CFA Level I 定量方法与固定收益练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.货币的时间价值中等

你以每年 2% 的利率连续复利投资 €2 000。求 20 年后的价值 FV。

PV = €2 000r = 2%t = 20

FV = €

2.货币的时间价值困难

你在 22 年内每月月末存入 €50。账户年利率 6%，按月复利。期末共存了多少？求 FV。

A = €506% / 12N = 264

FV = €

3.NPV 与 IRR中等

一个项目今天需投入 €200 000。它在第一年年末产生 €9 000，之后现金流每年永久增长 3%。资本成本为 8%。求净现值 NPV。

C₀ = €200 000CF₁ = €9 000g = 3%r = 8%

NPV = €

4.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €20 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €14 500, €12 500, €11 500。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −20 000CF₁ = 14 500CF₂ = 12 500CF₃ = 11 500

IRR = %

5.债券定价与收益率中等

一只面值为 €1 000 的债券在 6 年后到期，每年付息。到期收益率为 3% 时其售价为 €1 271。求票面利率 c，以百分比表示。

F = €1 000n = 6P = €1 271YTM = 3%

c = %

6.债券定价与收益率困难

一只面值为 €1 000 的债券每年支付 4% 的票息，分两次半年支付，3 年后到期。其售价为 €1 028。求其到期收益率 YTM（以年利率表示，即半年收益率的两倍），以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 4% (2×)n = 3P = €1 028

YTM = %

7.CAPM 与 WACC中等

一只贝塔为 1.25 的股票要求回报为 12.75%。无风险利率为 4%。CAPM 隐含的预期市场回报 r_m 是多少？

β = 1.25r_e = 12.75%r_f = 4%

r_m = %

8.CAPM 与 WACC困难

某公司有2 000 000 股、每股 €25.00 的股票，以及 10 000 张、每张市价 €960 的债券。税前债务成本为 3.5%，税率为 25.8%。股票的 β 系数为 1.8，无风险利率为 2%，市场回报率为 7%。求 WACC。

β = 1.8r_f = 2%r_m = 7%r_d = 3.5%T = 25.8%

WACC = %

9.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：21, 11, 25, 35, 19, 55, 31。

n = 7

s =

10.描述统计困难

某量服从正态分布，平均数为 50，标准差为 15。数值低于 65 的比例 P 是多少？

μ = 50σ = 15x = 65

P =

11.概率中等

袋中有 3 个红球和 8 个蓝球。不放回地依次摸出两个球。两个都是红球的概率 P 是多少？

3 / 8

P =

12.概率困难

一局游戏的参与费用为 €3。你以概率 0.1 赢得 €12，以概率 0.05 赢得 €60；其余情况什么也赢不到。赌注不退还。求每局的期望净收益 E(G)。

赌注 = €3€12: p = 0.1€60: p = 0.05

E(G) = €

13.正态分布中等

拖动 z，使标准正态曲线下 −z 与 z 之间的阴影面积为 0.9756。求 z，保留两位小数。

A = 0.9756

z =

14.正态分布困难

成年男性的身高服从正态分布，均值为 178 cm，标准差为 7 cm。拖动截断值，使阴影的前 95% 位于其右侧。求截断值 x。

μ = 178 cmσ = 7 cm95%

x = cm

15.置信区间中等

一个包含 30 个个体的样本，均值为 60.5，标准差 s = 11。总体近似服从正态分布。求均值的 90% 置信区间的下限。

n = 30x̄ = 60.5s = 1190%t(29) = 1.699

下限 =

16.置信区间困难

对两种肥料进行试验。地块组 1：5 块地，平均产量 54.5 kg，标准差 8 kg。地块组 2：11 块地，均值 49.5 kg，标准差 4 kg。假设方差相等（合并 t，df = n₁ + n₂ − 2）。求 μ₁ − μ₂ 的 99% 置信区间的误差范围 E。

n₁ = 5x̄₁ = 54.5s₁ = 8n₂ = 11x̄₂ = 49.5s₂ = 499%t(14) = 2.977

E = kg

17.假设检验与置信区间中等

两条生产线生产同一种零件。生产线 1：30 个零件的样本平均长度为 106 mm，该生产线的已知标准差为 18 mm。生产线 2：60 个零件的样本均值为 98.1 mm，已知标准差为 17 mm。取差值为 x̄₁ − x̄₂（生产线 1 减生产线 2），求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 z。

n₁ = 30x̄₁ = 106 mmσ₁ = 18 mmn₂ = 60x̄₂ = 98.1 mmσ₂ = 17 mm

z =

18.假设检验与置信区间困难

在 α = 0.01 下的单侧 z 检验，必须以 80% 的功效检测出均值 1.5 个单位的偏移。标准差为 8。求最小样本量 n。

α = 0.01功效 = 80%δ = 1.5σ = 8z_α = 2.326z_β = 0.842

n =

19.线性回归与相关中等

表中给出 5 对观测值 x = 车龄（年）和 y = 价格 (k€)。求皮尔逊相关系数 r。

n = 5

r =

20.线性回归与相关困难

表中给出 5 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。新得到一个观测值 (4.5, 50)。求其残差 e = y − ŷ。

n = 5(4.5, 50)

e =

3溶液

1.货币的时间价值

答案: FV = 2984 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

指数

r·t = 0.02·20 = 0.4

e^0.4 = 1.492

终值

FV = 2 000·1.492 = €2 983.65

答案

FV = €2 983.65

2.货币的时间价值

答案: FV = 27311 €

月利率和存款次数

i = 0.06/12 = 0.005

N = 12·22 = 264

存款的终值

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 50·(3.731 − 1)/0.005 = €27 311.29

答案

FV = €27 311.29

你自己存入了 €13 200；其余是利息。

3.NPV 与 IRR

答案: NPV = −20000 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

现金流的价值

PV = 9 000/(0.08 − 0.03) = 180 000.00

NPV

NPV = 180 000.00 − 200 000 = −€20 000.00

答案

NPV = −€20 000.00

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

4.NPV 与 IRR

答案: IRR = 43.78 %

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(40%) = 925.66

NPV(45%) = −282.50

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 40 + 5·925.66/(925.66 − (−282.50)) = 43.83%

精确: NPV(43.78%) = 0 → IRR = 43.78%

答案

IRR = 43.78%

5.债券定价与收益率

答案: c = 8.003 %

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

面值的现值

1000·(1 + 0.03)⁻⁶ = €837.48

票息

C = (1271 − 837.48)/5.417 = €80.03

票面利率

c = 80.03/1000 = 8.003%

答案

c = 8.003%

6.债券定价与收益率

答案: YTM = 3.017 %

每期

C = €20.00, N = 6

数值求解

i = 1.508% 每半年

YTM

YTM = 2·1.508% = 3.017%

答案

YTM = 3.017%

7.CAPM 与 WACC

答案: r_m = 11 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

市场风险溢价

r_m − r_f = (12.75% − 4%)/1.25 = 7%

市场回报

r_m = 4% + 7% = 11%

答案

r_m = 11%

8.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 9.646 %

市场价值

E = 2 000 000·€25.00 = €50 000 000

D = 10 000·€960 = €9 600 000

股权成本（CAPM）

r_e = 2% + 1.8·5% = 11%

权重

V = €59 600 000, E/V = 0.8389, D/V = 0.1611

WACC

WACC = 0.8389·11% + 0.1611·3.5%·(1 − 0.258) = 9.646%

答案

WACC = 9.646%

9.描述统计

答案: s = 14.23

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 197/7 = 28.14

离差平方

Σ(x − x̄)² = (−7.143)² + (−17.14)² + (−3.143)² + 6.857² + (−9.143)² + 26.86² + 2.857² = 1215

标准差

s = √(1215/6) = 14.23

答案

s = 14.23

10.描述统计

答案: P = 0.8413

标准化

z = 1

标准正态分布表

Φ(1) = 0.8413

P = 0.8413

答案

P = 0.8413

11.概率

答案: P = 0.05455

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

第一次和第二次摸球

P = 3/11 · 2/10 = 6/110 = 0.05455

答案

P = 0.05455

12.概率

答案: E(G) = 1.2 €

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

净结果

G: 9 (p = 0.1), 57 (p = 0.05), −3 (p = 0.85)

期望值

E(G) = 9·0.1 + 57·0.05 − 3·0.85 = 1.2 €

答案

E(G) = 1.2 €

正值表示平均而言你会赢钱。

13.正态分布

答案: z = 2.25

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

z 左侧的面积

Φ(z) = (1 + 0.9756)/2 = 0.9878

反向查 z 表

在表中找到 0.9878，读出 z。

z = 2.25

答案

z = 2.25

14.正态分布

答案: x = 166.5 cm

左侧的面积

Φ(z) = 0.05

由表得到的 z

z ≈ −1.64

回到原来的单位

x = 178 − 1.64·7 = 166.5 cm

答案

x = 166.5 cm

15.置信区间

答案: 下限 = 57.09

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

临界值

df = n − 1 = 29, t = 1.699

误差范围

E = 1.699·11/√30 = 3.412

区间

60.5 ± 3.412 → [57.09, 63.91]

答案

下限 = 57.09

16.置信区间

答案: E = 8.753 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

合并标准差

s_p² = (4·8² + 10·4²)/14 = 29.71

s_p = 5.451

误差范围

E = 2.977·5.451·√(1/5 + 1/11) = 8.753

答案

E = 8.753 kg

17.假设检验与置信区间

答案: z = 1.999

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

差值的标准误

SE = √(18²/30 + 17²/60) = √15.62 = 3.952

检验统计量

z = (106 − 98.1)/3.952 = 1.999

答案

z = 1.999

|z| > 1.96，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。

18.假设检验与置信区间

答案: n = 286

检验的样本量：在水平 α 下的单侧 z 检验中，要以功效 1 − β 检测出真实偏移 δ，标准误必须满足 δ = (z_α + z_β)·σ/√n，所以 n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²，向上取整。

解出 n

n = ((2.326 + 0.842)·8/1.5)² = 285.5

向上取整

n = 286

答案

n = 286

19.线性回归与相关

答案: r = −0.9485

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

均值

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 89/5 = 17.8

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −23

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 58.8

答案

r = −0.9485

20.线性回归与相关

答案: e = −3.9

均值

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 232/5 = 46.4

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 50

回归直线

b = 50/10 = 5

a = 46.4 − 5·3 = 31.4

ŷ = 31.4 + 5·x

预测值

ŷ = 31.4 + 5·4.5 = 53.9

残差

e = 50 − 53.9 = −3.9

答案

e = −3.9

该点位于直线下方。

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