极限
- 直接代入
- 先试 x = a；得到 0/0 说明需要化简
- 因式分解并约去
- xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
- 共轭
- (√x − √a)(√x + √a) = x − a
- 无穷远处的极限
- 除以 x 的最高次幂；次数相同时极限为首项系数之比
- 重要极限
- limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
- 洛必达法则
- lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)
微积分（一）：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
导数
- 幂法则
- (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
- 乘积法则
- (uv)′ = u′v + uv′
- 商法则
- (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
- 链式法则
- f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
- 常用导数
- (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x
方法
- 识别结构：和、积、商还是复合。
- 对 x 的每个幂应用幂法则。
- 需要时使用乘积法则、商法则或链式法则。
- 化简，如有要求再代入该点求值。
最优化
- 方法
- 把 Q(x) 写成单变量函数，解 Q′(x) = 0，再检验 Q″ 或端点
- 最大值
- Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
- 最小值
- Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
- 封闭圆柱
- V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
- 利润
- P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC
积分
- 幂法则
- ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
- 定积分
- ∫ab f dx = F(b) − F(a)
- 常用积分
- ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
- 曲线间的面积
- ∫ab (f − g) dx
方法
- 尽可能把被积函数改写为简单项之和。
- 应用幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)，以及 ex、1/x、sin 和 cos 的基本积分。
- 当看到一个函数和它的导数同时出现时，用换元法。
- 对于定积分，计算 F(b) − F(a)。
2练习题
1.极限中等
求极限 L = limx→∞ (x3 − 2x − 6)/(x3 + 6x + 4)。
f(x) = (x3 − 2x − 6)/(x3 + 6x + 4)x → ∞
L =
2.极限困难
求极限 L = limx→0 (1 − cos 2x)/(x²)，x 以弧度计。
f(x) = (1 − cos 2x)/(x²)x → 0
L =
3.导数中等
设 f(x) = ln(2x2 + 5)。求 f′(−2)。
f(x) = ln(2x2 + 5)x = −2
f′(−2) =
4.导数困难
设 f(x) = x3 + 7.5x2 + 18x − 2。求局部极小值点的 x 坐标 x。
f(x) = x3 + 7.5x2 + 18x − 2
x =
5.最优化中等
一块 200 m² 的矩形地块四周都要围上围栏。临街一侧长 x，每米造价 €15；其他三边每米造价 €8。 求最低总造价 C。
A = 200 m²€15/m€8/m
C = €
6.最优化困难
一家公司每周销售 q 件产品。能售出的价格为 p = 60 − 1q 欧元/件，成本为 C(q) = 100 + 25q 欧元。 求最大周利润 P。
p = 60 − 1qC = 100 + 25q
P = €
7.积分中等
将 y = 3x 之下、从 x = 0 到 x = 2 的区域绕 x 轴旋转。求该旋转体（圆锥）的体积 V。
y = 3x0 ≤ x ≤ 2
V =
8.积分困难
求由 y = 2x2 和 y = 2x 围成区域的面积 A。
y = 2x2y = 2x
A =
3溶液
1.极限
答案: L = 1
极限：先尝试直接代入。若得到 0/0，先化简：因式分解并约去公因式，或乘以共轭式。当 x → ∞ 时，分子分母同除以 x 的最高次幂。洛必达法则：若 f/g 为 0/0 或 ∞/∞ 型，则 lim f/g = lim f′/g′，分子和分母分别求导（不是用商法则）。
除以最高次幂
(1 + (−2)/x2 + (−6)/x3)/(1 + 6/x2 + 4/x3)
令 x → ∞
L = 1/1 = 1
答案
L = 1
次数相同时，极限为首项系数之比。
2.极限
答案: L = 2
极限：先尝试直接代入。若得到 0/0，先化简：因式分解并约去公因式，或乘以共轭式。当 x → ∞ 时，分子分母同除以 x 的最高次幂。洛必达法则：若 f/g 为 0/0 或 ∞/∞ 型，则 lim f/g = lim f′/g′，分子和分母分别求导（不是用商法则）。
第一次应用
2·sin 2x/(2x) → 0/0
第二次应用
4·cos 2x/2
代入 x = 0
L = 4/2 = 2
答案
L = 2
3.导数
答案: f′(−2) = −0.6154
求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。
对数的链式法则
f′(x) = 4x/(2x2 + 5)
代入
f′(−2) = −8/13 = −0.6154
答案
f′(−2) = −0.6154
4.导数
答案: x = −2
求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。
导数
f′(x) = 3x2 + 15x + 18 = 3·(x2 + 5x + 6)
解 f′(x) = 0
x = −3 或 x = −2
判断哪个是哪个
f″(x) = 6x + 15：在极大值处为负，在极小值处为正。
f″(−3) = −3, f″(−2) = 3
x = −2
答案
x = −2
5.最优化
答案: C = 542.6 €
最优化：把要优化的量写成单变量函数，利用约束条件消去另一个变量。令导数为零并求解。检验该临界点是最大值还是最小值（二阶导数或一阶导数的变号），并确认它位于允许范围内；像边长为零这样的端点不是答案。
造价关于 x 的函数
C(x) = 23x + 3200/x
令导数为零
C″(x) = 6400/x³ > 0，所以这是最小值。
x = √(3200/23) = 11.8 m
y = 200/11.8 = 16.96 m
最低造价
C = 23·11.8 + 3200/11.8 = €542.6
答案
C = €542.6
6.最优化
答案: P = 206.3 €
最优化：把要优化的量写成单变量函数，利用约束条件消去另一个变量。令导数为零并求解。检验该临界点是最大值还是最小值（二阶导数或一阶导数的变号），并确认它位于允许范围内；像边长为零这样的端点不是答案。
利润函数
P(q) = (60 − 1q)·q − (100 + 25q) = −q2 + 35q − 100
令导数为零
P″(q) = −2 < 0，所以这是最大值。
q = 35/2 = 17.5
价格和利润
p = 60 − 1·17.5 = €42.5
P = 35·17.5 − 1·17.5² − 100 = €206.3
答案
P = €206.3
7.积分
答案: V = 75.4
旋转体体积：把 y = f(x) 之下、从 x = a 到 x = b 的区域绕 x 轴旋转，得到一个旋转体，它在 x 处的横截面是半径为 f(x) 的圆盘。把圆盘相加得 V = π∫ₐᵇ f(x)² dx。当区域位于外曲线 R(x) 与内曲线 r(x) 之间时，每个薄片是一个垫圈：V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx。相减之前要先把半径平方。
圆盘法
V = π∫₀2 9x² dx
积分
V = π·9·2³/3 = 75.4
答案
V = 75.4
检验：半径 6、高 2 的圆锥体积为 (1/3)πr²h = 75.4。
8.积分
答案: A = 0.3333
定积分：∫ₐᵇ f(x) dx 是从 a 到 b 图像与 x 轴之间的有向面积。求一个原函数 F（F′ = f），再计算 F(b) − F(a)。幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。两条曲线之间的面积为 ∫(上 − 下) dx。
交点
2x2 = 2x → x = 0, x = 1
对上减下积分
A = [x2 − 0.6667x3]01 = 0.3333
答案
A = 0.3333
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