CFA Level I 定量方法与固定收益练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.货币的时间价值中等

你在 2 年后需要 €20 000。某账户年利率 3%，按季度复利。今天需要存入多少？求现值 PV。

FV = €20 0003% / 4n = 2

PV = €

2.货币的时间价值困难

一笔 €250 000 的抵押贷款在 20 年内按月等额偿还，年利率 3.6%，按月复利。在第 8 年年末那次还款之后，还欠多少？求未偿余额 B。

P = €250 0003.6% / 12N = 240k = 96

B = €

3.NPV 与 IRR中等

一个项目今天需投入 €400 000。它在第一年年末产生 €24 000，之后现金流每年永久增长 4%。资本成本为 9%。求净现值 NPV。

C₀ = €400 000CF₁ = €24 000g = 4%r = 9%

NPV = €

4.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €20 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €8 000, €13 000, €13 000。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −20 000CF₁ = 8 000CF₂ = 13 000CF₃ = 13 000

IRR = %

5.债券定价与收益率中等

一只面值为 €1 000 的债券每年支付 4% 的票息，15 年后到期。其到期收益率从 8% 变为 8.5%。债券价格变化多少 ΔP？

F = €1 000票面利率 = 4%n = 15y₁ = 8%y₂ = 8.5%

ΔP = €

6.债券定价与收益率困难

一只剩余期限为 10 年的债券（面值 €1 000，年票息 7%）售价 €1 198。发行人可在 3 年后以 €1 070 的赎回价格赎回。求赎回收益率 YTC，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 7%P = €1 198赎回价格 = €1 070赎回时间 3 年

YTC = %

7.CAPM 与 WACC中等

某公司有价值 €5 000 000 的股权和价值 €4 000 000 的债务。其股权成本为 13%，税前债务成本为 3.5%，税率为 20%。求 WACC。

E = €5 000 000D = €4 000 000r_e = 13%r_d = 3.5%T = 20%

WACC = %

8.CAPM 与 WACC困难

一家公司有 4 000 000 股股票，股价为 €24.00；其股权账面价值为 €57 600 000。公司刚支付了每股 €1.90 的股利，股利每年增长 2%。其债务市场价值为 €48 000 000，税前成本为 4%。税率为 21%。用股利增长模型计算股权资本成本，求 WACC。

N = 4 000 000P₀ = €24.00股权账面价值 = €57 600 000D₀ = €1.90g = 2%D = €48 000 000r_d = 4%T = 21%

WACC = %

9.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：59, 46, 50, 21, 47。

n = 5

s =

10.描述统计困难

某量服从正态分布，平均数为 50，标准差为 15。数值低于 20 的比例 P 是多少？

μ = 50σ = 15x = 20

P =

11.概率中等

对图中的分布，求 X 的标准差 σ。

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0.3, 0.3, 0.35, 0.05

σ =

12.概率困难

一份测试有 11 道选择题。一名靠猜的学生每题答对的概率为 0.3，相互独立。恰好答对 1 题的概率 P 是多少？

n = 11p = 0.3k = 1

P =

13.正态分布中等

X 服从均值 60 s、标准差 5 s 的正态分布；Y 独立，服从均值 45 s、标准差 4 s 的正态分布。求 X + Y 大于 117.8 s 的概率 P。z 取两位小数。

μ_X = 60, σ_X = 5μ_Y = 45, σ_Y = 4X + Y > 117.8 s

P =

14.正态分布困难

考试成绩服从正态分布，均值为 65 分，标准差为 10 分。拖动截断值，使阴影的后 10% 位于其左侧。求截断值 x。

μ = 65 分σ = 10 分10%

x = 分

15.置信区间中等

一个包含 15 个个体的样本，均值为 25，标准差 s = 7。总体近似服从正态分布。求均值的 95% 置信区间的上限。

n = 15x̄ = 25s = 795%t(14) = 2.145

上限 =

16.置信区间困难

30 根机加工轴的直径样本标准差为 5.8 µm。假设直径服从正态分布，求总体标准差 95% 置信区间的上限 σ。df = 29 时，χ² 分布有 2.5% 位于 16.047 以下，2.5% 位于 45.722 以上。

n = 30s = 5.8 µmχ² = 16.047, 45.722

σ = µm

17.假设检验与置信区间中等

25 名学生的样本平均分为 504.6，样本标准差为 8。求 H₀: μ = 500 的检验统计量 t。

μ₀ = 500x̄ = 504.6s = 8n = 25

t =

18.假设检验与置信区间困难

在 α = 0.05 下，用容量为 36 的样本对 H₀: μ = 200 与 H₁: μ < 200 进行单侧 z 检验；已知标准差为 18。实际上均值为 192.5。求该检验的功效 1 − β，以百分比表示。

μ₀ = 200μ = 192.5σ = 18n = 36α = 0.05

1 − β = %

19.线性回归与相关中等

表中给出 6 对观测值 x = 学习小时数和 y = 考试成绩。已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。

n = 6Σx = 33Σy = 476Σx² = 199Σy² = 38360Σxy = 2714

r =

20.线性回归与相关困难

表中给出 6 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 x 取何值 x 时，直线预测 ŷ = 24？

n = 6ŷ = 24

x =

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 18840 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = 0.03/4 = 0.0075

N = 4·2 = 8

现值

PV = FV/(1 + i)^N = 20 000/1.062 = €18 839.51

答案

PV = €18 839.51

2.货币的时间价值

答案: B = 170838 €

月供

i = 0.003, N = 240

A = 250 000·0.003/(1 − (1 + 0.003)⁻²⁴⁰) = €1 462.78

剩余还款的现值

尚欠的金额必须恰好由剩余的还款还清。

N − k = 240 − 96 = 144

B = 1463·(1 − (1 + 0.003)⁻¹⁴⁴)/0.003 = €170 838.23

答案

B = €170 838.23

3.NPV 与 IRR

答案: NPV = 80000 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

现金流的价值

PV = 24 000/(0.09 − 0.04) = 480 000.00

NPV

NPV = 480 000.00 − 400 000 = €80 000.00

答案

NPV = €80 000.00

NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。

4.NPV 与 IRR

答案: IRR = 29.22 %

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(25%) = 1 376.00

NPV(30%) = −236.69

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 25 + 5·1 376.00/(1 376.00 − (−236.69)) = 29.27%

精确: NPV(29.22%) = 0 → IRR = 29.22%

答案

IRR = 29.22%

5.债券定价与收益率

答案: ΔP = −31.31 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

按原收益率计算的价格

C = €40.00, i = 0.08, N = 15

€40.00·(1 − 0.3152)/0.08 + €1 000·0.3152 = €342.38 + €315.24 = €657.62

按新收益率计算的价格

C = €40.00, i = 0.085, N = 15

€40.00·(1 − 0.2941)/0.085 + €1 000·0.2941 = €332.17 + €294.14 = €626.31

变化

ΔP = 626.31 − 657.62 = −€31.31

答案

ΔP = −€31.31

6.债券定价与收益率

答案: YTC = 2.364 %

收益率方程

1198 = 70·(1 − (1 + y)⁻³)/y + 1070/(1 + y)³

数值求解

y = 2%: €1 210.16

y = 3%: €1 177.20

YTC = 2.364%

答案

YTC = 2.364%

到期收益率为 4.498%。溢价债券的投资者预期它会被赎回，所以较低的赎回收益率更符合实际。

7.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 8.467 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €9 000 000, E/V = 0.5556, D/V = 0.4444

WACC

WACC = 0.5556·13% + 0.4444·3.5%·(1 − 0.2) = 8.467%

答案

WACC = 8.467%

8.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 7.77 %

股权成本

D₁ = 1.9·1.02 = €1.94

r_e = 1.938/24 + 0.02 = 10.08%

市场价值

E = 4 000 000·€24.00 = €96 000 000

V = €144 000 000, E/V = 0.6667, D/V = 0.3333

WACC

WACC = 0.6667·10.08% + 0.3333·4%·(1 − 0.21) = 7.77%

答案

WACC = 7.77%

9.描述统计

答案: s = 14.15

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 223/5 = 44.6

离差平方

Σ(x − x̄)² = 14.4² + 1.4² + 5.4² + (−23.6)² + 2.4² = 801.2

标准差

s = √(801.2/4) = 14.15

答案

s = 14.15

10.描述统计

答案: P = 0.02275

标准化

z = −2

标准正态分布表

Φ(−2) = 0.02275

P = 0.02275

答案

P = 0.02275

11.概率

答案: σ = 0.9097

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

平均数

μ = 1·0.3 + 2·0.3 + 3·0.35 + 4·0.05 = 2.15

平方的均值

E(X²) = 1·0.3 + 4·0.3 + 9·0.35 + 16·0.05 = 5.45

方差

Var(X) = 5.45 − 2.15² = 0.8275

σ = √0.8275 = 0.9097

答案

σ = 0.9097

12.概率

答案: P = 0.09322

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

二项分布公式

P(X = 1) = 11·0.3¹·0.7¹⁰ = 11·0.3·0.02825 = 0.09322

答案

P = 0.09322

13.正态分布

答案: P = 0.02275

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

和的分布

μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6.403 s

标准化

z = (117.8 − 105)/6.403 = 2

上尾

P = 1 − Φ(2) = 1 − 0.9772 = 0.02275

答案

P = 0.02275

14.正态分布

答案: x = 52.2 分

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

左侧的面积

Φ(z) = 0.1

由表得到的 z

z ≈ −1.28

回到原来的单位

x = 65 − 1.28·10 = 52.2 分

答案

x = 52.2 分

15.置信区间

答案: 上限 = 28.88

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

临界值

df = n − 1 = 14, t = 2.145

误差范围

E = 2.145·7/√15 = 3.877

区间

25 ± 3.877 → [21.12, 28.88]

答案

上限 = 28.88

16.置信区间

答案: σ = 7.797 µm

方差的区间：(n − 1)s²/σ² 服从自由度为 n − 1 的 χ² 分布。σ² 的 95% 区间从 (n − 1)s² 除以上侧 χ² 值（其上方占 2.5%）到 (n − 1)s² 除以下侧 χ² 值（其下方占 2.5%）；σ 的区间是这两个限值的平方根。它关于 s 不对称。

平方和

(n − 1)s² = 29·5.8² = 975.6

σ² 的限值

975.6/45.722 = 21.34

975.6/16.047 = 60.79

σ 的限值

σ = √60.79 = 7.797 µm

答案

σ = 7.797 µm

σ 的 95% 区间：[4.619, 7.797] µm。

17.假设检验与置信区间

答案: t = 2.875

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

标准误

SE = 8/√25 = 8/5 = 1.6

检验统计量

t = (504.6 − 500)/1.6 = 2.875

答案

t = 2.875

t_{0.025; df = 24} = 2.064

|t| > 2.064，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。

18.假设检验与置信区间

答案: 1 − β = 80.37 %

检验功效：功效 = 1 − β，是 H₀ 为假时拒绝 H₀ 的概率。由 μ₀ 和 z_α 求出临界值 x̄c，再用真实均值计算落在 x̄c 以外的概率：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。

临界样本均值

SE = 18/√36 = 3

x̄_c = 200 − 1.645·3 = 195.1

真实均值下的 z

z = (195.1 − 192.5)/3 = 0.855

功率

功效 = P(Z < 0.855) = 80.37%

1 − β = 80.37%

答案

1 − β = 80.37%

19.线性回归与相关

答案: r = 0.939

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

中心化后的和

S_xy = 2714 − 33·476/6 = 96

S_xx = 199 − 33²/6 = 17.5

S_yy = 38360 − 476²/6 = 597.3

答案

r = 0.939

20.线性回归与相关

答案: x = 9.108

均值

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 114/6 = 19

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 166

回归直线

b = 166/70 = 2.371

a = 19 − 2.371·7 = 2.4

ŷ = 2.4 + 2.371·x

解出 x

x = (24 − 2.4)/2.371 = 9.108

答案

x = 9.108

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