AP Calculus 练习题：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

极限

直接代入: 先试 x = a；得到 0/0 说明需要化简
因式分解并约去: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
共轭: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
无穷远处的极限: 除以 x 的最高次幂；次数相同时极限为首项系数之比
重要极限: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
洛必达法则: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

导数

幂法则: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
乘积法则: (uv)′ = u′v + uv′
商法则: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
链式法则: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
常用导数: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

方法

识别结构：和、积、商还是复合。
对 x 的每个幂应用幂法则。
需要时使用乘积法则、商法则或链式法则。
化简，如有要求再代入该点求值。

最优化

方法: 把 Q(x) 写成单变量函数，解 Q′(x) = 0，再检验 Q″ 或端点
最大值: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
最小值: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
封闭圆柱: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
利润: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

积分

幂法则: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定积分: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
常用积分: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲线间的面积: ∫_a^b (f − g) dx

方法

尽可能把被积函数改写为简单项之和。
应用幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)，以及 e^x、1/x、sin 和 cos 的基本积分。
当看到一个函数和它的导数同时出现时，用换元法。
对于定积分，计算 F(b) − F(a)。

微分方程

指数增长/衰减: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
半衰期: k = ln 2 / t_½
牛顿冷却定律: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
积分因子: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
混合槽: dm/dt = r·c − (r/V)·m

数列与级数

等差数列: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
等比数列: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
无穷等比级数: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-级数: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
比值判别法: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
收敛半径: R = lim |c_k/c_k+1|
泰勒多项式: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
麦克劳林级数: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
拉格朗日误差界: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

方法

判断类型：等差（公差恒定）、等比（公比恒定）、标准级数、幂级数还是泰勒多项式。
求和时使用 Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2、Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)，或 |r| < 1 时使用 S = a₁/(1 − r)，其中 a₁ 是和的第一项。
判断收敛性：先用通项判别法，再与 Σ1/kᵖ 或等比级数比较，含阶乘和 k 次幂的级数用比值判别法或根值判别法。
对于泰勒多项式，列出 f(a)、f′(a)、f″(a)、…，把第 k 阶导数除以 k!，并用 M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! 估计误差。

2练习题

1.极限中等

求极限 L = lim_x→∞ (√(x² − 8x) − x)。

f(x) = √(x² − 8x) − xx → ∞

L =

2.极限困难

求极限 L = lim_x→0 ln(1 + x)/sin(5x)，x 以弧度计。

f(x) = ln(1 + x)/sin(5x)x → 0

L =

3.导数中等

设 f(x) = x·sin(2x)，x 以弧度计。求 f′(2)。

f(x) = x·sin(2x)x = 2 rad

f′(2) =

4.导数困难

设 f(x) = x³ − 10.5x² + 30x + 3。求局部极小值点的 x 坐标 x。

f(x) = x³ − 10.5x² + 30x + 3

x =

5.最优化中等

一块 450 m² 的矩形地块四周都要围上围栏。临街一侧长 x，每米造价 €15；其他三边每米造价 €10。求最低总造价 C。

A = 450 m²€15/m€10/m

C = €

6.最优化困难

一家小企业以固定的市场价格每件 €65 销售产品。生产 q 件的成本为 C(q) = 1300 + 36q + 0.05q² 欧元。求最大利润 P。

p = €65C = 1300 + 36q + 0.05q²

P = €

7.积分中等

计算 I = ∫₁² 5/x dx。

f(x) = 5/x[1, 2]

I =

8.积分困难

求由 y = x² 和 y = 3x 围成区域的面积 A。

y = x²y = 3x

A =

9.微分方程中等

一杯 93 °C 的咖啡放在 19 °C 的房间里。 23 min 后其温度为 56 °C。它遵循牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ)。从开始算起需要多长时间 t 才能达到 32 °C？

T₀ = 93 °CT_a = 19 °CT(23) = 56 °CT = 32 °C

t = min

10.微分方程困难

一个系统在 t ≥ 0 时满足 y″ + 4y′ + 20y = 200，从静止开始：y(0) = 0，y′(0) = 0。求 y(0.75)；角度以弧度为单位。

y″ + 4y′ + 20y = 200y(0) = 0y′(0) = 0

y(0.75) =

11.数列与级数中等

求和 S = Σ_k=1^∞ 5/(k(k + 3))。

a_k = 5/(k(k + 3))

S =

12.数列与级数困难

f(x) = cos x 在 x = 0.5 处用其 2 次麦克劳林多项式近似。用拉格朗日误差界 M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)!（M = 1）求最大可能误差 |R₂|。

f(x) = cos xn = 2x = 0.5M = 1

|R₂| =

3溶液

1.极限

答案: L = −4

极限：先尝试直接代入。若得到 0/0，先化简：因式分解并约去公因式，或乘以共轭式。当 x → ∞ 时，分子分母同除以 x 的最高次幂。洛必达法则：若 f/g 为 0/0 或 ∞/∞ 型，则 lim f/g = lim f′/g′，分子和分母分别求导（不是用商法则）。

乘以共轭式

f(x) = −8x/(√(x² − 8x) + x)

除以 x

f(x) = −8/(√(1 + (−8)/x) + 1)

令 x → ∞

L = −8/(1 + 1) = −4

答案

L = −4

2.极限

答案: L = 0.2

洛必达法则

L = lim_x→0 [1/(1 + x)]/[5·cos 5x]

代入 x = 0

L = 1/5 = 0.2

答案

L = 0.2

3.导数

答案: f′(2) = −3.371

求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。

乘积法则与链式法则

f′(x) = sin(2x) + 2x·cos(2x)

代入

f′(2) = −0.7568 + 4·(−0.6536) = −3.371

答案

f′(2) = −3.371

4.导数

答案: x = 5

导数

f′(x) = 3x² − 21x + 30 = 3·(x² − 7x + 10)

解 f′(x) = 0

x = 2 或 x = 5

判断哪个是哪个

f″(x) = 6x − 21：在极大值处为负，在极小值处为正。

f″(2) = −9, f″(5) = 9

x = 5

答案

x = 5

5.最优化

答案: C = 948.7 €

最优化：把要优化的量写成单变量函数，利用约束条件消去另一个变量。令导数为零并求解。检验该临界点是最大值还是最小值（二阶导数或一阶导数的变号），并确认它位于允许范围内；像边长为零这样的端点不是答案。

造价关于 x 的函数

C(x) = 25x + 9000/x

令导数为零

C″(x) = 18000/x³ > 0，所以这是最小值。

x = √(9000/25) = 18.97 m

y = 450/18.97 = 23.72 m

最低造价

C = 25·18.97 + 9000/18.97 = €948.7

答案

C = €948.7

6.最优化

答案: P = 2905 €

利润函数

P(q) = 65q − (1300 + 36q + 0.05q²) = −0.05q² + 29q − 1300

令导数为零

P″(q) = −0.1 < 0，所以这是最大值。

29 − 0.1q = 0 → q = 290

最大利润

P = 29·290 − 0.05·290² − 1300 = €2905

答案

P = €2905

7.积分

答案: I = 3.466

定积分：∫ₐᵇ f(x) dx 是从 a 到 b 图像与 x 轴之间的有向面积。求一个原函数 F（F′ = f），再计算 F(b) − F(a)。幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。两条曲线之间的面积为 ∫(上 − 下) dx。

原函数

F(x) = 5·ln x

代入上下限

I = 5·(ln 2 − ln 1) = 5·ln 2 = 3.466

答案

I = 3.466

8.积分

答案: A = 4.5

交点

x² = 3x → x = 0, x = 3

对上减下积分

A = [1.5x² − 0.3333x³]₀³ = 4.5

答案

A = 4.5

9.微分方程

答案: t = 57.71 min

一阶微分方程：dy/dt = k·y 的解为 y = y₀·e^kt（k > 0 时增长，k < 0 时衰减）；半衰期 T 对应 k = ln 2/T。牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ) 给出 T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt。线性方程 y′ + p(x)·y = q(x) 用积分因子 μ = e^{∫p dx} 求解：(μy)′ = μq，所以 μy = ∫μq dx + C。

冷却常数

k = ln(74/37)/23 = 0.03014 min⁻¹

达到目标温度的时间

t = ln(74/13)/0.03014 = 57.71 min

答案

t = 57.71 min

10.微分方程

答案: y(0.75) = 12.05

二阶线性方程：对 y″ + b·y′ + c·y = 0，试 y = e^rt：得到特征方程 r² + b·r + c = 0。两个不等实根 r₁ ≠ r₂ 给出 y = A·e^r₁t + B·e^r₂t（过阻尼）；二重根 r 给出 y = (A + Bt)·e^rt（临界阻尼）；复根 −α ± jω 给出 y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt)（欠阻尼，振荡）。初值 y(0) 和 y′(0) 决定 A 和 B。写成 y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 时，ω_n 是固有频率，ζ 是阻尼比：ζ < 1 时振荡。在常值输入下，y″ + by′ + cy = c·K 的解是稳态值 K 加上自由响应。

稳态值与根

y_ss = 10, r = −2 ± 4j

由初值求常数

y(0) = 10 + A = 0 → A = −10

y′(0) = −2A + 4B = 0 → B = −5

求值

y(0.75) = 10·(1 − e^−1.5(cos 3 + 0.5·sin 3)) = 12.05

答案

y(0.75) = 12.05

11.数列与级数

答案: S = 3.056

部分分式

5/(k(k + 3)) = (5/3)·(1/k − 1/(k + 3))

取消

S = (5/3)·(1 + 1/2 + 1/3) = 3.056

答案

S = 3.056

12.数列与级数

答案: |R₂| = 0.02083

泰勒多项式：在 x = a 附近，光滑函数可用 Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! 近似；当 a = 0 时这就是麦克劳林多项式。标准级数：eˣ = Σxᵏ/k!，sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …，cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …，ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …，1/(1 − x) = Σxᵏ。拉格朗日误差界：|f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!，其中 M 是 |f⁽ⁿ⁺¹⁾| 在 a 与 x 之间的最大值。

导数的上界

M = 1

拉格朗日误差界

|R₂| ≤ 1·0.5³/3! = 0.02083

答案

|R₂| = 0.02083

真实误差更小：|f(0.5) − P₂(0.5)| = 0.002583。

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