự do. Tìm ứng suất pháp lớn nhất σmax trong thanh.

P = 40 kNđoạn 1: Ø40 mm, 2 m, đồng thau (E = 100 GPa)đoạn 2: Ø16 mm, 1,5 m, nhôm (E = 70 GPa)
σmax = MPa
3.Xoắn của trụcTrung bình
T = 400 N·md = 40 mmL = 2 mφ = ?

Một trục đặc thép được ngàm vào tường và bị xoắn bởi mômen xoắn T ở đầu tự do. Tìm góc xoắn φ của đầu tự do, theo độ.

T = 400 N·md = 40 mmL = 2 mG = 80 GPa
φ = °
4.Xoắn của trụcKhó
Tdo​ = 50 mm, di​ = 38 mm

Một trục rỗng truyền 75 kW ở 500 rpm. Tìm ứng suất tiếp lớn nhất τmax trong trục.

P = 75 kWN = 500 rpmdo = 50 mmdi = 38 mm
τmax = MPa
5.Lực cắt và mômen uốnTrung bình
w = 10 kN/mABmặt cắt2 m3 m

Tìm lực cắt Vx tại mặt cắt x = 2 m tính từ gối A. Coi mômen làm dầm võng xuống là dương và lực cắt hướng lên trên mặt trái là dương.

L = 5 mw = 10 kN/m từ 0 đến 5 mx = 2 m
Vx = kN
6.Lực cắt và mômen uốnKhó
4 kN/m10 kN20 kN30 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

Các điểm đánh dấu từ A đến G chia dầm thành sáu phần bằng nhau. Tại điểm nào mômen uốn có độ lớn lớn nhất, dù võng hay vồng? Nhấp vào nó trong sơ đồ.

10 kN @ 0 m20 kN @ 12 m30 kN @ 6 m4 kN/m, 2–8 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtTrung bình
1602516016xkích thước tính bằng mm

Tìm mômen quán tính Ix của mặt cắt chữ T đối với trục ngang x đi qua trọng tâm.

bf = 160 mmtf = 25 mmtw = 16 mmhw = 160 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtKhó
120 mm300 mm195 mm50 × 50xIx​ = ?

Một tấm 120 mm × 300 mm có một lỗ khoét hình chữ nhật rộng 50 mm và cao 50 mm, đặt giữa đường tâm thẳng đứng với tâm cách đáy 195 mm. Tìm mômen quán tính diện tích Ix quanh trục nằm ngang đi qua trọng tâm.

b = 120 mmh = 300 mmlỗ khoét: 50 × 50 mmtâm lỗ: y = 195 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình
σx​ = 150σy​ = 120τxy​ = −20MPa

Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = 150 MPa, σᵧ = 120 MPa và τₓᵧ = −20 MPa (kéo là dương). Tìm góc θp từ trục x đến phương của ứng suất chính lớn nhất, trong khoảng −90° đến 90°.

σx = 150 MPaσy = 120 MPaτxy = −20 MPa
θp = °
10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó
σx​τxy​bề mặt của trục

Một trục đặc đường kính 25 mm chịu một lực nén dọc trục 100 kN cùng với mô-men xoắn 250 N·m. Tại bề mặt của trục, hãy tìm ứng suất cắt lớn nhất trong mặt phẳng τmax.

d = 25 mmF = −100 kNT = 250 N·m
τmax = MPa
11.Độ võng của dầmTrung bình
P = 28 kNABδ4,5 m1,5 m

Một dầm đơn giản chịu lực tập trung P tại vị trí cách gối A một đoạn a = 4,5 m. Tìm độ võng δP dưới tải.

P = 28 kNa = 4,5 mL = 6 mE = 11 GPa (gỗ xẻ)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
12.Độ võng của dầmKhó
w = 10 kN/mP = 28 kNδL = 2,5 m

Một dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w và một tải tập trung P ở giữa nhịp. Dùng nguyên lý xếp chồng, tìm độ võng giữa nhịp δmax.

P = 28 kNw = 10 kN/mL = 2,5 mE = 11 GPa (gỗ xẻ)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.Mất ổn định cộtTrung bình
PL = 6 m50 × 60 mmmặt cắt ngang

Một cột dài L làm bằng nhôm được ngàm ở chân và khớp ở đỉnh. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn Pcr của nó.

L = 6 mE = 70 GPa (nhôm)b × h = 50 × 60 mm
Pcr = kN
14.Mất ổn định cộtKhó
P = 95 kNL = 1,5 md = ?mặt cắt ngang

Một cột tròn đặc dài L làm bằng thép được ngàm ở chân và tự do ở đỉnh. Nó phải chịu 95 kN với hệ số an toàn 2 chống oằn. Tìm đường kính nhỏ nhất d.

P = 95 kNn = 2L = 1,5 mE = 200 GPa (thép)
d = mm

3Dung dịch

1.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: δ = 14,69 mm

Định luật Hooke: trong giới hạn đàn hồi σ = E·ε. Kết hợp với σ = P/A và ε = δ/L ta được δ = PL/(AE).

Ứng suất

A = π·10²/4 = 78,54 mm²
σ = P/A = 90·1000/78,54 = 1146 MPa

Biến dạng (định luật Hooke)

E for đồng = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 1146/117000 = 0,009794 = 9794 µε

Độ giãn dài

δ = ε·L = 0,009794·1500 mm = 14,69 mm

Đáp số

δ = 14,69 mm
2.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: σmax = 198,9 MPa

Cấu kiện chịu tải dọc trục: mỗi đoạn lăng trụ tuân theo δ = PL/(AE). Với các cấu kiện nối tiếp, độ giãn dài cộng lại.

Cùng một lực trong cả hai đoạn

Đầu tự do chịu lực P, nên mọi mặt cắt của thanh đều chịu cùng một lực dọc trục P. Chỉ có diện tích và vật liệu thay đổi.

A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·16²/4 = 201,1 mm²
σ1 = 31,83 MPa
σ2 = 198,9 MPa

Ứng suất lớn nhất

Đoạn mảnh hơn có diện tích nhỏ hơn, nên chịu ứng suất lớn hơn.

σmax = 198,9 MPa

Đáp số

σmax = 198,9 MPa
3.Xoắn của trục

Đáp số: φ = 2,28 °

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen quán tính độc cực của mặt cắt

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Góc xoắn

φ = TL/(GJ) = 400·1000·2000/(80000·251327) = 0,03979 rad
φ = 0,03979·180/π = 2,28°

Đáp số

φ = 2,28°
4.Xoắn của trục

Đáp số: τmax = 87,58 MPa

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen xoắn

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s
T = P/ω = 75000/52,36 = 1432 N·m

Mômen quán tính độc cực của mặt cắt

J = π(50⁴ − 38⁴)/32 = 408885 mm⁴

Ứng suất tiếp lớn nhất

τmax = T·(do/2)/J = 1,432 × 10⁶·25/408885 = 87,58 MPa

Đáp số

τmax = 87,58 MPa
5.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: Vx = 5 kN

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt.

Phản lực gối

Cân bằng của cả dầm.

Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 10·5 = 50 kN, đặt tại x̄ = 2,5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 10·5·2,5
RB = 125/5 = 25 kN
ΣFy = 0: RA = 50 − 25 = 25 kN
w = 10 kN/mABRA​ = 25RB​ = 25mặt cắt2 m3 m

Cắt tại x = 2 m và giữ phần bên trái

Chỉ các lực bên trái mặt cắt xuất hiện. Phần tải phân bố đều được thay bằng một lực đặt tại giữa phần đó.

V = RA − (mọi tải hướng xuống bên trái mặt cắt)
Vx = 25 − 10·2 = 5 kN

Đáp số

Vx = 5 kN
6.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: E (x = 8 m)

Mômen uốn lớn nhất: M đổi độ dốc ở bất cứ chỗ nào lực cắt thay đổi, nên các đỉnh của nó nằm nơi lực cắt đi qua không: dưới một tải tập trung, bên trong một tải phân bố, hoặc trên một gối của phần công-xon. Tại ngàm của dầm công-xon, mômen lớn nhất ở chân tường. So sánh độ lớn của M tại những chỗ đó, dù là mômen làm võng hay làm vồng.

Phản lực gối

Lấy mômen quanh một gối tựa, rồi dùng cân bằng lực thẳng đứng.

R1 = 22 kN, R2 = 62 kN

Mômen uốn tại mỗi điểm đánh dấu

Cộng các mômen của mọi lực ở một phía của mặt cắt. Võng là dương, vồng là âm.

MA = 0, MB = −20, MC = −4, MD = −4, ME = −80 kN·m, MF = −40, MG = 0

Đáp số

Điểm đánh dấu E: ME = −80 kN·m
7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: Ix = 19,03 × 10⁶ mm⁴

Diện tích ghép: chia mặt cắt thành các hình chữ nhật. Trọng tâm là trung bình có trọng số theo diện tích ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Mômen quán tính của mặt cắt đối với trục đi qua trọng tâm bằng tổng bh³/12 của từng phần và số hạng trục song song A·d², trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm của phần đó đến trọng tâm chung. Ứng suất uốn là σ = M·y/I.

Chia thành hai hình chữ nhật

Đo mọi y từ mép dưới.

cánh: Af = 160·25 = 4000 mm², yf = 160 + 25/2 = 172,5 mm
bụng: Aw = 16·160 = 2560 mm², yw = 160/2 = 80 mm

Trọng tâm

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (4000·172,5 + 2560·80)/6560 = 136,4 mm

Định lý trục song song

cánh: 160·25³/12 + 4000·(172,5 − 136,4)² = 5,42 × 10⁶ mm⁴
bụng: 16·160³/12 + 2560·(80 − 136,4)² = 1,361 × 10⁷ mm⁴
Ix = 5,42 × 10⁶ + 1,361 × 10⁷ = 1,903 × 10⁷ mm⁴ = 19,03 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

Ix = 19,03 × 10⁶ mm⁴
8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: Ix = 264 × 10⁶ mm⁴

Tiết diện có lỗ: coi lỗ là một diện tích âm. Trọng tâm là ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), với A₁, y₁ cho tấm đầy đủ và A₂, y₂ cho lỗ. Với mômen quán tính diện tích quanh trục đi qua trọng tâm, dùng định lý trục song song cho từng phần rồi trừ lỗ: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm riêng của mỗi phần đến trục đi qua ȳ. Hình chữ nhật có Ic = bh³/12 và hình tròn có Ic = πd⁴/64.

Trọng tâm

ȳ = (36000·150 − 2500·195)/(36000 − 2500) = 146,6 mm

Tấm đầy đủ quanh ȳ

120·300³/12 + 36000·3,358² = 270,4 × 10⁶ mm⁴

Lỗ quanh ȳ

50·50³/12 + 2500·48,36² = 6,367 × 10⁶ mm⁴

Trừ

Ix = 264 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

Ix = 264 × 10⁶ mm⁴
9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: θp = −26,57 °

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

σxyCσ1​σ2​

Góc trên vòng tròn

Điểm x nằm ở góc 2θp so với trục σ trên vòng tròn Mohr; góc phần tư suy ra từ dấu của σₓ − σᵧ và τₓᵧ.

2θp = atan2(2·−20, 150 − 120) = −53,13°

Góc trên phần tử

θp = −26,57°

Đáp số

θp = −26,57°

Góc dương là ngược chiều kim đồng hồ.

10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: τmax = 130,4 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

Các ứng suất tại bề mặt

σ = F/A = −100000/(π·25²/4) = −100000/490,9 = −203,7 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·250000/(π·25³) = 81,49 MPa
στxyCτmax​

Vòng tròn Mohr

C = σ/2 = −101,9 MPa
R = √((−101,9)² + 81,49²) = 130,4 MPa

Đáp số

τmax = 130,4 MPa
11.Độ võng của dầm

Đáp số: δP = 40,27 mm

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

P = 28000 N, a = 4500 mm, b = 1500 mm, L = 6000 mm
EI = 1,76 × 10¹² N·mm²

Độ võng dưới tải

δP = Pa²b²/(3EIL) = 28000·4500²·1500²/(3·1,76 × 10¹²·6000) = 40,27 mm

Đáp số

δP = 40,27 mm
12.Độ võng của dầm

Đáp số: δmax = 15,37 mm

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

P = 28000 N, w = 10 N/mm, L = 2500 mm, EI = 9,24 × 10¹¹ N·mm²

Từng tải riêng rẽ

δP = PL³/(48EI) = 28000·2500³/(48·9,24 × 10¹¹) = 9,864 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·10·2500⁴/(384·9,24 × 10¹¹) = 5,505 mm

Cộng lại

δmax = 9,864 + 5,505 = 15,37 mm

Đáp số

δmax = 15,37 mm
13.Mất ổn định cột

Đáp số: Pcr = 24,48 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Hình chữ nhật oằn quanh trục yếu, dùng kích thước nhỏ hơn lập phương.

Imin = h·b³/12 = 60·50³/12 = 625000 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 0,7·6000 = 4200 mm

Tải trọng tới hạn

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·625000/4200² = 24478 N = 24,48 kN

Đáp số

Pcr = 24,48 kN
14.Mất ổn định cột

Đáp số: d = 64,81 mm

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Tải trọng tới hạn yêu cầu

Pcr = n·P = 2·95000 = 190000 N
KL = 2·1500 = 3000 mm

Giải tìm đường kính

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·190000·3000²/(π³·200000))^(1/4) = 64,81 mm

Đáp số

d = 64,81 mm

Kiểm tra: độ mảnh KL/r là 185,1, nên cột là mảnh và công thức Euler áp dụng được.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials