AP Calculus 练习题：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

极限

直接代入: 先试 x = a；得到 0/0 说明需要化简
因式分解并约去: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
共轭: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
无穷远处的极限: 除以 x 的最高次幂；次数相同时极限为首项系数之比
重要极限: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
洛必达法则: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

导数

幂法则: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
乘积法则: (uv)′ = u′v + uv′
商法则: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
链式法则: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
常用导数: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

方法

识别结构：和、积、商还是复合。
对 x 的每个幂应用幂法则。
需要时使用乘积法则、商法则或链式法则。
化简，如有要求再代入该点求值。

最优化

方法: 把 Q(x) 写成单变量函数，解 Q′(x) = 0，再检验 Q″ 或端点
最大值: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
最小值: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
封闭圆柱: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
利润: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

积分

幂法则: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定积分: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
常用积分: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲线间的面积: ∫_a^b (f − g) dx

方法

尽可能把被积函数改写为简单项之和。
应用幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)，以及 e^x、1/x、sin 和 cos 的基本积分。
当看到一个函数和它的导数同时出现时，用换元法。
对于定积分，计算 F(b) − F(a)。

微分方程

指数增长/衰减: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
半衰期: k = ln 2 / t_½
牛顿冷却定律: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
积分因子: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
混合槽: dm/dt = r·c − (r/V)·m

数列与级数

等差数列: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
等比数列: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
无穷等比级数: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-级数: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
比值判别法: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
收敛半径: R = lim |c_k/c_k+1|
泰勒多项式: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
麦克劳林级数: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
拉格朗日误差界: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

方法

判断类型：等差（公差恒定）、等比（公比恒定）、标准级数、幂级数还是泰勒多项式。
求和时使用 Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2、Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)，或 |r| < 1 时使用 S = a₁/(1 − r)，其中 a₁ 是和的第一项。
判断收敛性：先用通项判别法，再与 Σ1/kᵖ 或等比级数比较，含阶乘和 k 次幂的级数用比值判别法或根值判别法。
对于泰勒多项式，列出 f(a)、f′(a)、f″(a)、…，把第 k 阶导数除以 k!，并用 M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! 估计误差。

2练习题

1.极限中等

求极限 L = lim_x→∞ (1 + 2/x)^x。给出小数值。

f(x) = (1 + 2/x)^xx → ∞

L =

2.极限困难

求极限 L = lim_x→0 (1 − cos 3x)/(2x²)，x 以弧度计。

f(x) = (1 − cos 3x)/(2x²)x → 0

L =

3.导数中等

设 f(x) = x·sin(3x)，x 以弧度计。求 f′(0.5)。

f(x) = x·sin(3x)x = 0.5 rad

f′(0.5) =

4.导数困难

f(x) = −x² + 2x − 2 在 x = −2 处的切线与 y 轴交于 y = b。求 b。

f(x) = −x² + 2x − 2x = −2

b =

5.最优化中等

一个封闭圆柱形罐（有顶和底）须容纳 400 cm³。所用金属与总表面积成正比。求用料最少时的半径 r。

V = 400 cm³

r = cm

6.最优化困难

一家小企业以固定的市场价格每件 €20 销售产品。生产 q 件的成本为 C(q) = 200 + 8q + 0.1q² 欧元。求最大利润 P。

p = €20C = 200 + 8q + 0.1q²

P = €

7.积分中等

计算 I = ∫₀^π/3 x·sin x dx（x 以弧度为单位）。

∫₀^π/3 x·sin x dx

I =

8.积分困难

求由 y = 2x² 和 y = 3x 围成区域的面积 A。

y = 2x²y = 3x

A =

9.微分方程中等

一个 420 °C 的钢锻件放在 20 °C 的车间里冷却。 27 min 后其温度为 124 °C。它遵循牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ)。从开始算起需要多长时间 t 才能达到 62 °C？

T₀ = 420 °CT_a = 20 °CT(27) = 124 °CT = 62 °C

t = min

10.微分方程困难

解 y″ + y′ + 4.25y = 0，其中 y(0) = 1，y′(0) = 0（从静止释放）。求 y(1.5)；角度以弧度为单位。

y″ + y′ + 4.25y = 0y(0) = 1y′(0) = 0

y(1.5) =

11.数列与级数中等

四个级数中恰有一个收敛。点选它。

A: Σ 2/k³B: Σ k/(k + 5)C: Σ (7/4)ᵏD: Σ k!/2ᵏ

1A: Σ 2/k³
2B: Σ k/(k + 5)
3C: Σ (7/4)ᵏ
4D: Σ k!/2ᵏ

12.数列与级数困难

f(x) = cos x 在 x = 0.5 处用其 3 次麦克劳林多项式近似。用拉格朗日误差界 M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)!（M = 1）求最大可能误差 |R₃|。

f(x) = cos xn = 3x = 0.5M = 1

|R₃| =

3溶液

1.极限

答案: L = 7.389

极限：先尝试直接代入。若得到 0/0，先化简：因式分解并约去公因式，或乘以共轭式。当 x → ∞ 时，分子分母同除以 x 的最高次幂。洛必达法则：若 f/g 为 0/0 或 ∞/∞ 型，则 lim f/g = lim f′/g′，分子和分母分别求导（不是用商法则）。

取对数

ln L = lim_x→∞ x·ln(1 + 2/x)

求值

当 u → 0 时 ln(1 + u)/u → 1，所以 x·ln(1 + a/x) → a。

ln L = 1·2 = 2

还原对数

L = e² = 7.389

答案

L = 7.389

2.极限

答案: L = 2.25

第一次应用

3·sin 3x/(4x) → 0/0

第二次应用

9·cos 3x/4

代入 x = 0

L = 9/4 = 2.25

答案

L = 2.25

3.导数

答案: f′(0.5) = 1.104

求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。

乘积法则与链式法则

f′(x) = sin(3x) + 3x·cos(3x)

代入

f′(0.5) = 0.9975 + 1.5·0.07074 = 1.104

答案

f′(0.5) = 1.104

4.导数

答案: b = 2

切点和斜率

f(−2) = −10

f′(x) = −2x + 2 → f′(−2) = 6

x = 0 处的切线值

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −10 − 6·(−2) = 2

答案

b = 2

5.最优化

答案: r = 3.993 cm

最优化：把要优化的量写成单变量函数，利用约束条件消去另一个变量。令导数为零并求解。检验该临界点是最大值还是最小值（二阶导数或一阶导数的变号），并确认它位于允许范围内；像边长为零这样的端点不是答案。

面积关于 r 的函数

h = 400/(πr²)

A(r) = 2πr² + 800/r

令导数为零

A″(r) = 4π + 1600/r³ > 0，所以这是最小值。

4πr − 800/r² = 0 → r = ∛(400/(2π)) = 3.993 cm

高度和面积

h = 400/(π·3.993²) = 2r = 7.986 cm

A = 2π·3.993² + 800/3.993 = 300.5 cm²

答案

r = 3.993 cm

最省料的封闭罐高度等于直径：h = 2r。

6.最优化

答案: P = 160 €

利润函数

P(q) = 20q − (200 + 8q + 0.1q²) = −0.1q² + 12q − 200

令导数为零

P″(q) = −0.2 < 0，所以这是最大值。

12 − 0.2q = 0 → q = 60

最大利润

P = 12·60 − 0.1·60² − 200 = €160

答案

P = €160

7.积分

答案: I = 0.3424

分部积分：∫u·dv = u·v − ∫v·du，由乘积法则得出。把 u 选为求导后会变简单的因式（x 的幂或 ln x），把 dv 选为你能积分的因式（eˣ、sin x、cos x，或 u = ln x 时的 x）。对定积分，要在两个上下限处计算 u·v：∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du。含 x² 的因式需要做两轮。

选取 u 和 dv

u = x, du = dx; dv = sin x dx, v = −cos x

原函数

∫x sin x dx = −x cos x + ∫cos x dx = −x cos x + sin x

极限

(−π/3·cos π/3 + sin π/3) − (0 + 0) = 0.3424

答案

I = 0.3424

8.积分

答案: A = 1.125

定积分：∫ₐᵇ f(x) dx 是从 a 到 b 图像与 x 轴之间的有向面积。求一个原函数 F（F′ = f），再计算 F(b) − F(a)。幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。两条曲线之间的面积为 ∫(上 − 下) dx。

交点

2x² = 3x → x = 0, x = 1.5

对上减下积分

A = [1.5x² − 0.6667x³]₀^1.5 = 1.125

答案

A = 1.125

9.微分方程

答案: t = 45.17 min

一阶微分方程：dy/dt = k·y 的解为 y = y₀·e^kt（k > 0 时增长，k < 0 时衰减）；半衰期 T 对应 k = ln 2/T。牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ) 给出 T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt。线性方程 y′ + p(x)·y = q(x) 用积分因子 μ = e^{∫p dx} 求解：(μy)′ = μq，所以 μy = ∫μq dx + C。

冷却常数

k = ln(400/104)/27 = 0.04989 min⁻¹

达到目标温度的时间

t = ln(400/42)/0.04989 = 45.17 min

答案

t = 45.17 min

10.微分方程

答案: y(1.5) = −0.451

二阶线性方程：对 y″ + b·y′ + c·y = 0，试 y = e^rt：得到特征方程 r² + b·r + c = 0。两个不等实根 r₁ ≠ r₂ 给出 y = A·e^r₁t + B·e^r₂t（过阻尼）；二重根 r 给出 y = (A + Bt)·e^rt（临界阻尼）；复根 −α ± jω 给出 y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt)（欠阻尼，振荡）。初值 y(0) 和 y′(0) 决定 A 和 B。写成 y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 时，ω_n 是固有频率，ζ 是阻尼比：ζ < 1 时振荡。在常值输入下，y″ + by′ + cy = c·K 的解是稳态值 K 加上自由响应。

复根

r = −0.5 ± 2j

常数

A = 1, B = 0.5·1/2 = 0.25

求值

y(1.5) = e^−0.75(1·cos 3 + 0.25·sin 3) = −0.451

答案

y(1.5) = −0.451

11.数列与级数

答案: A: Σ 2/k³

检验每个级数

A: Σ 2/k³ → p-级数，p = 3 > 1：收敛。

B: Σ k/(k + 5) → 各项趋于 1，而不是 0：由通项判别法，发散。

C: Σ (7/4)ᵏ → 等比级数，r = 7/4 > 1：各项增大，所以发散。

D: Σ k!/2ᵏ → 比值判别法：L = lim (k + 1)/2 = ∞，发散。

答案

A: Σ 2/k³

答案

A: Σ 2/k³

12.数列与级数

答案: |R₃| = 0.002604

泰勒多项式：在 x = a 附近，光滑函数可用 Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! 近似；当 a = 0 时这就是麦克劳林多项式。标准级数：eˣ = Σxᵏ/k!，sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …，cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …，ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …，1/(1 − x) = Σxᵏ。拉格朗日误差界：|f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!，其中 M 是 |f⁽ⁿ⁺¹⁾| 在 a 与 x 之间的最大值。

导数的上界

M = 1

拉格朗日误差界

|R₃| ≤ 1·0.5⁴/4! = 0.002604

答案

|R₃| = 0.002604

真实误差更小：|f(0.5) − P₃(0.5)| = 0.002583。

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