AP Calculus 练习题：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

极限

直接代入: 先试 x = a；得到 0/0 说明需要化简
因式分解并约去: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
共轭: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
无穷远处的极限: 除以 x 的最高次幂；次数相同时极限为首项系数之比
重要极限: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
洛必达法则: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

导数

幂法则: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
乘积法则: (uv)′ = u′v + uv′
商法则: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
链式法则: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
常用导数: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

方法

识别结构：和、积、商还是复合。
对 x 的每个幂应用幂法则。
需要时使用乘积法则、商法则或链式法则。
化简，如有要求再代入该点求值。

最优化

方法: 把 Q(x) 写成单变量函数，解 Q′(x) = 0，再检验 Q″ 或端点
最大值: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
最小值: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
封闭圆柱: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
利润: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

积分

幂法则: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定积分: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
常用积分: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲线间的面积: ∫_a^b (f − g) dx

方法

尽可能把被积函数改写为简单项之和。
应用幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)，以及 e^x、1/x、sin 和 cos 的基本积分。
当看到一个函数和它的导数同时出现时，用换元法。
对于定积分，计算 F(b) − F(a)。

微分方程

指数增长/衰减: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
半衰期: k = ln 2 / t_½
牛顿冷却定律: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
积分因子: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
混合槽: dm/dt = r·c − (r/V)·m

数列与级数

等差数列: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
等比数列: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
无穷等比级数: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-级数: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
比值判别法: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
收敛半径: R = lim |c_k/c_k+1|
泰勒多项式: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
麦克劳林级数: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
拉格朗日误差界: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

方法

判断类型：等差（公差恒定）、等比（公比恒定）、标准级数、幂级数还是泰勒多项式。
求和时使用 Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2、Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)，或 |r| < 1 时使用 S = a₁/(1 − r)，其中 a₁ 是和的第一项。
判断收敛性：先用通项判别法，再与 Σ1/kᵖ 或等比级数比较，含阶乘和 k 次幂的级数用比值判别法或根值判别法。
对于泰勒多项式，列出 f(a)、f′(a)、f″(a)、…，把第 k 阶导数除以 k!，并用 M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! 估计误差。

2练习题

1.极限中等

求极限 L = lim_x→∞ (1 + 1/x)^x。给出小数值。

f(x) = (1 + 1/x)^xx → ∞

L =

2.极限困难

求极限 L = lim_x→0 (e^0.5x − 1 − 0.5x)/x²。

f(x) = (e^0.5x − 1 − 0.5x)/x²x → 0

L =

3.导数中等

设 f(x) = ln(x² + 5)。求 f′(−1)。

f(x) = ln(x² + 5)x = −1

f′(−1) =

4.导数困难

设 f(x) = x³ + 4.5x² + 6x。求局部极大值点的 x 坐标 x。

f(x) = x³ + 4.5x² + 6x

x =

5.最优化中等

一个正方形底的无盖盒子须容纳 62500 cm³。要求用料尽可能少，即底面加四个侧面的面积最小。求底边长 x。

V = 62500 cm³

x = cm

6.最优化困难

一家剧院每场以每张 €10 售出 350 张票。市场调查显示，票价每提高 €1，售出的票就少 25 张（每降低 €1，就多 25 张）。求每场的最大收入 R。

350 × €1025 / €1

R = €

7.积分中等

计算 I = ∫₁⁴ x·ln x dx。

∫₁⁴ x ln x dx

I =

8.积分困难

求由 y = x² 和 y = 4x 围成区域的面积 A。

y = x²y = 4x

A =

9.微分方程中等

一杯 95 °C 的咖啡放在 18 °C 的房间里。 16 min 后其温度为 47 °C。它遵循牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ)。从开始算起需要多长时间 t 才能达到 27 °C？

T₀ = 95 °CT_a = 18 °CT(16) = 47 °CT = 27 °C

t = min

10.微分方程困难

求解 y′ + 0.5y = 10e^−t，y(0) = 1。求 y(0.5)。

y′ + 0.5y = 10e^−ty(0) = 1

y(0.5) =

11.数列与级数中等

对 Σ_k=1^∞ (k!)²·5ᵏ/(2k)! 应用比值判别法。求 L = lim |a_k+1/a_k|。

a_k = (k!)²·5ᵏ/(2k)!

L =

12.数列与级数困难

f(x) = cos x 在 x = 1 处用其 n 次麦克劳林多项式近似。利用拉格朗日误差界 M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)!（M = 1），求能保证误差小于 1 × 10⁻⁶ 的最小次数 n。

f(x) = cos xx = 1M = 1ε = 1 × 10⁻⁶

n =

3溶液

1.极限

答案: L = 2.718

极限：先尝试直接代入。若得到 0/0，先化简：因式分解并约去公因式，或乘以共轭式。当 x → ∞ 时，分子分母同除以 x 的最高次幂。洛必达法则：若 f/g 为 0/0 或 ∞/∞ 型，则 lim f/g = lim f′/g′，分子和分母分别求导（不是用商法则）。

取对数

ln L = lim_x→∞ x·ln(1 + 1/x)

求值

当 u → 0 时 ln(1 + u)/u → 1，所以 x·ln(1 + a/x) → a。

ln L = 1·1 = 1

还原对数

L = e¹ = 2.718

答案

L = 2.718

2.极限

答案: L = 0.125

第一次应用

(0.5·e^0.5x − 0.5)/(2x) → 0/0

第二次应用

0.25·e^0.5x/2

代入 x = 0

L = 0.25·1/2 = 0.125

答案

L = 0.125

3.导数

答案: f′(−1) = −0.3333

求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。

对数的链式法则

f′(x) = 2x/(x² + 5)

代入

f′(−1) = −2/6 = −0.3333

答案

f′(−1) = −0.3333

4.导数

答案: x = −2

导数

f′(x) = 3x² + 9x + 6 = 3·(x² + 3x + 2)

解 f′(x) = 0

x = −2 或 x = −1

判断哪个是哪个

f″(x) = 6x + 9：在极大值处为负，在极小值处为正。

f″(−2) = −3, f″(−1) = 3

x = −2

答案

x = −2

5.最优化

答案: x = 50 cm

最优化：把要优化的量写成单变量函数，利用约束条件消去另一个变量。令导数为零并求解。检验该临界点是最大值还是最小值（二阶导数或一阶导数的变号），并确认它位于允许范围内；像边长为零这样的端点不是答案。

面积关于 x 的函数

S(x) = x² + 250000/x

令导数为零

S″(x) = 2 + 500000/x³ > 0，所以这是最小值。

x³ = 125000 → x = 50 cm

高度和面积

h = 62500/50² = 25 cm

S = 50² + 250000/50 = 7500 cm²

答案

x = 50 cm

最优的无盖盒子高度是底边长的一半。

6.最优化

答案: R = 3600 €

收入关于价格的函数

n(p) = 600 − 25p

R(p) = 600p − 25p²

令导数为零

R″(p) = −50 < 0，所以这是最大值。

p = 600/50 = €12

最大收入

n = 600 − 25·12 = 300

R = 12·300 = €3600

答案

R = €3600

7.积分

答案: I = 7.34

分部积分：∫u·dv = u·v − ∫v·du，由乘积法则得出。把 u 选为求导后会变简单的因式（x 的幂或 ln x），把 dv 选为你能积分的因式（eˣ、sin x、cos x，或 u = ln x 时的 x）。对定积分，要在两个上下限处计算 u·v：∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du。含 x² 的因式需要做两轮。

选取 u 和 dv

u = ln x, du = dx/x; dv = x dx, v = x²/2

原函数

∫x ln x dx = (x²/2)ln x − ∫(x/2) dx = (x²/2)ln x − x²/4

极限

(8·ln 4 − 4) − (0 − 0.25) = 7.34

答案

I = 7.34

8.积分

答案: A = 10.67

定积分：∫ₐᵇ f(x) dx 是从 a 到 b 图像与 x 轴之间的有向面积。求一个原函数 F（F′ = f），再计算 F(b) − F(a)。幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。两条曲线之间的面积为 ∫(上 − 下) dx。

交点

x² = 4x → x = 0, x = 4

对上减下积分

A = [2x² − 0.3333x³]₀⁴ = 10.67

答案

A = 10.67

9.微分方程

答案: t = 35.17 min

一阶微分方程：dy/dt = k·y 的解为 y = y₀·e^kt（k > 0 时增长，k < 0 时衰减）；半衰期 T 对应 k = ln 2/T。牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ) 给出 T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt。线性方程 y′ + p(x)·y = q(x) 用积分因子 μ = e^{∫p dx} 求解：(μy)′ = μq，所以 μy = ∫μq dx + C。

冷却常数

k = ln(77/29)/16 = 0.06103 min⁻¹

达到目标温度的时间

t = ln(77/9)/0.06103 = 35.17 min

答案

t = 35.17 min

10.微分方程

答案: y(0.5) = 4.224

积分因子

μ = e^0.5t

(e^0.5ty)′ = 10e^−0.5t

通解

y = 10/(−0.5)·e^−t + C·e^−0.5t = −20·e^−t + C·e^−0.5t

初始条件

1 = −20 + C → C = 21

求值

y(0.5) = −20·0.6065 + 21·0.7788 = 4.224

答案

y(0.5) = 4.224

11.数列与级数

答案: L = 1.25

相邻项之比

|a_k+1/a_k| = 5·(k + 1)²/((2k + 2)(2k + 1)) → 5/4

结论

L = 1.25 > 1

答案

L = 1.25

L > 1，所以级数发散。

12.数列与级数

答案: n = 9

泰勒多项式：在 x = a 附近，光滑函数可用 Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! 近似；当 a = 0 时这就是麦克劳林多项式。标准级数：eˣ = Σxᵏ/k!，sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …，cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …，ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …，1/(1 − x) = Σxᵏ。拉格朗日误差界：|f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!，其中 M 是 |f⁽ⁿ⁺¹⁾| 在 a 与 x 之间的最大值。

n 增大时的误差界

n = 8: 2.756 × 10⁻⁶ ≥ 1 × 10⁻⁶

n = 9: 2.756 × 10⁻⁷ < 1 × 10⁻⁶

最小次数

n = 9

答案

n = 9

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