极限
- 直接代入
- 先试 x = a；得到 0/0 说明需要化简
- 因式分解并约去
- xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
- 共轭
- (√x − √a)(√x + √a) = x − a
- 无穷远处的极限
- 除以 x 的最高次幂；次数相同时极限为首项系数之比
- 重要极限
- limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
- 洛必达法则
- lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)
微积分（一）：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
导数
- 幂法则
- (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
- 乘积法则
- (uv)′ = u′v + uv′
- 商法则
- (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
- 链式法则
- f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
- 常用导数
- (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x
方法
- 识别结构：和、积、商还是复合。
- 对 x 的每个幂应用幂法则。
- 需要时使用乘积法则、商法则或链式法则。
- 化简，如有要求再代入该点求值。
最优化
- 方法
- 把 Q(x) 写成单变量函数，解 Q′(x) = 0，再检验 Q″ 或端点
- 最大值
- Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
- 最小值
- Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
- 封闭圆柱
- V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
- 利润
- P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC
积分
- 幂法则
- ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
- 定积分
- ∫ab f dx = F(b) − F(a)
- 常用积分
- ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
- 曲线间的面积
- ∫ab (f − g) dx
方法
- 尽可能把被积函数改写为简单项之和。
- 应用幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)，以及 ex、1/x、sin 和 cos 的基本积分。
- 当看到一个函数和它的导数同时出现时，用换元法。
- 对于定积分，计算 F(b) − F(a)。
2练习题
1.极限中等
求极限 L = limx→∞ (√(x2 + 8x) − x)。
f(x) = √(x2 + 8x) − xx → ∞
L =
2.极限困难
求极限 L = limx→0 (ex − 1 − x)/x²。
f(x) = (ex − 1 − x)/x²x → 0
L =
3.导数中等
设 f(x) = ln(x2 + 4)。求 f′(1)。
f(x) = ln(x2 + 4)x = 1
f′(1) =
4.导数困难
设 f(x) = x3 − 1.5x2 − 2。求局部极小值点的 x 坐标 x。
f(x) = x3 − 1.5x2 − 2
x =
5.最优化中等
一块 200 m² 的矩形地块四周都要围上围栏。临街一侧长 x，每米造价 €30；其他三边每米造价 €12。 求使造价最低的临街边长度 x。
A = 200 m²€30/m€12/m
x = m
6.最优化困难
一家剧院每场以每张 €15 售出 440 张票。市场调查显示，票价每提高 €1，售出的票就少 10 张（每降低 €1，就多 10 张）。 求每场的最大收入 R。
440 × €1510 / €1
R = €
7.积分中等
将 y = 0.5x 之下、从 x = 0 到 x = 3 的区域绕 x 轴旋转。求该旋转体（圆锥）的体积 V。
y = 0.5x0 ≤ x ≤ 3
V =
8.积分困难
计算 I = ∫₀3 x²·eˣ dx。
∫₀3 x²eˣ dx
I =
3溶液
1.极限
答案: L = 4
极限：先尝试直接代入。若得到 0/0，先化简：因式分解并约去公因式，或乘以共轭式。当 x → ∞ 时，分子分母同除以 x 的最高次幂。洛必达法则：若 f/g 为 0/0 或 ∞/∞ 型，则 lim f/g = lim f′/g′，分子和分母分别求导（不是用商法则）。
乘以共轭式
f(x) = 8x/(√(x2 + 8x) + x)
除以 x
f(x) = 8/(√(1 + 8/x) + 1)
令 x → ∞
L = 8/(1 + 1) = 4
答案
L = 4
2.极限
答案: L = 0.5
极限：先尝试直接代入。若得到 0/0，先化简：因式分解并约去公因式，或乘以共轭式。当 x → ∞ 时，分子分母同除以 x 的最高次幂。洛必达法则：若 f/g 为 0/0 或 ∞/∞ 型，则 lim f/g = lim f′/g′，分子和分母分别求导（不是用商法则）。
第一次应用
(1·ex − 1)/(2x) → 0/0
第二次应用
1·ex/2
代入 x = 0
L = 1·1/2 = 0.5
答案
L = 0.5
3.导数
答案: f′(1) = 0.4
求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。
对数的链式法则
f′(x) = 2x/(x2 + 4)
代入
f′(1) = 2/5 = 0.4
答案
f′(1) = 0.4
4.导数
答案: x = 1
求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。
导数
f′(x) = 3x2 − 3x = 3·(x2 − x)
解 f′(x) = 0
x = 0 或 x = 1
判断哪个是哪个
f″(x) = 6x − 3：在极大值处为负，在极小值处为正。
f″(0) = −3, f″(1) = 3
x = 1
答案
x = 1
5.最优化
答案: x = 10.69 m
最优化：把要优化的量写成单变量函数，利用约束条件消去另一个变量。令导数为零并求解。检验该临界点是最大值还是最小值（二阶导数或一阶导数的变号），并确认它位于允许范围内；像边长为零这样的端点不是答案。
造价关于 x 的函数
C(x) = 42x + 4800/x
令导数为零
C″(x) = 9600/x³ > 0，所以这是最小值。
x = √(4800/42) = 10.69 m
y = 200/10.69 = 18.71 m
最低造价
C = 42·10.69 + 4800/10.69 = €898
答案
x = 10.69 m
6.最优化
答案: R = 8703 €
最优化：把要优化的量写成单变量函数，利用约束条件消去另一个变量。令导数为零并求解。检验该临界点是最大值还是最小值（二阶导数或一阶导数的变号），并确认它位于允许范围内；像边长为零这样的端点不是答案。
收入关于价格的函数
n(p) = 590 − 10p
R(p) = 590p − 10p²
令导数为零
R″(p) = −20 < 0，所以这是最大值。
p = 590/20 = €29.5
最大收入
n = 590 − 10·29.5 = 295
R = 29.5·295 = €8703
答案
R = €8703
7.积分
答案: V = 7.069
旋转体体积：把 y = f(x) 之下、从 x = a 到 x = b 的区域绕 x 轴旋转，得到一个旋转体，它在 x 处的横截面是半径为 f(x) 的圆盘。把圆盘相加得 V = π∫ₐᵇ f(x)² dx。当区域位于外曲线 R(x) 与内曲线 r(x) 之间时，每个薄片是一个垫圈：V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx。相减之前要先把半径平方。
圆盘法
V = π∫₀3 0.25x² dx
积分
V = π·0.25·3³/3 = 7.069
答案
V = 7.069
检验：半径 1.5、高 3 的圆锥体积为 (1/3)πr²h = 7.069。
8.积分
答案: I = 98.43
分部积分：∫u·dv = u·v − ∫v·du，由乘积法则得出。把 u 选为求导后会变简单的因式（x 的幂或 ln x），把 dv 选为你能积分的因式（eˣ、sin x、cos x，或 u = ln x 时的 x）。对定积分，要在两个上下限处计算 u·v：∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du。含 x² 的因式需要做两轮。
第一轮
∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx
第二轮
∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ
∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)
极限
20.09·(5) − 1·2 = 98.43
答案
I = 98.43
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