微积分（二）：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

积分

幂法则
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定积分
∫ab f dx = F(b) − F(a)
常用积分
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲线间的面积
∫ab (f − g) dx

方法

  1. 尽可能把被积函数改写为简单项之和。
  2. 应用幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)，以及 ex、1/x、sin 和 cos 的基本积分。
  3. 当看到一个函数和它的导数同时出现时，用换元法。
  4. 对于定积分，计算 F(b) − F(a)。

数列与级数

等差数列
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
等比数列
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
无穷等比级数
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-级数
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
比值判别法
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
收敛半径
R = lim |ck/ck+1|
泰勒多项式
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
麦克劳林级数
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
拉格朗日误差界
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

方法

  1. 判断类型：等差（公差恒定）、等比（公比恒定）、标准级数、幂级数还是泰勒多项式。
  2. 求和时使用 Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2、Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)，或 |r| < 1 时使用 S = a₁/(1 − r)，其中 a₁ 是和的第一项。
  3. 判断收敛性：先用通项判别法，再与 Σ1/kᵖ 或等比级数比较，含阶乘和 k 次幂的级数用比值判别法或根值判别法。
  4. 对于泰勒多项式，列出 f(a)、f′(a)、f″(a)、…，把第 k 阶导数除以 k!，并用 M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! 估计误差。

多元微积分

偏导数
fx = ∂f/∂x (y constant), fxy = fyx
梯度
∇f = (fx, fy), largest slope |∇f|
方向导数
Duf = ∇f·u, u = v/|v|
切平面
z = f(a, b) + fx(x − a) + fy(y − b)
链式法则
dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt
二阶导数检验
D = fxxfyy − fxy²: D > 0, fxx > 0 minimum; D > 0, fxx < 0 maximum; D < 0 saddle
二重积分
∬R f dA = ∫ab∫g(x)h(x) f dy dx
极坐标
x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

方法

  1. 求偏导数时，把另一个变量当作常数，并使用一元函数的法则。
  2. 梯度类题目要在该点计算 ∇f = (fx, fy)；最陡斜率用 |∇f|，方向导数用 ∇f·u，其中 u 是单位向量。
  3. 求极值时联立求解 fx = 0 和 fy = 0，然后用 D = fxx·fyy − fxy² 对每个点分类。
  4. 对于二重积分，画出区域草图，选择积分顺序（圆盘用极坐标），使内层积分限是边界曲线，并先算内层。

微分方程

指数增长/衰减
dy/dt = ky → y = y0ekt
半衰期
k = ln 2 / t½
牛顿冷却定律
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
积分因子
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
混合槽
dm/dt = r·c − (r/V)·m

2练习题

1.积分中等
xy02

计算 I = ∫02 2x·(x² + 1)2 dx。

f(x) = 2x·(x² + 1)2[0, 2]
I =
2.积分困难
xyy = 0.5x2​y = 4x

求由 y = 0.5x2 和 y = 4x 围成区域的面积 A。

y = 0.5x2y = 4x
A =
3.数列与级数中等
AΣ 3/k³k = 1 … ∞BΣ 1/(3ᵏ + k)k = 1 … ∞CΣ (1 + 1/k)ᵏk = 1 … ∞DΣ (−1)ᵏ/kk = 1 … ∞

四个级数中恰有一个发散。点选它。

A: Σ 3/k³B: Σ 1/(3ᵏ + k)C: Σ (1 + 1/k)ᵏD: Σ (−1)ᵏ/k
  1. 1A: Σ 3/k³
  2. 2B: Σ 1/(3ᵏ + k)
  3. 3C: Σ (1 + 1/k)ᵏ
  4. 4D: Σ (−1)ᵏ/k
4.数列与级数困难
xyfP₂0.5

用 f(x) = 1/(1 − x) 的 2 次麦克劳林多项式近似 f(0.5)。给出 P₂(0.5)。

f(x) = 1/(1 − x)n = 2x = 0.5
P₂(0.5) =
5.多元微积分中等
xy−1−2∇fP

对于 f(x, y) = −2x²y² − 5x³ − 4y³ − xy，求 f 在点 (−1, −2) 处的最大变化率，即 |∇f|。

f(x, y) = −2x²y² − 5x³ − 4y³ − xyP = (−1, −2)
|∇f| =
6.多元微积分困难
xy0202(0, 0)(2, 2)

f(x, y) = x³ + y³ − 6xy 在 (0, 0) 处有一个临界点。计算该点的判别式 D = fxxfyy − fxy²。

f(x, y) = x³ + y³ − 6xyP = (0, 0)
D =
7.微分方程中等
t (min)T (°C)11Ta​15 °C

一罐 4 °C 的汽水从冰箱中取出，放到 30 °C 的房间里。 11 min 后其温度为 15 °C。 它遵循牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ)。 求常数 k，以 min⁻¹ 计。

T0 = 4 °CTa = 30 °CT(11) = 15 °C
k = min⁻¹
8.微分方程困难
tyK = 5ymax​ = ?

一个系统在 t ≥ 0 时满足 y″ + y′ + 9.25y = 46.25，从静止开始：y(0) = 0，y′(0) = 0。求其阶跃响应的峰值 ymax。

y″ + y′ + 9.25y = 46.25y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =

3溶液

1.积分

答案: I = 41.33

定积分：∫ₐᵇ f(x) dx 是从 a 到 b 图像与 x 轴之间的有向面积。求一个原函数 F（F′ = f），再计算 F(b) − F(a)。幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。两条曲线之间的面积为 ∫(上 − 下) dx。

换元

u = x² + 1, du = 2x dx
I = ∫15 u2 du

积分并代入上下限

I = [u3/3]15 = (125 − 1)/3 = 41.33

答案

I = 41.33
2.积分

答案: A = 42.67

定积分：∫ₐᵇ f(x) dx 是从 a 到 b 图像与 x 轴之间的有向面积。求一个原函数 F（F′ = f），再计算 F(b) − F(a)。幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。两条曲线之间的面积为 ∫(上 − 下) dx。

交点

0.5x2 = 4x → x = 0, x = 8

对上减下积分

A = [2x2 − 0.1667x3]08 = 42.67

答案

A = 42.67
3.数列与级数

答案: C: Σ (1 + 1/k)ᵏ

收敛性：如果各项不趋于 0，级数发散（通项判别法）。Σ1/kᵖ 仅当 p > 1 时收敛，Σrᵏ 仅当 |r| < 1 时收敛。当一个级数的项在 k 很大时与这些级数的项相近时，可与之比较。比值判别法：L = lim |ak+1/ak|；根值判别法：L = lim |ak|1/k。L < 1 收敛，L > 1 发散，L = 1 无法判断。幂级数 Σck(x − x₀)ᵏ 在 |x − x₀| < R 时收敛，其中 R = lim |ck/ck+1|；项递减趋于 0 的交错级数收敛。

检验每个级数

A: Σ 3/k³ → p-级数，p = 3 > 1：收敛。
B: Σ 1/(3ᵏ + k) → 小于 (1/3)ᵏ（收敛的等比级数）：由比较判别法收敛。
C: Σ (1 + 1/k)ᵏ → 各项趋于 e，而不是 0：由通项判别法，发散。
D: Σ (−1)ᵏ/k → 交错级数，1/k 递减趋于 0：收敛（条件收敛）。

答案

C: Σ (1 + 1/k)ᵏ

答案

C: Σ (1 + 1/k)ᵏ
4.数列与级数

答案: P₂(0.5) = 1.75

泰勒多项式：在 x = a 附近，光滑函数可用 Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! 近似；当 a = 0 时这就是麦克劳林多项式。标准级数：eˣ = Σxᵏ/k!，sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …，cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …，ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …，1/(1 − x) = Σxᵏ。拉格朗日误差界：|f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!，其中 M 是 |f⁽ⁿ⁺¹⁾| 在 a 与 x 之间的最大值。

麦克劳林多项式

P₂(x) = 1 + x + x²

代入

P₂(0.5) = 1 + 0.5 + 0.25 = 1.75

答案

P₂(0.5) = 1.75

精确值为 f(0.5) = 2；取更多项或取更靠近 0 的点时，误差 0.25 会变小。

5.多元微积分

答案: |∇f| = 39.12

梯度：∇f = (fx, fy) 指向最陡上升的方向，|∇f| 是最大变化率。沿方向 v 的方向导数为 Duf = ∇f·u，其中单位向量 u = v/|v|。在 (a, b) 处的切平面为 z = f(a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b)；它给出 f 在该点附近的线性近似。链式法则：dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt。

偏导数

fx = −4xy² − 15x² − y → fx(−1, −2) = 3
fy = −4x²y − 12y² − x → fy(−1, −2) = −39

梯度的长度

|∇f| = √(3² + (−39)²) = 39.12

答案

|∇f| = 39.12
6.多元微积分

答案: D = −36

临界点与二重积分：临界点满足 fx = fy = 0。用 D = fxxfyy − fxy² 做二阶导数检验：D > 0 且 fxx > 0 为局部极小值，D > 0 且 fxx < 0 为局部极大值，D < 0 为鞍点，D = 0 无法判断。对于一般区域上的二重积分，内层积分限取为围成该区域的曲线；对于圆盘和扇形，使用极坐标 x = r cos θ，y = r sin θ，dA = r dr dθ（不要忘了因子 r）。

二阶导数

fxx = 0, fyy = 0, fxy = −6

判别式

D = 0·0 − (−6)² = −36
→ 鞍点

答案

D = −36
7.微分方程

答案: k = 0.05 min⁻¹

一阶微分方程：dy/dt = k·y 的解为 y = y₀·ekt（k > 0 时增长，k < 0 时衰减）；半衰期 T 对应 k = ln 2/T。牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ) 给出 T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt。线性方程 y′ + p(x)·y = q(x) 用积分因子 μ = e∫p dx 求解：(μy)′ = μq，所以 μy = ∫μq dx + C。

温差之比

e−11k = -15/-26

解出 k

k = ln(-26/-15)/11 = 0.05 min⁻¹

答案

k = 0.05 min⁻¹
8.微分方程

答案: ymax = 7.962

二阶线性方程：对 y″ + b·y′ + c·y = 0，试 y = ert：得到特征方程 r² + b·r + c = 0。两个不等实根 r₁ ≠ r₂ 给出 y = A·er₁t + B·er₂t（过阻尼）；二重根 r 给出 y = (A + Bt)·ert（临界阻尼）；复根 −α ± jω 给出 y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt)（欠阻尼，振荡）。初值 y(0) 和 y′(0) 决定 A 和 B。写成 y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 时，ωn 是固有频率，ζ 是阻尼比：ζ < 1 时振荡。在常值输入下，y″ + by′ + cy = c·K 的解是稳态值 K 加上自由响应。

稳态值与根

yss = 5, r = −0.5 ± 3j

由初值求常数

y(0) = 5 + A = 0 → A = −5
y′(0) = −0.5A + 3B = 0 → B = −0.8333

峰值

t = π/3 = 1.047
ymax = 5·(1 + e−0.5·π/3) = 7.962

答案

ymax = 7.962

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