Sức bền vật liệu: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 14 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp
σ = F/A
Biến dạng
ε = ΔL/L
Định luật Hooke
σ = E·ε
Độ giãn dài
ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt
εT = α·ΔT

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp
τ = T·r/J
Trục đặc
J = πd⁴/32
Trục rỗng
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn
φ = TL/(GJ)
Công suất
P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

  1. Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
  2. Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
  3. Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
  4. Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lực cắt và mômen uốn

Lực cắt và mômen
V = ΣF ở một phía, M = ΣF·d ở một phía
Ứng suất uốn
σ = M·y/I
Hình chữ nhật
I = bh³/12
Mômen chống uốn của mặt cắt
W = I/ymax
Dầm đơn giản, tải phân bố đều
Mmax = wL²/8

Phương pháp

  1. Tìm phản lực gối từ cân bằng của cả dầm.
  2. Cắt dầm tại mặt cắt bạn cần và giữ lại một phía.
  3. Lực cắt: tổng các lực thẳng đứng ở phía đó. Mômen uốn: tổng mômen của chúng quanh mặt cắt.
  4. Để tìm mômen lớn nhất, hãy tìm nơi lực cắt bằng không.

Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Trọng tâm
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Hình chữ nhật
I = bh³/12
Định lý trục song song
I = Ic + A·d²
Mặt cắt ghép
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm
C = (σx + σy)/2
Bán kính
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Ứng suất chính
σ1,2 = C ± R
Phương chính
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Mặt phẳng nghiêng
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Phương pháp

  1. Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
  4. Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Độ võng của dầm

Tải tập trung ở giữa nhịp
δ = PL³/(48EI)
Tải phân bố đều, dầm đơn giản
δ = 5wL⁴/(384EI)
Công xôn, tải ở đầu
δ = PL³/(3EI)
Công xôn, tải phân bố đều
δ = wL⁴/(8EI)
Nguyên lý xếp chồng
δ = δ1 + δ2

Mất ổn định cột

Tải Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán
K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn
σcr = Pcr/A
Độ mảnh
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Bài tập

1.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình
Ø 16 mmThép0,5 mP = 65 kN

Tìm độ giãn dài δ của thanh thép dưới tải trọng dọc trục.

P = 65 kNd = 16 mmL = 0,5 mE = 200 GPa
δ = mm
2.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó
20 kN12600 mm300 mmØ40Ø40σ2​ = ?

Một đoạn thép (đường kính 40 mm, chiều dài 600 mm, E = 200 GPa) và một đoạn làm bằng đồng thanh (đường kính 40 mm, chiều dài 300 mm, E = 110 GPa) được nối đầu với đầu và ngàm giữa hai vách cứng. Một tải dọc trục 20 kN tác dụng tại chỗ nối, hướng về phía đoạn 2. Tìm độ lớn ứng suất σ2 trong đoạn 2.

đoạn 1: thép, Ø40 mm, 600 mm, E = 200 GPađoạn 2: đồng thanh, Ø40 mm, 300 mm, E = 110 GPaP = 20 kN
σ2 = MPa
3.Xoắn của trụcTrung bình
d = ?T = 750 N·mL = 2,5 m

Một trục nhôm đặc dài 2,5 m chịu mô-men xoắn 750 N·m. Góc xoắn giữa hai đầu không được vượt quá 2°. Tìm đường kính nhỏ nhất d đáp ứng giới hạn này.

T = 750 N·mL = 2,5 mG = 26 GPaφallow = 2°
d = mm
4.Xoắn của trụcKhó
Td = ?

Một trục đặc phải truyền 50 kW ở 1800 rpm mà ứng suất tiếp không vượt quá 50 MPa. Tìm đường kính nhỏ nhất d thỏa mãn.

P = 50 kWN = 1800 rpmτallow = 50 MPa
d = mm
5.Lực cắt và mômen uốnTrung bình
P1​ = 30 kNP2​ = 30 kNAB4 m0,5 m1,5 m

Dầm đơn giản chịu hai lực tập trung. Tìm mô-men uốn lớn nhất Mmax trong dầm.

L = 6 mP1 = 30 kN tại 4 mP2 = 30 kN tại 4,5 m
Mmax = kN·m
6.Lực cắt và mômen uốnKhó
w = 2 kN/mP = 80 kNAB2 m4 m

Dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w trên toàn bộ nhịp và một lực tập trung P. Tìm mô-men uốn lớn nhất Mmax trong dầm.

L = 6 mP = 80 kN tại 2 mw = 2 kN/m từ 0 đến 6 m
Mmax = kN·m
7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtTrung bình
2802522016xkích thước tính bằng mm

Tìm mômen quán tính Ix của mặt cắt chữ T đối với trục ngang x đi qua trọng tâm.

bf = 280 mmtf = 25 mmtw = 16 mmhw = 220 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtKhó
150 mm200 mm120 mm60 × 30xIx​ = ?

Một tấm 150 mm × 200 mm có một lỗ khoét hình chữ nhật rộng 60 mm và cao 30 mm, đặt giữa đường tâm thẳng đứng với tâm cách đáy 120 mm. Tìm mômen quán tính diện tích Ix quanh trục nằm ngang đi qua trọng tâm.

b = 150 mmh = 200 mmlỗ khoét: 60 × 30 mmtâm lỗ: y = 120 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình
σx​ = 90σy​ = −70τxy​ = 20MPa

Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = 90 MPa, σᵧ = −70 MPa và τₓᵧ = 20 MPa (kéo là dương). Tìm ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng τmax.

σx = 90 MPaσy = −70 MPaτxy = 20 MPa
τmax = MPa
10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó
σx​τxy​bề mặt của trục

Một trục đặc đường kính 30 mm chịu một lực nén dọc trục 20 kN cùng với mô-men xoắn 400 N·m. Tại bề mặt của trục, hãy tìm ứng suất cắt lớn nhất trong mặt phẳng τmax.

d = 30 mmF = −20 kNT = 400 N·m
τmax = MPa
11.Độ võng của dầmTrung bình
w = 8 kN/mδL = 1,5 m

Một dầm công xôn chịu tải phân bố đều w trên toàn chiều dài. Tìm độ võng δ tại đầu tự do.

w = 8 kN/mL = 1,5 mE = 70 GPa (nhôm)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.Độ võng của dầmKhó
P = 35 kNAB3 m3 m

Một dầm công-xôn có gối chống ngàm tại A và tựa đơn (chống) tại B. Dầm chịu một lực tập trung P tại giữa nhịp. EI không đổi. Tìm phản lực RB tại gối chống.

L = 6 mP = 35 kN tại 3 m
RB = kN
13.Mất ổn định cộtTrung bình
PL = 5 m25 × 40 mmmặt cắt ngang

Một cột dài L làm bằng nhôm được ngàm ở chân và khớp ở đỉnh. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn Pcr của nó.

L = 5 mE = 70 GPa (nhôm)b × h = 25 × 40 mm
Pcr = kN
14.Mất ổn định cộtKhó
P = 135 kNL = 3 md = ?mặt cắt ngang

Một cột tròn đặc dài L làm bằng thép được ngàm cả hai đầu. Nó phải chịu 135 kN với hệ số an toàn 3 chống oằn. Tìm đường kính nhỏ nhất d.

P = 135 kNn = 3L = 3 mE = 200 GPa (thép)
d = mm

3Dung dịch

1.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: δ = 0,8082 mm

Định luật Hooke: trong giới hạn đàn hồi σ = E·ε. Kết hợp với σ = P/A và ε = δ/L ta được δ = PL/(AE).

Ứng suất

A = π·16²/4 = 201,1 mm²
σ = P/A = 65·1000/201,1 = 323,3 MPa

Biến dạng (định luật Hooke)

E for thép = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 323,3/200000 = 0,001616 = 1616 µε

Độ giãn dài

δ = ε·L = 0,001616·500 mm = 0,8082 mm

Đáp số

δ = 0,8082 mm
2.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: σ2 = 8,337 MPa

Hai vật liệu: khi nối tiếp (cái này sau cái kia) mỗi đoạn chịu cùng một lực và các độ giãn dài cộng lại: δ = P·Σ L/(E·A). Khi song song (cạnh nhau giữa các tấm cứng) cả hai phần co lại cùng một lượng, nên biến dạng của chúng bằng nhau: phần cứng hơn nhận phần tải lớn hơn, Pi = P·EiAi/ΣEA, và σi = Ei·ε. Một thanh bị giữ giữa hai vách cứng với tải đặt tại chỗ nối là siêu tĩnh: hai đoạn chia tải theo tỉ lệ độ cứng k = EA/L của chúng.

Các độ cứng

k₁ = 200000·1257/600 = 418879 N/mm
k₂ = 110000·1257/300 = 460767 N/mm

Phần của đoạn 2

F2 = 20000·460767/879646 = 10476 N

Ứng suất

σ2 = 10476/1257 = 8,337 MPa (nén)

Đáp số

σ2 = 8,337 MPa
3.Xoắn của trục

Đáp số: d = 67,73 mm

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mô-men quán tính độc cực cần thiết

T = 750 N·m = 750000 N·mm
L = 2,5 m = 2500 mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
φ = 2·π/180 = 0,03491 rad
J = TL/(Gφ) = 750000·2500/(26000·0,03491) = 2,066 × 10⁶ mm⁴

Đường kính

d = (32J/π)1/4 = 67,73 mm

Đáp số

d = 67,73 mm

Trong thực tế bạn sẽ làm tròn lên kích thước tiêu chuẩn kế tiếp.

4.Xoắn của trục

Đáp số: d = 30,01 mm

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen xoắn

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s
T = P/ω = 50000/188,5 = 265,3 N·m

Đường kính từ ứng suất cho phép

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·265258/(π·50)) = 30,01 mm

Đáp số

d = 30,01 mm

Trong thực tế bạn sẽ làm tròn lên kích thước tiêu chuẩn kế tiếp.

5.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: Mmax = 70 kN·m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt. Mô-men lớn nhất: vì dM/dx = V, mô-men uốn đạt cực trị tại nơi lực cắt đi qua không, hoặc tại một lực tập trung hoặc bên trong một tải phân bố.

Phản lực gối

Cân bằng của cả dầm.

ΣMA = 0: RB·6 = 30·4 + 30·4,5
RB = 255/6 = 42,5 kN
ΣFy = 0: RA = 60 − 42,5 = 17,5 kN

Mô-men dưới mỗi tải

Giữ phần bên trái của mỗi tải.

dưới P1: M = RA·4 = 17,5·4 = 70 kN·m
dưới P2: M = RB·1,5 = 42,5·1,5 = 63,75 kN·m

Giá trị lớn nhất

Mmax = 70 kN·m (dưới P1)

Đáp số

Mmax = 70 kN·m
6.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: Mmax = 114,7 kN·m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt. Mô-men lớn nhất: vì dM/dx = V, mô-men uốn đạt cực trị tại nơi lực cắt đi qua không, hoặc tại một lực tập trung hoặc bên trong một tải phân bố.

Phản lực gối

Cân bằng của cả dầm.

Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 2·6 = 12 kN, đặt tại x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 80·2 + 2·6·3
RB = 196/6 = 32,67 kN
ΣFy = 0: RA = 92 − 32,67 = 59,33 kN

V = 0 ở đâu?

V(2⁻) = RA − w·2 = 55,33 kN
V(2⁺) = 55,33 − 80 = −24,67 kN
Lực cắt đổi dấu tại tải, nên giá trị lớn nhất nằm dưới tải.

Mô-men lớn nhất

Mmax = RA·2 − w·2²/2 = 59,33·2 − 2·2²/2 = 114,7 kN·m

Đáp số

Mmax = 114,7 kN·m

Nó xảy ra tại x = 2 m tính từ A.

7.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: Ix = 49,71 × 10⁶ mm⁴

Diện tích ghép: chia mặt cắt thành các hình chữ nhật. Trọng tâm là trung bình có trọng số theo diện tích ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Mômen quán tính của mặt cắt đối với trục đi qua trọng tâm bằng tổng bh³/12 của từng phần và số hạng trục song song A·d², trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm của phần đó đến trọng tâm chung. Ứng suất uốn là σ = M·y/I.

Chia thành hai hình chữ nhật

Đo mọi y từ mép dưới.

cánh: Af = 280·25 = 7000 mm², yf = 220 + 25/2 = 232,5 mm
bụng: Aw = 16·220 = 3520 mm², yw = 220/2 = 110 mm

Trọng tâm

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (7000·232,5 + 3520·110)/10520 = 191,5 mm

Định lý trục song song

cánh: 280·25³/12 + 7000·(232,5 − 191,5)² = 1,213 × 10⁷ mm⁴
bụng: 16·220³/12 + 3520·(110 − 191,5)² = 3,758 × 10⁷ mm⁴
Ix = 1,213 × 10⁷ + 3,758 × 10⁷ = 4,971 × 10⁷ mm⁴ = 49,71 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

Ix = 49,71 × 10⁶ mm⁴
8.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: Ix = 99,1 × 10⁶ mm⁴

Tiết diện có lỗ: coi lỗ là một diện tích âm. Trọng tâm là ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), với A₁, y₁ cho tấm đầy đủ và A₂, y₂ cho lỗ. Với mômen quán tính diện tích quanh trục đi qua trọng tâm, dùng định lý trục song song cho từng phần rồi trừ lỗ: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm riêng của mỗi phần đến trục đi qua ȳ. Hình chữ nhật có Ic = bh³/12 và hình tròn có Ic = πd⁴/64.

Trọng tâm

ȳ = (30000·100 − 1800·120)/(30000 − 1800) = 98,72 mm

Tấm đầy đủ quanh ȳ

150·200³/12 + 30000·1,277² = 100 × 10⁶ mm⁴

Lỗ quanh ȳ

60·30³/12 + 1800·21,28² = 0,9498 × 10⁶ mm⁴

Trừ

Ix = 99,1 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

Ix = 99,1 × 10⁶ mm⁴
9.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: τmax = 82,46 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

στxyCτmax​

Bán kính vòng tròn Mohr

τmax = R = √(((90 − −70)/2)² + 20²) = 82,46 MPa

Đáp số

τmax = 82,46 MPa
10.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: τmax = 76,77 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

Các ứng suất tại bề mặt

σ = F/A = −20000/(π·30²/4) = −20000/706,9 = −28,29 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·400000/(π·30³) = 75,45 MPa
στxyCτmax​

Vòng tròn Mohr

C = σ/2 = −14,15 MPa
R = √((−14,15)² + 75,45²) = 76,77 MPa

Đáp số

τmax = 76,77 MPa
11.Độ võng của dầm

Đáp số: δ = 1,269 mm

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

w = 8 N/mm, L = 1500 mm
EI = 3,99 × 10¹² N·mm²

Độ võng

δ = wL⁴/(8EI) = 8·1500⁴/(8·3,99 × 10¹²) = 1,269 mm

Đáp số

δ = 1,269 mm
12.Độ võng của dầm

Đáp số: RB = 10,94 kN

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng). Với dầm siêu tĩnh, hãy bỏ một liên kết thừa và đòi hỏi độ võng tại đó bằng không (điều kiện tương thích).

Bỏ gối chống đi

Khi không có gối chống, dầm là một dầm công-xôn. Đầu tự do của nó sẽ võng dưới tải.

δload = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Điều kiện tương thích tại gối chống

Chỉ riêng lực chống RB nâng đầu tự do lên một đoạn RBL³/(3EI). Gối chống giữ B có độ võng bằng không, nên hai độ võng phải triệt tiêu nhau. EI được khử.

RB·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → RB = 5P/16 = 5·35/16 = 10,94 kN

Đáp số

RB = 10,94 kN
13.Mất ổn định cột

Đáp số: Pcr = 2,937 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Hình chữ nhật oằn quanh trục yếu, dùng kích thước nhỏ hơn lập phương.

Imin = h·b³/12 = 40·25³/12 = 52083 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

Tải trọng tới hạn

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·52083/3500² = 2937 N = 2,937 kN

Đáp số

Pcr = 2,937 kN
14.Mất ổn định cột

Đáp số: d = 55,38 mm

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Tải trọng tới hạn yêu cầu

Pcr = n·P = 3·135000 = 405000 N
KL = 0,5·3000 = 1500 mm

Giải tìm đường kính

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·405000·1500²/(π³·200000))^(1/4) = 55,38 mm

Đáp số

d = 55,38 mm

Kiểm tra: độ mảnh KL/r là 108,3, nên cột là mảnh và công thức Euler áp dụng được.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials