AP Calculus 练习题：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

极限

直接代入: 先试 x = a；得到 0/0 说明需要化简
因式分解并约去: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
共轭: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
无穷远处的极限: 除以 x 的最高次幂；次数相同时极限为首项系数之比
重要极限: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
洛必达法则: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

导数

幂法则: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
乘积法则: (uv)′ = u′v + uv′
商法则: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
链式法则: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
常用导数: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

方法

识别结构：和、积、商还是复合。
对 x 的每个幂应用幂法则。
需要时使用乘积法则、商法则或链式法则。
化简，如有要求再代入该点求值。

最优化

方法: 把 Q(x) 写成单变量函数，解 Q′(x) = 0，再检验 Q″ 或端点
最大值: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
最小值: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
封闭圆柱: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
利润: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

积分

幂法则: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定积分: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
常用积分: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲线间的面积: ∫_a^b (f − g) dx

方法

尽可能把被积函数改写为简单项之和。
应用幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)，以及 e^x、1/x、sin 和 cos 的基本积分。
当看到一个函数和它的导数同时出现时，用换元法。
对于定积分，计算 F(b) − F(a)。

微分方程

指数增长/衰减: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
半衰期: k = ln 2 / t_½
牛顿冷却定律: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
积分因子: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
混合槽: dm/dt = r·c − (r/V)·m

数列与级数

等差数列: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
等比数列: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
无穷等比级数: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-级数: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
比值判别法: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
收敛半径: R = lim |c_k/c_k+1|
泰勒多项式: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
麦克劳林级数: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
拉格朗日误差界: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

方法

判断类型：等差（公差恒定）、等比（公比恒定）、标准级数、幂级数还是泰勒多项式。
求和时使用 Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2、Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)，或 |r| < 1 时使用 S = a₁/(1 − r)，其中 a₁ 是和的第一项。
判断收敛性：先用通项判别法，再与 Σ1/kᵖ 或等比级数比较，含阶乘和 k 次幂的级数用比值判别法或根值判别法。
对于泰勒多项式，列出 f(a)、f′(a)、f″(a)、…，把第 k 阶导数除以 k!，并用 M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! 估计误差。

2练习题

1.极限中等

求极限 L = lim_x→∞ (1 + 3/x)^x。给出小数值。

f(x) = (1 + 3/x)^xx → ∞

L =

2.极限困难

求极限 L = lim_x→0 ln(1 + x)/sin(4x)，x 以弧度计。

f(x) = ln(1 + x)/sin(4x)x → 0

L =

3.导数中等

设 f(x) = (−2x + 3)⁵。求 f′(−1)。

f(x) = (−2x + 3)⁵x = −1

f′(−1) =

4.导数困难

设 f(x) = x³ − 7.5x² + 12x。求局部极小值点的 x 坐标 x。

f(x) = x³ − 7.5x² + 12x

x =

5.最优化中等

一个封闭圆柱形罐（有顶和底）须容纳 500 cm³。所用金属与总表面积成正比。求可能的最小表面积 A。

V = 500 cm³

A = cm²

6.最优化困难

一家剧院每场以每张 €15 售出 880 张票。市场调查显示，票价每提高 €1，售出的票就少 20 张（每降低 €1，就多 20 张）。求使收入最大的票价 p。

880 × €1520 / €1

p = €

7.积分中等

将 y = √(x) 之下、从 x = 0 到 x = 2 的区域绕 x 轴旋转。求该旋转体（抛物面体）的体积 V。

y = √(x)0 ≤ x ≤ 2

V =

8.积分困难

求抛物线 y = 4 − x² 与 x 轴之间区域的面积 A。

y = 4 − x²

A =

9.微分方程中等

解 y″ + 4y′ + 4y = 0，其中 y(0) = 5，y′(0) = 4。求 y(1)。

y″ + 4y′ + 4y = 0y(0) = 5y′(0) = 4

y(1) =

10.微分方程困难

一个系统在 t ≥ 0 时满足 y″ + 3y′ + 18.25y = 36.5，从静止开始：y(0) = 0，y′(0) = 0。求 y(0.25)；角度以弧度为单位。

y″ + 3y′ + 18.25y = 36.5y(0) = 0y′(0) = 0

y(0.25) =

11.数列与级数中等

幂级数 Σ_k=1^∞ 2ᵏ·(x + 2)ᵏ/(k + 1) 在以 x₀ = −2 为中心的区间上收敛。求该区间的左端点 x。

Σ 2ᵏ·(x + 2)ᵏ/(k + 1)x₀ = −2

x =

12.数列与级数困难

识别该级数并求它的和：S = Σ_k=0^∞ (−1)ᵏ·0.8^2k+1/(2k + 1)!。

a_k = (−1)ᵏ·0.8^2k+1/(2k + 1)!

S =

3溶液

1.极限

答案: L = 20.09

极限：先尝试直接代入。若得到 0/0，先化简：因式分解并约去公因式，或乘以共轭式。当 x → ∞ 时，分子分母同除以 x 的最高次幂。洛必达法则：若 f/g 为 0/0 或 ∞/∞ 型，则 lim f/g = lim f′/g′，分子和分母分别求导（不是用商法则）。

取对数

ln L = lim_x→∞ x·ln(1 + 3/x)

求值

当 u → 0 时 ln(1 + u)/u → 1，所以 x·ln(1 + a/x) → a。

ln L = 1·3 = 3

还原对数

L = e³ = 20.09

答案

L = 20.09

2.极限

答案: L = 0.25

洛必达法则

L = lim_x→0 [1/(1 + x)]/[4·cos 4x]

代入 x = 0

L = 1/4 = 0.25

答案

L = 0.25

3.导数

答案: f′(−1) = −6250

求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。

链式法则

f′(x) = 5·(−2x + 3)⁴·(−2)

代入

f′(−1) = 5·5⁴·(−2) = −6250

答案

f′(−1) = −6250

4.导数

答案: x = 4

导数

f′(x) = 3x² − 15x + 12 = 3·(x² − 5x + 4)

解 f′(x) = 0

x = 1 或 x = 4

判断哪个是哪个

f″(x) = 6x − 15：在极大值处为负，在极小值处为正。

f″(1) = −9, f″(4) = 9

x = 4

答案

x = 4

5.最优化

答案: A = 348.7 cm²

最优化：把要优化的量写成单变量函数，利用约束条件消去另一个变量。令导数为零并求解。检验该临界点是最大值还是最小值（二阶导数或一阶导数的变号），并确认它位于允许范围内；像边长为零这样的端点不是答案。

面积关于 r 的函数

h = 500/(πr²)

A(r) = 2πr² + 1000/r

令导数为零

A″(r) = 4π + 2000/r³ > 0，所以这是最小值。

4πr − 1000/r² = 0 → r = ∛(500/(2π)) = 4.301 cm

高度和面积

h = 500/(π·4.301²) = 2r = 8.603 cm

A = 2π·4.301² + 1000/4.301 = 348.7 cm²

答案

A = 348.7 cm²

最省料的封闭罐高度等于直径：h = 2r。

6.最优化

答案: p = 29.5 €

收入关于价格的函数

n(p) = 1180 − 20p

R(p) = 1180p − 20p²

令导数为零

R″(p) = −40 < 0，所以这是最大值。

p = 1180/40 = €29.5

最大收入

n = 1180 − 20·29.5 = 590

R = 29.5·590 = €17405

答案

p = €29.5

7.积分

答案: V = 6.283

旋转体体积：把 y = f(x) 之下、从 x = a 到 x = b 的区域绕 x 轴旋转，得到一个旋转体，它在 x 处的横截面是半径为 f(x) 的圆盘。把圆盘相加得 V = π∫ₐᵇ f(x)² dx。当区域位于外曲线 R(x) 与内曲线 r(x) 之间时，每个薄片是一个垫圈：V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx。相减之前要先把半径平方。

圆盘法

V = π∫₀² x dx

积分

V = π·1·2²/2 = 6.283

答案

V = 6.283

8.积分

答案: A = 10.67

定积分：∫ₐᵇ f(x) dx 是从 a 到 b 图像与 x 轴之间的有向面积。求一个原函数 F（F′ = f），再计算 F(b) − F(a)。幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。两条曲线之间的面积为 ∫(上 − 下) dx。

零点

4 − x² = 0 → x = ±2

积分

A = [4x − x³/3]₋₂² = 5.333 − (−5.333) = 10.67

答案

A = 10.67

9.微分方程

答案: y(1) = 2.571

二阶线性方程：对 y″ + b·y′ + c·y = 0，试 y = e^rt：得到特征方程 r² + b·r + c = 0。两个不等实根 r₁ ≠ r₂ 给出 y = A·e^r₁t + B·e^r₂t（过阻尼）；二重根 r 给出 y = (A + Bt)·e^rt（临界阻尼）；复根 −α ± jω 给出 y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt)（欠阻尼，振荡）。初值 y(0) 和 y′(0) 决定 A 和 B。写成 y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 时，ω_n 是固有频率，ζ 是阻尼比：ζ < 1 时振荡。在常值输入下，y″ + by′ + cy = c·K 的解是稳态值 K 加上自由响应。

二重根

(r + 2)² = 0 → r = −2

常数

A = y(0) = 5

y′(0) = B − 2A → B = 4 + 10 = 14

求值

y(1) = (5 + 14·1)·e⁻² = 2.571

答案

y(1) = 2.571

10.微分方程

答案: y(0.25) = 0.8236

稳态值与根

y_ss = 2, r = −1.5 ± 4j

由初值求常数

y(0) = 2 + A = 0 → A = −2

y′(0) = −1.5A + 4B = 0 → B = −0.75

求值

y(0.25) = 2·(1 − e^−0.375(cos 1 + 0.375·sin 1)) = 0.8236

答案

y(0.25) = 0.8236

11.数列与级数

答案: x = −2.5

系数

c_k/c_k+1 = (1/2)·(k + 2)/(k + 1) → 0.5

半径

R = 0.5

区间

−2.5 < x < −1.5

x = −2.5

答案

x = −2.5

比值判别法对两个端点没有结论；必须单独检验它们。

12.数列与级数

答案: S = 0.7174

泰勒多项式：在 x = a 附近，光滑函数可用 Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! 近似；当 a = 0 时这就是麦克劳林多项式。标准级数：eˣ = Σxᵏ/k!，sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …，cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …，ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …，1/(1 − x) = Σxᵏ。拉格朗日误差界：|f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!，其中 M 是 |f⁽ⁿ⁺¹⁾| 在 a 与 x 之间的最大值。

标准级数

Σ (−1)ᵏx^2k+1/(2k + 1)! = sin x

代入

x = 0.8

S = sin 0.8 = 0.7174

答案

S = 0.7174

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