Phiếu bài tập Tối ưu hóa có đáp án

Một nông dân có 160 m hàng rào để rào một thửa ruộng hình chữ nhật dọc theo một con sông thẳng. Không cần rào phía bờ sông. Tìm độ dài x của mỗi cạnh vuông góc với sông để diện tích lớn nhất.

Một chuồng hình chữ nhật được rào bằng 72 m hàng rào và chia thành hai phần bởi một hàng rào phụ song song với các cạnh có độ dài x (tổng cộng ba đoạn rào dài x và hai đoạn dài y). Tìm độ dài x cho tổng diện tích lớn nhất.

Một chiếc hộp hở (không nắp) có đáy vuông phải chứa được 62500 cm³. Dùng ít vật liệu nhất có thể, tức là tổng diện tích đáy và bốn mặt bên nhỏ nhất. Tìm cạnh đáy x.

Một mảnh đất hình chữ nhật diện tích 200 m² được rào cả bốn phía. Cạnh dọc theo mặt đường, dài x, tốn €20 mỗi mét; ba cạnh còn lại tốn €5 mỗi mét. Tìm tổng chi phí nhỏ nhất C.

Một nhà hát bán 950 vé mỗi suất diễn với giá €15 mỗi vé. Nghiên cứu thị trường cho thấy cứ tăng giá vé €1 thì bán được ít hơn 50 vé (và cứ giảm €1 thì bán thêm 50 vé). Tìm doanh thu lớn nhất R mỗi suất diễn.

Một doanh nghiệp nhỏ bán sản phẩm với giá thị trường cố định €20 mỗi sản phẩm. Sản xuất q sản phẩm tốn chi phí C(q) = 100 + 10q + 0,1q² euro. Tìm sản lượng q để lợi nhuận lớn nhất.