Phân tích kết cấu: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 10 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Phản lực gối của dầm

Cân bằng
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Tải phân bố đều
hợp lực w·L đặt tại giữa đoạn tải
Mômen
M = F·d

Phương pháp

  1. Vẽ sơ đồ vật thể tự do và thay mỗi gối đỡ bằng các phản lực của nó.
  2. Thay mọi tải phân bố bằng một lực duy nhất đặt tại trọng tâm của nó.
  3. Lấy mômen quanh một gối để tìm phản lực ở gối kia.
  4. Dùng ΣFy = 0 để tìm phản lực còn lại, và kiểm tra bằng một phương trình mômen thứ hai.

Lực cắt và mômen uốn

Lực cắt và mômen
V = ΣF ở một phía, M = ΣF·d ở một phía
Ứng suất uốn
σ = M·y/I
Hình chữ nhật
I = bh³/12
Mômen chống uốn của mặt cắt
W = I/ymax
Dầm đơn giản, tải phân bố đều
Mmax = wL²/8

Phương pháp

  1. Tìm phản lực gối từ cân bằng của cả dầm.
  2. Cắt dầm tại mặt cắt bạn cần và giữ lại một phía.
  3. Lực cắt: tổng các lực thẳng đứng ở phía đó. Mômen uốn: tổng mômen của chúng quanh mặt cắt.
  4. Để tìm mômen lớn nhất, hãy tìm nơi lực cắt bằng không.

Giàn: phương pháp tách nút

Phương pháp tách nút
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Phương pháp mặt cắt
ΣM = 0 about a cut point
Nội lực thanh
dương = kéo, âm = nén

Phương pháp

  1. Tìm phản lực gối cho cả giàn.
  2. Phương pháp tách nút: bắt đầu từ nút có tối đa hai nội lực thanh chưa biết và dùng ΣFx = 0 và ΣFy = 0.
  3. Phương pháp mặt cắt: cắt qua thanh bạn cần và lấy mômen quanh điểm mà các thanh chưa biết khác gặp nhau.
  4. Giả sử chịu kéo; đáp án âm nghĩa là chịu nén.

Độ võng của dầm

Tải tập trung ở giữa nhịp
δ = PL³/(48EI)
Tải phân bố đều, dầm đơn giản
δ = 5wL⁴/(384EI)
Công xôn, tải ở đầu
δ = PL³/(3EI)
Công xôn, tải phân bố đều
δ = wL⁴/(8EI)
Nguyên lý xếp chồng
δ = δ1 + δ2

Mất ổn định cột

Tải Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán
K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn
σcr = Pcr/A
Độ mảnh
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Bài tập

1.Phản lực gối của dầmTrung bình
P1​ = 70 kNP2​ = 70 kNABCRB​ = ?3,5 m1 m1,5 m

Dầm có gối cố định tại A và gối con lăn tại B, cách A 4,5 m, và đoạn công-xôn nhô ra khỏi B tới đầu tự do C. Tìm phản lực thẳng đứng RB, lấy chiều hướng lên là dương.

AB = 4,5 mAC = 6 mP1 = 70 kN tại 3,5 mP2 = 70 kN tại 6 m
RB = kN
2.Phản lực gối của dầmKhó
P = 45 kNADCMA​ = ?6 m3 m1 m

Một dầm ghép được ngàm vào tường tại A, có một khớp bản lề bên trong tại C (cách A 6 m) và tựa trên một gối con lăn tại D (cách A 10 m). Dầm chịu một lực tập trung P tại vị trí cách A 9 m. Tìm độ lớn của mô-men phản lực MA tại tường.

AC = 6 mAD = 10 mP = 45 kN tại 9 m
MA = kN·m
3.Lực cắt và mômen uốnTrung bình
w = 8 kN/mABmặt cắt2,5 m5,5 m

Tìm lực cắt Vx tại mặt cắt x = 2,5 m tính từ gối A. Coi mômen làm dầm võng xuống là dương và lực cắt hướng lên trên mặt trái là dương.

L = 8 mw = 8 kN/m từ 0 đến 8 mx = 2,5 m
Vx = kN
4.Lực cắt và mômen uốnKhó
w = 2 kN/mP = 45 kNABmặt cắt3 m2 m

Tìm mômen uốn Mx tại mặt cắt x = 3 m tính từ gối A. Coi mômen làm dầm võng xuống là dương và lực cắt hướng lên trên mặt trái là dương.

L = 5 mP = 45 kN tại 3 mw = 2 kN/m từ 0 đến 5 mx = 3 m
Mx = kN·m
5.Giàn: phương pháp tách nútTrung bình
ABCDEFGH30 kN30 kN25 kN4 × 4 m3 m

Đúng một thanh của giàn này không mang lực dưới các tải này. Thanh nào là thanh không lực? Nhấp vào nó trong sơ đồ.

D: 30 kN ↓F: 30 kN ↓G: 25 kN ↓
  1. 1thanh AB
  2. 2thanh BC
  3. 3thanh CD
  4. 4thanh DE
  5. 5thanh FG
  6. 6thanh GH
  7. 7thanh AF
  8. 8thanh HE
  9. 9thanh BF
  10. 10thanh CG
  11. 11thanh DH
  12. 12thanh FC
  13. 13thanh HC
6.Giàn: phương pháp tách nútKhó
ABBCACACB20 kN10 kN8 m6 m3 m

Dùng phương pháp tách nút để tìm lực FAC trong thanh AC. Lấy kéo là dương và nén là âm.

nhịp = 8 mchiều cao = 3 mB cách A 6 mtải thẳng đứng = 20 kNtải ngang = 10 kN →
FAC = kN
7.Độ võng của dầmTrung bình
w = 15 kN/mP = 2 kNABδ1,5 m

Một dầm công-xôn chịu tải phân bố đều w trên toàn bộ chiều dài và một lực tập trung P tại đầu tự do. Dùng nguyên lý chồng chất, tìm độ võng δ tại đầu tự do.

P = 2 kNw = 15 kN/mL = 1,5 mE = 70 GPa (nhôm)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.Độ võng của dầmKhó
w = 12 kN/mP = 20 kNδL = 1,5 m

Một dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w và một tải tập trung P ở giữa nhịp. Dùng nguyên lý xếp chồng, tìm độ võng giữa nhịp δmax.

P = 20 kNw = 12 kN/mL = 1,5 mE = 11 GPa (gỗ xẻ)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.Mất ổn định cộtTrung bình
PL = 6 md = 25 mmmặt cắt ngang

Một cột dài L làm bằng thép được ngàm cả hai đầu. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn Pcr của nó.

L = 6 mE = 200 GPa (thép)d = 25 mm
Pcr = kN
10.Mất ổn định cộtKhó
PL = 3 md = 40 mmmặt cắt ngang

Một cột dài L làm bằng nhôm được ngàm cả hai đầu. Tìm độ mảnh của nó và ứng suất oằn tới hạn σcr theo công thức Euler.

L = 3 mE = 70 GPa (nhôm)d = 40 mm
σcr = MPa

3Dung dịch

1.Phản lực gối của dầm

Đáp số: RB = 147,8 kN

Cân bằng tĩnh: một vật ở trạng thái nghỉ có ΣFx = 0, ΣFy = 0 và ΣM = 0 đối với mọi điểm. Thay mỗi tải phân bố bằng hợp lực của nó (diện tích) đặt tại trọng tâm của biểu đồ tải, và lấy mô-men đối với một gối để khử phản lực của gối đó khỏi phương trình.

Mômen quanh A

Ngược chiều kim đồng hồ là dương.

ΣMA = 0: RB·4,5 = 70·3,5 + 70·6
RB = 665/4,5 = 147,8 kN

Cân bằng theo phương thẳng đứng

RA = 70 + 70 − 147,8 = −7,778 kN

Đáp số

RB = 147,8 kN

RA âm: gối cố định tại A phải giữ dầm xuống.

2.Phản lực gối của dầm

Đáp số: MA = 67,5 kN·m

Cân bằng tĩnh: một vật ở trạng thái nghỉ có ΣFx = 0, ΣFy = 0 và ΣM = 0 đối với mọi điểm. Thay mỗi tải phân bố bằng hợp lực của nó (diện tích) đặt tại trọng tâm của biểu đồ tải, và lấy mô-men đối với một gối để khử phản lực của gối đó khỏi phương trình. Một khớp bản lề bên trong không truyền được mô-men uốn, điều này cho thêm một phương trình: mô-men đối với khớp của các lực ở mỗi phía bằng không.

Phần CD

Khớp không có mô-men, nên mô-men đối với C chỉ trên CD phải cân bằng.

ΣMC = 0: RD·4 = 45·3
RD = 33,75 kN
VC = 45 − 33,75 = 11,25 kN

Phần AC

Lực khớp VC tác dụng hướng xuống lên AC (bằng và ngược chiều với tác dụng của nó lên CD).

RA = 11,25 = 11,25 kN
MA = 11,25·6 = 67,5 kN·m

Đáp số

MA = 67,5 kN·m
3.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: Vx = 12 kN

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt.

Phản lực gối

Cân bằng của cả dầm.

Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 8·8 = 64 kN, đặt tại x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 8·8·4
RB = 256/8 = 32 kN
ΣFy = 0: RA = 64 − 32 = 32 kN
w = 8 kN/mABRA​ = 32RB​ = 32mặt cắt2,5 m5,5 m

Cắt tại x = 2,5 m và giữ phần bên trái

Chỉ các lực bên trái mặt cắt xuất hiện. Phần tải phân bố đều được thay bằng một lực đặt tại giữa phần đó.

V = RA − (mọi tải hướng xuống bên trái mặt cắt)
Vx = 32 − 8·2,5 = 12 kN

Đáp số

Vx = 12 kN
4.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: Mx = 60 kN·m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt.

Phản lực gối

Cân bằng của cả dầm.

Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 2·5 = 10 kN, đặt tại x̄ = 2,5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 45·3 + 2·5·2,5
RB = 160/5 = 32 kN
ΣFy = 0: RA = 55 − 32 = 23 kN
w = 2 kN/mP = 45 kNABRA​ = 23RB​ = 32mặt cắt3 m2 m

Cắt tại x = 3 m và giữ phần bên trái

Chỉ các lực bên trái mặt cắt xuất hiện. Phần tải phân bố đều được thay bằng một lực đặt tại giữa phần đó.

M = RA·x − (mỗi tải bên trái mặt cắt × cánh tay đòn đến mặt cắt)
Mx = 23·3 − 2·3·1,5 = 60 kN·m

Đáp số

Mx = 60 kN·m
5.Giàn: phương pháp tách nút

Đáp số: thanh BF

Thanh không lực: tại một nút, các lực phải cân bằng theo mọi phương. Nếu một nút không có tải và không có gối tựa, và hai trong ba thanh của nó thẳng hàng, thì cân bằng theo phương vuông góc với đường thẳng đó chỉ liên quan đến thanh thứ ba, nên lực của nó bằng không. Nếu chỉ có hai thanh gặp nhau tại một nút không chịu tải và chúng không thẳng hàng, cả hai đều bằng không.

Nút B

AB và BC nằm trên một đường thẳng và nút không chịu tải. Cân bằng lực theo phương vuông góc với đường thẳng đó chỉ còn lại BF.

ΣF⊥ = 0 → FBF = 0

Kiểm tra bằng phương pháp tách nút

Giải tất cả các nút cho các lực thanh sau (T = kéo, C = nén).

AB: 56,67 kN (T), BC: 56,67 kN (T), CD: 56,67 kN (T), DE: 56,67 kN (T), FG: 73,33 kN (C), GH: 73,33 kN (C), AF: 70,83 kN (C), HE: 70,83 kN (C), BF: 0, CG: 25 kN (C), DH: 30 kN (T), FC: 20,83 kN (T), HC: 20,83 kN (T)

Đáp số

Thanh không lực: BF
6.Giàn: phương pháp tách nút

Đáp số: FAC = 12,5 kN

Phương pháp tách nút: mọi chốt của giàn đều cân bằng, nên ΣFx = 0 và ΣFy = 0 tại mỗi nút. Bắt đầu từ nút có tối đa hai nội lực thanh chưa biết. Kết quả âm nghĩa là thanh chịu nén.

ABBCACACB20 kN10 kNAy​Cy​Ax​

Phản lực gối

Cân bằng của cả giàn. Mômen quanh A, chiều ngược kim đồng hồ là dương.

ΣMA = 0: Cy·8 = 20·6 + 10·3 → Cy = 18,75 kN
ΣFy = 0: Ay = 20 − 18,75 = 1,25 kN
ΣFx = 0: Ax = −10 kN

Nút C

Gối di động chỉ cho phản lực thẳng đứng, nên nút C chỉ có hai nội lực thanh chưa biết. Giả sử cả hai chịu kéo.

sin γ = 3/3,606 = 0,8321, cos γ = 2/3,606 = 0,5547
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −18,75/0,8321 = −22,53 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−22,53)·0,5547 = 12,5 kN

Đáp số

FAC = 12,5 kN (kéo)
7.Độ võng của dầm

Đáp số: δ = 2,943 mm

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

P = 2000 N, w = 15 N/mm, L = 1500 mm
EI = 3,99 × 10¹² N·mm²

Từng tải riêng rẽ

δP = PL³/(3EI) = 2000·1500³/(3·3,99 × 10¹²) = 0,5639 mm
δw = wL⁴/(8EI) = 15·1500⁴/(8·3,99 × 10¹²) = 2,379 mm

Cộng lại

δ = 0,5639 + 2,379 = 2,943 mm

Đáp số

δ = 2,943 mm
8.Độ võng của dầm

Đáp số: δmax = 3,504 mm

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

P = 20000 N, w = 12 N/mm, L = 1500 mm, EI = 6,27 × 10¹¹ N·mm²

Từng tải riêng rẽ

δP = PL³/(48EI) = 20000·1500³/(48·6,27 × 10¹¹) = 2,243 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·1500⁴/(384·6,27 × 10¹¹) = 1,262 mm

Cộng lại

δmax = 2,243 + 1,262 = 3,504 mm

Đáp số

δmax = 3,504 mm
9.Mất ổn định cột

Đáp số: Pcr = 4,205 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 0,5·6000 = 3000 mm

Tải trọng tới hạn

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/3000² = 4205 N = 4,205 kN

Đáp số

Pcr = 4,205 kN
10.Mất ổn định cột

Đáp số: σcr = 30,71 MPa

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Bán kính quán tính và độ mảnh

A = 1257 mm²
r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm
KL = 0,5·3000 = 1500 mm
KL/r = 1500/10 = 150

Ứng suất tới hạn

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/150² = 30,71 MPa

Đáp số

σcr = 30,71 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis