Sức bền vật liệu: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 14 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp
σ = F/A
Biến dạng
ε = ΔL/L
Định luật Hooke
σ = E·ε
Độ giãn dài
ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt
εT = α·ΔT

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp
τ = T·r/J
Trục đặc
J = πd⁴/32
Trục rỗng
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn
φ = TL/(GJ)
Công suất
P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

  1. Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
  2. Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
  3. Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
  4. Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lực cắt và mômen uốn

Lực cắt và mômen
V = ΣF ở một phía, M = ΣF·d ở một phía
Ứng suất uốn
σ = M·y/I
Hình chữ nhật
I = bh³/12
Mômen chống uốn của mặt cắt
W = I/ymax
Dầm đơn giản, tải phân bố đều
Mmax = wL²/8

Phương pháp

  1. Tìm phản lực gối từ cân bằng của cả dầm.
  2. Cắt dầm tại mặt cắt bạn cần và giữ lại một phía.
  3. Lực cắt: tổng các lực thẳng đứng ở phía đó. Mômen uốn: tổng mômen của chúng quanh mặt cắt.
  4. Để tìm mômen lớn nhất, hãy tìm nơi lực cắt bằng không.

Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Trọng tâm
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Hình chữ nhật
I = bh³/12
Định lý trục song song
I = Ic + A·d²
Mặt cắt ghép
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm
C = (σx + σy)/2
Bán kính
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Ứng suất chính
σ1,2 = C ± R
Phương chính
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Mặt phẳng nghiêng
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Phương pháp

  1. Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
  4. Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Độ võng của dầm

Tải tập trung ở giữa nhịp
δ = PL³/(48EI)
Tải phân bố đều, dầm đơn giản
δ = 5wL⁴/(384EI)
Công xôn, tải ở đầu
δ = PL³/(3EI)
Công xôn, tải phân bố đều
δ = wL⁴/(8EI)
Nguyên lý xếp chồng
δ = δ1 + δ2

Mất ổn định cột

Tải Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán
K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn
σcr = Pcr/A
Độ mảnh
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Bài tập

1.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình
Ø 12 mmĐồng thau3 mP = 115 kN

Tìm độ giãn dài δ của thanh đồng thau dưới tải trọng dọc trục.

P = 115 kNd = 12 mmL = 3 mE = 100 GPa
δ = mm
2.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó
Ø 40 mmThép0,5 mØ 16 mmNhôm1 mP = 25 kN

Thanh bậc được ngàm vào tường và chịu tải ở đầu tự do. Tìm tổng độ giãn dài δ.

P = 25 kNđoạn 1: Ø40 mm, 0,5 m, thép (E = 200 GPa)đoạn 2: Ø16 mm, 1 m, nhôm (E = 70 GPa)
δ = mm
3.Xoắn của trụcTrung bình
T = 200 N·md = 40 mmL = 1,2 mφ = ?

Một trục đặc nhôm được ngàm vào tường và bị xoắn bởi mômen xoắn T ở đầu tự do. Tìm góc xoắn φ của đầu tự do, theo độ.

T = 200 N·md = 40 mmL = 1,2 mG = 26 GPa
φ = °
4.Xoắn của trụcKhó
d = ?15 kW, 1000 rpm

Một trục đặc đồng thau truyền 15 kW ở 1000 rpm. Ứng suất cắt không được vượt quá 75 MPa và góc xoắn không được vượt quá 1° trên mỗi m chiều dài. Tìm đường kính nhỏ nhất d thỏa mãn cả hai giới hạn.

P = 15 kWN = 1000 rpmτallow = 75 MPaθallow = 1°/mG = 39 GPa
d = mm
5.Lực cắt và mômen uốnTrung bình
M0​ = 35 kN·mAB2,5 m3,5 m

Dầm đơn giản chịu một ngẫu lực cùng chiều kim đồng hồ M0 = 35 kN·m tại x = 2,5 m tính từ A, và không có tải nào khác. Tìm mô-men uốn Mx ngay bên trái ngẫu lực. Dùng quy ước mô-men làm võng xuống là dương và lực cắt hướng lên trên mặt cắt bên trái là dương.

L = 6 mM0 = 35 kN·m cùng chiều kim đồng hồ, tại 2,5 m
Mx = kN·m
6.Lực cắt và mômen uốnKhó
w = 10 kN/mP = 30 kNABmặt cắt3 m1,5 m1,5 m

Tìm mômen uốn Mx tại mặt cắt x = 3 m tính từ gối A. Coi mômen làm dầm võng xuống là dương và lực cắt hướng lên trên mặt trái là dương.

L = 6 mP = 30 kN tại 4,5 mw = 10 kN/m từ 0 đến 6 mx = 3 m
Mx = kN·m
7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtTrung bình
100 mm150 mm52,5 mmØ50xIx​ = ?

Một tấm 100 mm × 150 mm có một lỗ tròn đường kính 50 mm trên đường tâm thẳng đứng, tâm lỗ cách đáy 52,5 mm. Tìm mômen quán tính diện tích Ix quanh trục nằm ngang đi qua trọng tâm.

b = 100 mmh = 150 mmd = 50 mmtâm lỗ: y = 52,5 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtKhó
1601510020xM = 50 kN·mkích thước tính bằng mm

Mặt cắt chữ T được dùng làm dầm với cánh ở trên và chịu mômen uốn làm võng xuống 50 kN·m. Tìm độ lớn ứng suất uốn σtrên ở mép trên.

bf = 160 mmtf = 15 mmtw = 20 mmhw = 100 mmM = 50 kN·m
σtrên = MPa
9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình
σx​ = 150σy​ = 50τxy​ = −30MPa

Một điểm trong một tấm mỏng ở trạng thái ứng suất phẳng: σₓ = 150 MPa, σᵧ = 50 MPa và τₓᵧ = −30 MPa, với σz = 0. Tìm ứng suất cắt lớn nhất tuyệt đối τabs tại điểm đó (xét mọi mặt trong không gian ba chiều).

σx = 150 MPaσy = 50 MPaτxy = −30 MPaσz = 0
τabs = MPa
10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó
σx​ = 60σy​ = −10τxy​ = 30MPa

Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = 60 MPa, σᵧ = −10 MPa và τₓᵧ = 30 MPa (kéo là dương). Tìm ứng suất pháp σθ trên một mặt có pháp tuyến xoay 30° ngược chiều kim đồng hồ so với trục x.

σx = 60 MPaσy = −10 MPaτxy = 30 MPaθ = 30°
σθ = MPa
11.Độ võng của dầmTrung bình
w = 2 kN/mδL = 8 m

Một dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w trên toàn nhịp. Tìm độ võng lớn nhất δmax, tại giữa nhịp.

w = 2 kN/mL = 8 mE = 70 GPa (nhôm)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.Độ võng của dầmKhó
w = 10 kN/mAB6 m

Một dầm công-xôn có gối chống ngàm tại A và tựa đơn (chống) tại B. Dầm chịu tải phân bố đều w trên toàn bộ chiều dài. EI không đổi. Tìm độ lớn của mô-men uốn MA tại đầu ngàm.

L = 6 mw = 10 kN/m
MA = kN·m
13.Mất ổn định cộtTrung bình
PL = 3 md = 80 mmmặt cắt ngang

Một cột dài L làm bằng nhôm được hai đầu khớp. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn Pcr của nó.

L = 3 mE = 70 GPa (nhôm)d = 80 mm
Pcr = kN
14.Mất ổn định cộtKhó
P = 25 kNL = 1,5 md = ?mặt cắt ngang

Một cột tròn đặc dài L làm bằng nhôm được hai đầu khớp. Nó phải chịu 25 kN với hệ số an toàn 3 chống oằn. Tìm đường kính nhỏ nhất d.

P = 25 kNn = 3L = 1,5 mE = 70 GPa (nhôm)
d = mm

3Dung dịch

1.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: δ = 30,5 mm

Định luật Hooke: trong giới hạn đàn hồi σ = E·ε. Kết hợp với σ = P/A và ε = δ/L ta được δ = PL/(AE).

Ứng suất

A = π·12²/4 = 113,1 mm²
σ = P/A = 115·1000/113,1 = 1017 MPa

Biến dạng (định luật Hooke)

E for đồng thau = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 1017/100000 = 0,01017 = 10168 µε

Độ giãn dài

δ = ε·L = 0,01017·3000 mm = 30,5 mm

Đáp số

δ = 30,5 mm
2.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: δ = 1,826 mm

Cấu kiện chịu tải dọc trục: mỗi đoạn lăng trụ tuân theo δ = PL/(AE). Với các cấu kiện nối tiếp, độ giãn dài cộng lại.

Cùng một lực trong cả hai đoạn

Đầu tự do chịu lực P, nên mọi mặt cắt của thanh đều chịu cùng một lực dọc trục P. Chỉ có diện tích và vật liệu thay đổi.

A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·16²/4 = 201,1 mm²
σ1 = 19,89 MPa
σ2 = 124,3 MPa

Cộng độ giãn dài của các đoạn

δ1 = σ1L1/E1 = 19,89·500/200000 = 0,04974 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 124,3·1000/70000 = 1,776 mm
δ = δ1 + δ2 = 1,826 mm

Đáp số

δ = 1,826 mm
3.Xoắn của trục

Đáp số: φ = 2,104 °

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen quán tính độc cực của mặt cắt

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Góc xoắn

φ = TL/(GJ) = 200·1000·1200/(26000·251327) = 0,03673 rad
φ = 0,03673·180/π = 2,104°

Đáp số

φ = 2,104°
4.Xoắn của trục

Đáp số: d = 38,26 mm

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen xoắn

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s
T = P/ω = 15000/104,7 = 143,2 N·m

Đường kính theo điều kiện bền

T = 143,2 N·m = 143239 N·mm
dτ = ∛(16·143239/(π·75)) = 21,35 mm

Đường kính theo điều kiện cứng

θ = 1·π/180/1000 = 1,745 × 10⁻⁵ rad/mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
dφ = (32·143239/(π·39000·1,745 × 10⁻⁵))1/4 = 38,26 mm

Đường kính quyết định

Cả hai giới hạn đều phải thỏa, nên đường kính lớn hơn quyết định.

d = max(21,35, 38,26) = 38,26 mm

Đáp số

d = 38,26 mm

Ở đây điều kiện cứng quyết định.

5.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: Mx = −14,58 kN·m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt. Một ngẫu lực đặt vào làm biểu đồ mô-men uốn nhảy một đoạn bằng độ lớn của ngẫu lực.

Phản lực gối

Mô-men đối với A, chiều ngược chiều kim đồng hồ là dương: RB·L − M0 = 0. Cân bằng theo phương thẳng đứng: RA + RB = 0.

RB = M0/L = 35/6 = 5,833 kN (hướng lên)
RA = −RB = −5,833 kN (hướng xuống)

Cắt ngay bên trái ngẫu lực

Phần bên trái chỉ chứa RA.

Mx = RA·a = −5,833·2,5 = −14,58 kN·m

Đáp số

Mx = −14,58 kN·m
6.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: Mx = 67,5 kN·m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt.

Phản lực gối

Cân bằng của cả dầm.

Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 10·6 = 60 kN, đặt tại x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 30·4,5 + 10·6·3
RB = 315/6 = 52,5 kN
ΣFy = 0: RA = 90 − 52,5 = 37,5 kN
w = 10 kN/mP = 30 kNABRA​ = 37,5RB​ = 52,5mặt cắt3 m1,5 m1,5 m

Cắt tại x = 3 m và giữ phần bên trái

Chỉ các lực bên trái mặt cắt xuất hiện. Phần tải phân bố đều được thay bằng một lực đặt tại giữa phần đó.

M = RA·x − (mỗi tải bên trái mặt cắt × cánh tay đòn đến mặt cắt)
Mx = 37,5·3 − 10·3·1,5 = 67,5 kN·m

Đáp số

Mx = 67,5 kN·m
7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: Ix = 26,67 × 10⁶ mm⁴

Tiết diện có lỗ: coi lỗ là một diện tích âm. Trọng tâm là ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), với A₁, y₁ cho tấm đầy đủ và A₂, y₂ cho lỗ. Với mômen quán tính diện tích quanh trục đi qua trọng tâm, dùng định lý trục song song cho từng phần rồi trừ lỗ: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm riêng của mỗi phần đến trục đi qua ȳ. Hình chữ nhật có Ic = bh³/12 và hình tròn có Ic = πd⁴/64.

Trọng tâm

ȳ = (15000·75 − 1963·52,5)/(15000 − 1963) = 78,39 mm

Tấm đầy đủ quanh ȳ

100·150³/12 + 15000·−3,389² = 28,3 × 10⁶ mm⁴

Lỗ quanh ȳ

π·50⁴/64 + 1963·−25,89² = 1,623 × 10⁶ mm⁴

Trừ

Ix = 26,67 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

Ix = 26,67 × 10⁶ mm⁴
8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: σtrên = 316,2 MPa

Diện tích ghép: chia mặt cắt thành các hình chữ nhật. Trọng tâm là trung bình có trọng số theo diện tích ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Mômen quán tính của mặt cắt đối với trục đi qua trọng tâm bằng tổng bh³/12 của từng phần và số hạng trục song song A·d², trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm của phần đó đến trọng tâm chung. Ứng suất uốn là σ = M·y/I.

Chia thành hai hình chữ nhật

Đo mọi y từ mép dưới.

cánh: Af = 160·15 = 2400 mm², yf = 100 + 15/2 = 107,5 mm
bụng: Aw = 20·100 = 2000 mm², yw = 100/2 = 50 mm

Trọng tâm

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (2400·107,5 + 2000·50)/4400 = 81,36 mm

Định lý trục song song

cánh: 160·15³/12 + 2400·(107,5 − 81,36)² = 1,684 × 10⁶ mm⁴
bụng: 20·100³/12 + 2000·(50 − 81,36)² = 3,634 × 10⁶ mm⁴
Ix = 1,684 × 10⁶ + 3,634 × 10⁶ = 5,318 × 10⁶ mm⁴

Ứng suất uốn

Mép trên cách trục h − ȳ.

y = 115 − 81,36 = 33,64 mm
σ = M·y/I = 5 × 10⁷·33,64/5,318 × 10⁶ = 316,2 MPa

Đáp số

σtrên = 316,2 MPa
9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: τabs = 79,15 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R. Trong không gian ba chiều, ứng suất cắt lớn nhất tuyệt đối là (σmax − σmin)/2 trên cả ba ứng suất chính; trong ứng suất phẳng, ứng suất thứ ba bằng không.

στxyCσ1​σ2​

Các ứng suất chính trong mặt phẳng

C = 100 MPa, R = √(50² + (−30)²) = 58,31 MPa
σ1 = 158,3 MPa, σ2 = 41,69 MPa, σz = 0

Vòng tròn lớn nhất trong ba vòng tròn

τ = max(|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)/2 = max(116,6, 158,3, 41,69)/2 = 79,15 MPa

Đáp số

τabs = 79,15 MPa

Ở đây vòng tròn ngoài mặt phẳng quyết định: giá trị lớn nhất tuyệt đối lớn hơn giá trị lớn nhất trong mặt phẳng R.

10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: σθ = 68,48 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

Phương trình biến đổi

σθ = 25 + 35·0,5 + 30·0,866 = 68,48 MPa

Đáp số

σθ = 68,48 MPa
11.Độ võng của dầm

Đáp số: δmax = 18,14 mm

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 8000 mm
EI = 5,88 × 10¹² N·mm²

Độ võng

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·8000⁴/(384·5,88 × 10¹²) = 18,14 mm

Đáp số

δmax = 18,14 mm
12.Độ võng của dầm

Đáp số: MA = 45 kN·m

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng). Với dầm siêu tĩnh, hãy bỏ một liên kết thừa và đòi hỏi độ võng tại đó bằng không (điều kiện tương thích).

Bỏ gối chống đi

Khi không có gối chống, dầm là một dầm công-xôn. Đầu tự do của nó sẽ võng dưới tải.

δload = wL⁴/(8EI)

Điều kiện tương thích tại gối chống

Chỉ riêng lực chống RB nâng đầu tự do lên một đoạn RBL³/(3EI). Gối chống giữ B có độ võng bằng không, nên hai độ võng phải triệt tiêu nhau. EI được khử.

RB·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → RB = 3wL/8 = 3·10·6/8 = 22,5 kN

Mô-men tại đầu ngàm

Mô-men đối với A của các tải và lực chống.

MA = wL²/2 − RB·L = 180 − 135 = 45 kN·m

Đáp số

MA = 45 kN·m
13.Mất ổn định cột

Đáp số: Pcr = 154,3 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 1·3000 = 3000 mm

Tải trọng tới hạn

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·2,011 × 10⁶/3000² = 154342 N = 154,3 kN

Đáp số

Pcr = 154,3 kN
14.Mất ổn định cột

Đáp số: d = 47,23 mm

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Tải trọng tới hạn yêu cầu

Pcr = n·P = 3·25000 = 75000 N
KL = 1·1500 = 1500 mm

Giải tìm đường kính

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·75000·1500²/(π³·70000))^(1/4) = 47,23 mm

Đáp số

d = 47,23 mm

Kiểm tra: độ mảnh KL/r là 127, nên cột là mảnh và công thức Euler áp dụng được.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials