极限
- 直接代入
- 先试 x = a；得到 0/0 说明需要化简
- 因式分解并约去
- xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
- 共轭
- (√x − √a)(√x + √a) = x − a
- 无穷远处的极限
- 除以 x 的最高次幂；次数相同时极限为首项系数之比
- 重要极限
- limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
- 洛必达法则
- lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)
微积分（一）：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
导数
- 幂法则
- (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
- 乘积法则
- (uv)′ = u′v + uv′
- 商法则
- (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
- 链式法则
- f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
- 常用导数
- (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x
方法
- 识别结构：和、积、商还是复合。
- 对 x 的每个幂应用幂法则。
- 需要时使用乘积法则、商法则或链式法则。
- 化简，如有要求再代入该点求值。
最优化
- 方法
- 把 Q(x) 写成单变量函数，解 Q′(x) = 0，再检验 Q″ 或端点
- 最大值
- Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
- 最小值
- Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
- 封闭圆柱
- V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
- 利润
- P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC
积分
- 幂法则
- ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
- 定积分
- ∫ab f dx = F(b) − F(a)
- 常用积分
- ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
- 曲线间的面积
- ∫ab (f − g) dx
方法
- 尽可能把被积函数改写为简单项之和。
- 应用幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)，以及 ex、1/x、sin 和 cos 的基本积分。
- 当看到一个函数和它的导数同时出现时，用换元法。
- 对于定积分，计算 F(b) − F(a)。
2练习题
1.极限中等
求极限 L = limx→∞ (4x3 + 6x − 9)/(x3 + 3x + 4)。
f(x) = (4x3 + 6x − 9)/(x3 + 3x + 4)x → ∞
L =
2.极限困难
求极限 L = limx→0 ln(1 + 4x)/sin(2x)，x 以弧度计。
f(x) = ln(1 + 4x)/sin(2x)x → 0
L =
3.导数中等
设 f(x) = x·sin(2x)，x 以弧度计。求 f′(0.5)。
f(x) = x·sin(2x)x = 0.5 rad
f′(0.5) =
4.导数困难
设 f(x) = x3 − 7.5x2 + 18x + 2。求局部极小值点的 x 坐标 x。
f(x) = x3 − 7.5x2 + 18x + 2
x =
5.最优化中等
一个封闭圆柱形罐（有顶和底）须容纳 1000 cm³。所用金属与总表面积成正比。 求用料最少时的半径 r。
V = 1000 cm³
r = cm
6.最优化困难
一家剧院每场以每张 €25 售出 2160 张票。市场调查显示，票价每提高 €1，售出的票就少 40 张（每降低 €1，就多 40 张）。 求使收入最大的票价 p。
2160 × €2540 / €1
p = €
7.积分中等
将 y = 2x 之下、从 x = 0 到 x = 1 的区域绕 x 轴旋转。求该旋转体（圆锥）的体积 V。
y = 2x0 ≤ x ≤ 1
V =
8.积分困难
求由 y = 0.5x2 和 y = x 围成区域的面积 A。
y = 0.5x2y = x
A =
3溶液
1.极限
答案: L = 4
极限：先尝试直接代入。若得到 0/0，先化简：因式分解并约去公因式，或乘以共轭式。当 x → ∞ 时，分子分母同除以 x 的最高次幂。洛必达法则：若 f/g 为 0/0 或 ∞/∞ 型，则 lim f/g = lim f′/g′，分子和分母分别求导（不是用商法则）。
除以最高次幂
(4 + 6/x2 + (−9)/x3)/(1 + 3/x2 + 4/x3)
令 x → ∞
L = 4/1 = 4
答案
L = 4
次数相同时，极限为首项系数之比。
2.极限
答案: L = 2
极限：先尝试直接代入。若得到 0/0，先化简：因式分解并约去公因式，或乘以共轭式。当 x → ∞ 时，分子分母同除以 x 的最高次幂。洛必达法则：若 f/g 为 0/0 或 ∞/∞ 型，则 lim f/g = lim f′/g′，分子和分母分别求导（不是用商法则）。
洛必达法则
L = limx→0 [4/(1 + 4x)]/[2·cos 2x]
代入 x = 0
L = 4/2 = 2
答案
L = 2
3.导数
答案: f′(0.5) = 1.382
求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。
乘积法则与链式法则
f′(x) = sin(2x) + 2x·cos(2x)
代入
f′(0.5) = 0.8415 + 1·0.5403 = 1.382
答案
f′(0.5) = 1.382
4.导数
答案: x = 3
求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。
导数
f′(x) = 3x2 − 15x + 18 = 3·(x2 − 5x + 6)
解 f′(x) = 0
x = 2 或 x = 3
判断哪个是哪个
f″(x) = 6x − 15：在极大值处为负，在极小值处为正。
f″(2) = −3, f″(3) = 3
x = 3
答案
x = 3
5.最优化
答案: r = 5.419 cm
最优化：把要优化的量写成单变量函数，利用约束条件消去另一个变量。令导数为零并求解。检验该临界点是最大值还是最小值（二阶导数或一阶导数的变号），并确认它位于允许范围内；像边长为零这样的端点不是答案。
面积关于 r 的函数
h = 1000/(πr²)
A(r) = 2πr² + 2000/r
令导数为零
A″(r) = 4π + 4000/r³ > 0，所以这是最小值。
4πr − 2000/r² = 0 → r = ∛(1000/(2π)) = 5.419 cm
高度和面积
h = 1000/(π·5.419²) = 2r = 10.84 cm
A = 2π·5.419² + 2000/5.419 = 553.6 cm²
答案
r = 5.419 cm
最省料的封闭罐高度等于直径：h = 2r。
6.最优化
答案: p = 39.5 €
最优化：把要优化的量写成单变量函数，利用约束条件消去另一个变量。令导数为零并求解。检验该临界点是最大值还是最小值（二阶导数或一阶导数的变号），并确认它位于允许范围内；像边长为零这样的端点不是答案。
收入关于价格的函数
n(p) = 3160 − 40p
R(p) = 3160p − 40p²
令导数为零
R″(p) = −80 < 0，所以这是最大值。
p = 3160/80 = €39.5
最大收入
n = 3160 − 40·39.5 = 1580
R = 39.5·1580 = €62410
答案
p = €39.5
7.积分
答案: V = 4.189
旋转体体积：把 y = f(x) 之下、从 x = a 到 x = b 的区域绕 x 轴旋转，得到一个旋转体，它在 x 处的横截面是半径为 f(x) 的圆盘。把圆盘相加得 V = π∫ₐᵇ f(x)² dx。当区域位于外曲线 R(x) 与内曲线 r(x) 之间时，每个薄片是一个垫圈：V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx。相减之前要先把半径平方。
圆盘法
V = π∫₀1 4x² dx
积分
V = π·4·1³/3 = 4.189
答案
V = 4.189
检验：半径 2、高 1 的圆锥体积为 (1/3)πr²h = 4.189。
8.积分
答案: A = 0.6667
定积分：∫ₐᵇ f(x) dx 是从 a 到 b 图像与 x 轴之间的有向面积。求一个原函数 F（F′ = f），再计算 F(b) − F(a)。幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。两条曲线之间的面积为 ∫(上 − 下) dx。
交点
0.5x2 = x → x = 0, x = 2
对上减下积分
A = [0.5x2 − 0.1667x3]02 = 0.6667
答案
A = 0.6667
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