Khung chữ A trong hình đứng trên một gối cố định tại A và một con lăn tại B, cách nhau 2 m. Các chân gặp nhau tại chốt C, cao 2 m, và thanh giằng ngang DE cách mặt đất 0,8 m. Một tải 20 kN tác dụng tại C. Tìm độ lớn của lực C mà chốt C tác dụng lên chân BC.
P = 20 kNAB = 2 mđộ cao của C = 2 mđộ cao của DE = 0,8 m
C = kN
8.Khung và máyKhó
Khung chữ A trong hình đứng trên một gối cố định tại A và một con lăn tại B, cách nhau 5 m. Các chân gặp nhau tại chốt C, cao 3 m, và được giằng bởi thanh ngang DE ở độ cao 1 m. Một lực ngang 8 kN hướng sang phải tác dụng tại C. Tìm lực kéo T trong thanh giằng.
P = 8 kNAB = 5 mđộ cao của C = 3 mđộ cao của DE = 1 m
T = kN
9.Lực cắt và mômen uốnTrung bình
Tìm lực cắt Vx tại mặt cắt x = 5,5 m tính từ gối A. Coi mômen làm dầm võng xuống là dương và lực cắt hướng lên trên mặt trái là dương.
L = 6 mw = 10 kN/m từ 0 đến 6 mx = 5,5 m
Vx = kN
10.Lực cắt và mômen uốnKhó
Tìm mômen uốn Mx tại mặt cắt x = 2 m tính từ gối A. Coi mômen làm dầm võng xuống là dương và lực cắt hướng lên trên mặt trái là dương.
L = 4 mP = 25 kN tại 1,5 mw = 3 kN/m từ 0 đến 4 mx = 2 m
Mx = kN·m
11.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtTrung bình
Một tiết diện chữ U đặt với mặt hở hướng lên: một bản đáy rộng 120 mm với hai cánh đứng, tổng chiều cao 180 mm. Đáy và các cánh đều dày 12 mm. Tìm mô-men quán tính Ix của nó đối với trục nằm ngang x qua trọng tâm.
b = 120 mmh = 180 mmt = 12 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtKhó
Một tấm 200 mm × 200 mm có một lỗ khoét hình chữ nhật rộng 60 mm và cao 50 mm, đặt giữa đường tâm thẳng đứng với tâm cách đáy 80 mm. Tìm mômen quán tính diện tích Ix quanh trục nằm ngang đi qua trọng tâm.
b = 200 mmh = 200 mmlỗ khoét: 60 × 50 mmtâm lỗ: y = 80 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
3Dung dịch
1.Vectơ: tích vô hướng và tích có hướng
Đáp số: θ = 78,81 °
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Tích vô hướng
a·b = (−3)·(−5) + 4·(−4) + (−3)·(−3) = 8
Các độ lớn
|a| = √((−3)² + 4² + (−3)²) = 5,831
|b| = √((−5)² + (−4)² + (−3)²) = 7,071
Góc
cos θ = 8/(5,831·7,071) = 0,194
θ = arccos(0,194) = 78,81°
Đáp số
θ = 78,81°
2.Vectơ: tích vô hướng và tích có hướng
Đáp số: V = 44
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Tích có hướng b × c
(b × c)x = bycz − bzcy = 0·(−1) − 2·(−3) = 6
(b × c)y = bzcx − bxcz = 2·(−3) − 5·(−1) = −1
(b × c)z = bxcy − bycx = 5·(−3) − 0·(−3) = −15
Tích vô hướng với a
a·(b × c) = 0·6 + 1·(−1) + (−3)·(−15) = 44
V = |44| = 44
Đáp số
V = 44
3.Phản lực gối của dầm
Đáp số: RB = 61,67 kN
Cân bằng tĩnh: một vật đứng yên có ΣFx = 0, ΣFy = 0 và ΣM = 0 quanh mọi điểm. Lấy mômen quanh một gối sẽ loại phản lực của gối đó khỏi phương trình.
Sơ đồ vật thể tự do
Thay các gối đỡ bằng phản lực. Gối di động cho một phản lực thẳng đứng; khi chỉ có tải thẳng đứng, gối cố định cũng cho một phản lực thẳng đứng.
Cân bằng
Mômen quanh A, chiều ngược kim đồng hồ là dương. Sau đó cân bằng lực theo phương thẳng đứng.
ΣMA = 0: RB·6 = 55·4 + 30·5
RB = 370/6 = 61,67 kN
ΣFy = 0: RA = 85 − 61,67 = 23,33 kN
Đáp số
RB = 61,67 kN
4.Phản lực gối của dầm
Đáp số: RB = 44,8 kN
Cân bằng tĩnh: một vật đứng yên có ΣFx = 0, ΣFy = 0 và ΣM = 0 quanh mọi điểm. Lấy mômen quanh một gối sẽ loại phản lực của gối đó khỏi phương trình.
Sơ đồ vật thể tự do
Thay các gối đỡ bằng phản lực. Gối di động cho một phản lực thẳng đứng; khi chỉ có tải thẳng đứng, gối cố định cũng cho một phản lực thẳng đứng.
Cân bằng
Mômen quanh A, chiều ngược kim đồng hồ là dương. Sau đó cân bằng lực theo phương thẳng đứng.
Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 4·4 = 16 kN, đặt tại x̄ = 8 m
ΣMA = 0: RB·10 = 40·8 + 4·4·8
RB = 448/10 = 44,8 kN
ΣFy = 0: RA = 56 − 44,8 = 11,2 kN
Đáp số
RB = 44,8 kN
5.Giàn: phương pháp tách nút
Đáp số: thanh CG
Thanh không lực: tại một nút, các lực phải cân bằng theo mọi phương. Nếu một nút không có tải và không có gối tựa, và hai trong ba thanh của nó thẳng hàng, thì cân bằng theo phương vuông góc với đường thẳng đó chỉ liên quan đến thanh thứ ba, nên lực của nó bằng không. Nếu chỉ có hai thanh gặp nhau tại một nút không chịu tải và chúng không thẳng hàng, cả hai đều bằng không.
Nút G
FG và GH nằm trên một đường thẳng và nút không chịu tải. Cân bằng lực theo phương vuông góc với đường thẳng đó chỉ còn lại CG.
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
Kiểm tra bằng phương pháp tách nút
Giải tất cả các nút cho các lực thanh sau (T = kéo, C = nén).
Thanh không lực: tại một nút, các lực phải cân bằng theo mọi phương. Nếu một nút không có tải và không có gối tựa, và hai trong ba thanh của nó thẳng hàng, thì cân bằng theo phương vuông góc với đường thẳng đó chỉ liên quan đến thanh thứ ba, nên lực của nó bằng không. Nếu chỉ có hai thanh gặp nhau tại một nút không chịu tải và chúng không thẳng hàng, cả hai đều bằng không.
Nút D
CD và DE nằm trên một đường thẳng và nút không chịu tải. Cân bằng lực theo phương vuông góc với đường thẳng đó chỉ còn lại DH.
ΣF⊥ = 0 → FDH = 0
Kiểm tra bằng phương pháp tách nút
Giải tất cả các nút cho các lực thanh sau (T = kéo, C = nén).
Khung và máy: khác với giàn, khung chứa ít nhất một thanh chịu lực tại nhiều hơn hai điểm, hoặc chịu tải giữa các chốt của nó. Trước hết tìm các thanh chịu hai lực: một thanh chỉ chịu tải tại hai chốt có lực dọc theo đường thẳng đi qua chúng, nên chỉ thêm một ẩn, không phải hai. Sau đó dùng toàn bộ kết cấu để tìm phản lực gối đỡ khi có không quá ba ẩn. Cuối cùng tháo khung ra: vẽ riêng từng thanh, với các lực tại chốt bằng nhau và ngược chiều trên hai thanh mà chúng nối, rồi viết ΣFx = 0, ΣFy = 0 và ΣM = 0 cho nó. Lấy mômen quanh một chốt loại bỏ cả hai thành phần lực của chốt đó khỏi phương trình.
Lực trong thanh giằng từ chân BC
By = 10 kN
T = 10·1/1,2 = 8,333 kN
Các thành phần của lực chốt lên BC
Cx = T = 8,333 kN, Cy = −By = −10 kN
Độ lớn
C = √(8,333² + 10²) = 13,02 kN
Đáp số
C = 13,02 kN
8.Khung và máy
Đáp số: T = 6 kN
Khung và máy: khác với giàn, khung chứa ít nhất một thanh chịu lực tại nhiều hơn hai điểm, hoặc chịu tải giữa các chốt của nó. Trước hết tìm các thanh chịu hai lực: một thanh chỉ chịu tải tại hai chốt có lực dọc theo đường thẳng đi qua chúng, nên chỉ thêm một ẩn, không phải hai. Sau đó dùng toàn bộ kết cấu để tìm phản lực gối đỡ khi có không quá ba ẩn. Cuối cùng tháo khung ra: vẽ riêng từng thanh, với các lực tại chốt bằng nhau và ngược chiều trên hai thanh mà chúng nối, rồi viết ΣFx = 0, ΣFy = 0 và ΣM = 0 cho nó. Lấy mômen quanh một chốt loại bỏ cả hai thành phần lực của chốt đó khỏi phương trình.
Toàn bộ khung: mômen quanh A
By·5 = 8·3
By = 4,8 kN
Chân BC: mômen quanh C
4,8·2,5 = T·2
T = 6 kN
Đáp số
T = 6 kN
T dương nghĩa là thanh giằng chịu kéo, đúng như đã giả sử.
9.Lực cắt và mômen uốn
Đáp số: Vx = −25 kN
Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt.
Phản lực gối
Cân bằng của cả dầm.
Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 10·6 = 60 kN, đặt tại x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 10·6·3
RB = 180/6 = 30 kN
ΣFy = 0: RA = 60 − 30 = 30 kN
Cắt tại x = 5,5 m và giữ phần bên trái
Chỉ các lực bên trái mặt cắt xuất hiện. Phần tải phân bố đều được thay bằng một lực đặt tại giữa phần đó.
V = RA − (mọi tải hướng xuống bên trái mặt cắt)
Vx = 30 − 10·5,5 = −25 kN
Đáp số
Vx = −25 kN
10.Lực cắt và mômen uốn
Đáp số: Mx = 24,75 kN·m
Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt.
Phản lực gối
Cân bằng của cả dầm.
Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 3·4 = 12 kN, đặt tại x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 25·1,5 + 3·4·2
RB = 61,5/4 = 15,38 kN
ΣFy = 0: RA = 37 − 15,38 = 21,63 kN
Cắt tại x = 2 m và giữ phần bên trái
Chỉ các lực bên trái mặt cắt xuất hiện. Phần tải phân bố đều được thay bằng một lực đặt tại giữa phần đó.
M = RA·x − (mỗi tải bên trái mặt cắt × cánh tay đòn đến mặt cắt)
Mx = 21,63·2 − 25·(2 − 1,5) − 3·2·1 = 24,75 kN·m
Đáp số
Mx = 24,75 kN·m
11.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt
Đáp số: Ix = 18,1 × 10⁶ mm⁴
Diện tích ghép: chia mặt cắt thành các hình chữ nhật. Trọng tâm là trung bình có trọng số theo diện tích ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Mômen quán tính của mặt cắt đối với trục đi qua trọng tâm bằng tổng bh³/12 của từng phần và số hạng trục song song A·d², trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm của phần đó đến trọng tâm chung. Ứng suất uốn là σ = M·y/I.
Chia thành các hình chữ nhật
Lấy đáy với toàn bộ chiều rộng và hai cánh phía trên nó (cao h − t), để không có phần nào bị tính hai lần.
nền: A1 = 120·12 = 1440 mm², y1 = 6 mm
hai cánh: A2 = 2·12·168 = 4032 mm², y2 = 12 + 168/2 = 96 mm
Tiết diện có lỗ: coi lỗ là một diện tích âm. Trọng tâm là ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), với A₁, y₁ cho tấm đầy đủ và A₂, y₂ cho lỗ. Với mômen quán tính diện tích quanh trục đi qua trọng tâm, dùng định lý trục song song cho từng phần rồi trừ lỗ: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm riêng của mỗi phần đến trục đi qua ȳ. Hình chữ nhật có Ic = bh³/12 và hình tròn có Ic = πd⁴/64.
Trọng tâm
ȳ = (40000·100 − 3000·80)/(40000 − 3000) = 101,6 mm