1.Dễ
Với f(x, y) = 2xy² − 2x² − 4y² − 3xy, hãy tìm đạo hàm riêng cấp hai hỗn hợp ∂²f/∂x∂y tại (2, −1).
f(x, y) = 2xy² − 2x² − 4y² − 3xyP = (2, −1)
fxy(2, −1) =
Phiếu bài tập Giải tích nhiều biến có đáp án
2.Dễ
Với f(x, y) = −xy + 5x² − y², hãy tìm đạo hàm riêng ∂f/∂y tại điểm (2, −3).
f(x, y) = −xy + 5x² − y²P = (2, −3)
fy(2, −3) =
3.Trung bình
Với f(x, y) = 3x³e0,5y, hãy tìm tốc độ thay đổi lớn nhất của f tại điểm (1, 0,5), tức là |∇f|.
f(x, y) = 3x³e0,5yP = (1, 0,5)
|∇f| =
4.Trung bình
Với f(x, y) = −2x³ey, hãy tìm hướng tăng dốc nhất tại (1, 0) dưới dạng góc θ so với trục x dương, theo độ trong khoảng −180° đến 180°.
f(x, y) = −2x³eyP = (1, 0)
θ = °
5.Khó
Hãy dùng tọa độ cực để tính I = ∬R √(x² + y²) dA, trong đó R là một phần tư của hình tròn x² + y² ≤ 9 trong góc phần tư thứ nhất.
f = √(x² + y²)0 ≤ r ≤ 30 ≤ θ ≤ π/2
I =
6.Khó
Hãy tìm các điểm tới hạn của f(x, y) = x³ + y³ + 6xy, phân loại chúng, và cho giá trị fmax của f tại cực đại địa phương của nó.
f(x, y) = x³ + y³ + 6xy
fmax =
Đáp án
- 1. fxy(2, −1) = −7
- 2. fy(2, −3) = 4
- 3. |∇f| = 11,72
- 4. θ = −161,6 °
- 5. I = 14,14
- 6. fmax = 8
Lời giải đầy đủ từng bước: hãy luyện chủ đề này trên examproblems.com.