CFA Level I 定量方法与固定收益练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.货币的时间价值中等

你以名义年利率 4% 投资 €12 000，按月复利。求 9 年后的投资价值 FV。

PV = €12 0004% / 12n = 9

FV = €

2.货币的时间价值困难

你希望在 3 年后得到 €75 000。你在每月月末把相同的金额存入一个年利率 2.4%、按月复利的账户。求每月存款额 A。

FV = €75 0002.4% / 12N = 36

A = €

3.NPV 与 IRR中等

一项 €60 000 的投资在第 1 年至第 4 年年末带来以下现金流：€14 000, €15 000, €15 000, €18 000。资本成本为 5%。求净现值 NPV。

r = 5%CF₀ = −60 000CF₁ = 14 000CF₂ = 15 000CF₃ = 15 000CF₄ = 18 000

NPV = €

4.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €25 000，在第 1 年至第 2 年年末每年回收 €17 500, €14 500。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −25 000CF₁ = 17 500CF₂ = 14 500

IRR = %

5.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 5%，每半年付息一次，9 年后到期。到期收益率为每年 2.5%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 5%YTM = 2.5%n = 9

P = €

6.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 5% 的债券 10 年后到期，售价为 €1 080。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 5%n = 10P = €1 080

YTM = %

7.CAPM 与 WACC中等

一家公司的融资由价值 €4 000 000 的普通股、价值 €1 500 000 的优先股和价值 €2 000 000 的债务构成。股权资本成本为 10%，优先股成本为 7%，税前债务成本为 5%。税率为 21%。求 WACC。

E = €4 000 000P_s = €1 500 000D = €2 000 000r_e = 10%r_p = 7%r_d = 5%T = 21%

WACC = %

8.CAPM 与 WACC困难

一家公司有 1 000 000 股股票，股价为 €55.00；其股权账面价值为 €27 500 000。公司刚支付了每股 €1.10 的股利，股利每年增长 4%。其债务市场价值为 €16 500 000，税前成本为 4.5%。税率为 20%。用股利增长模型计算股权资本成本，求 WACC。

N = 1 000 000P₀ = €55.00股权账面价值 = €27 500 000D₀ = €1.10g = 4%D = €16 500 000r_d = 4.5%T = 20%

WACC = %

9.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：48, 46, 51, 53, 40。

n = 5

s =

10.描述统计困难

某量服从正态分布，平均数为 50，标准差为 5。数值高于 44 的比例 P 是多少？

μ = 50σ = 5x = 44

P =

11.概率中等

从 15 人中选出 4 人组成委员会，有多少种选法 N？顺序无关。

n = 15k = 4

N =

12.概率困难

一局游戏的参与费用为 €3。你以概率 0.25 赢得 €12，以概率 0.05 赢得 €30；其余情况什么也赢不到。赌注不退还。求每局的期望净收益 E(G)。

赌注 = €3€12: p = 0.25€30: p = 0.05

E(G) = €

13.正态分布中等

水泥袋的质量相互独立，服从均值 25 kg、标准差 0.5 kg 的正态分布。求其中 4 个的总质量超过 99.5 kg 的概率 P。z 取两位小数。

μ = 25 kgσ = 0.5 kgn = 4> 99.5 kg

P =

14.正态分布困难

孔径 D 服从均值 25.02 mm、标准差 0.02 mm 的正态分布。轴径 d 独立，服从均值 25 mm、标准差 0.015 mm 的正态分布。随机选取的一根轴在 D − d > 0 时能装入。求它能装入的概率 P。z 取两位小数。

孔: μ = 25.02 mm, σ = 0.02 mm轴: μ = 25 mm, σ = 0.015 mm

P =

15.置信区间中等

一个包含 10 个个体的样本，均值为 18，标准差 s = 14。总体近似服从正态分布。求均值的 95% 置信区间的下限。

n = 10x̄ = 18s = 1495%t(9) = 2.262

下限 =

16.置信区间困难

总体标准差为 22。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 90% 置信区间的误差范围不超过 1.5？

σ = 22E = 1.590%

n =

17.假设检验与置信区间中等

81 名学生的样本平均分为 121.9，样本标准差为 10。求 H₀: μ = 120 的检验统计量 t。

μ₀ = 120x̄ = 121.9s = 10n = 81

t =

18.假设检验与置信区间困难

在 α = 0.10 下，用容量为 100 的样本对 H₀: μ = 200 与 H₁: μ > 200 进行单侧 z 检验；已知标准差为 5。实际上均值为 201.2。求该检验的功效 1 − β，以百分比表示。

μ₀ = 200μ = 201.2σ = 5n = 100α = 0.10

1 − β = %

19.线性回归与相关中等

表中给出 6 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。求皮尔逊相关系数 r。

n = 6

r =

20.线性回归与相关困难

表中给出 5 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。预测 x = 6.5 时的 ŷ。

n = 5x = 6.5

ŷ =

3溶液

1.货币的时间价值

答案: FV = 17190 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = r/m = 0.04/12 = 0.003333

N = m·n = 12·9 = 108

终值

FV = 12 000·(1 + 0.003333)¹⁰⁸ = 12 000·1.432 = €17 189.66

答案

FV = €17 189.66

2.货币的时间价值

答案: A = 2011 €

月利率和存款次数

i = 0.024/12 = 0.002

N = 12·3 = 36

存款额

A = FV·i/((1 + i)^N − 1) = 75 000·0.002/(1.075 − 1) = €2 011.31

答案

A = €2 011.31

3.NPV 与 IRR

答案: NPV = −5295 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −60 000

CF₁/(1 + 0.05)¹ = 14 000/1.05 = 13 333.33

CF₂/(1 + 0.05)² = 15 000/1.103 = 13 605.44

CF₃/(1 + 0.05)³ = 15 000/1.158 = 12 957.56

CF₄/(1 + 0.05)⁴ = 18 000/1.216 = 14 808.64

相加

NPV = €−5 295.02

答案

NPV = €−5 295.02

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

4.NPV 与 IRR

答案: IRR = 18.82 %

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(15%) = 1 181.47

NPV(20%) = −347.22

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 15 + 5·1 181.47/(1 181.47 − (−347.22)) = 18.86%

精确: NPV(18.82%) = 0 → IRR = 18.82%

答案

IRR = 18.82%

5.债券定价与收益率

答案: P = 1200 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €25.00, i = 0.0125, N = 18

票息的现值

€25.00·(1 − 0.7996)/0.0125 = €400.74

面值的现值

€1 000·0.7996 = €799.63

价格

P = €1 200.37

答案

P = €1 200.37

收益率低于票面利率，所以债券溢价出售。

6.债券定价与收益率

答案: YTM = 4.013 %

收益率方程

€1 080 = €50·(1 − (1 + y)⁻¹⁰)/y + €1 000/(1 + y)¹⁰

数值求解

P(4%) = €1 081.11, P(5%) = €1 000.00

YTM = 4.013%

答案

YTM = 4.013%

7.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 7.787 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = 4 000 000 + 1 500 000 + 2 000 000 = €7 500 000

E/V = 0.5333, P_s/V = 0.2, D/V = 0.2667

WACC

WACC = 0.5333·10% + 0.2·7% + 0.2667·5%·(1 − 0.21) = 7.787%

答案

WACC = 7.787%

8.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 5.508 %

股权成本

D₁ = 1.1·1.04 = €1.14

r_e = 1.144/55 + 0.04 = 6.08%

市场价值

E = 1 000 000·€55.00 = €55 000 000

V = €71 500 000, E/V = 0.7692, D/V = 0.2308

WACC

WACC = 0.7692·6.08% + 0.2308·4.5%·(1 − 0.2) = 5.508%

答案

WACC = 5.508%

9.描述统计

答案: s = 5.03

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 238/5 = 47.6

离差平方

Σ(x − x̄)² = 0.4² + (−1.6)² + 3.4² + 5.4² + (−7.6)² = 101.2

标准差

s = √(101.2/4) = 5.03

答案

s = 5.03

10.描述统计

答案: P = 0.8849

标准化

z = −1.2

标准正态分布表

Φ(−1.2) = 0.1151

P = 1 − 0.1151 = 0.8849

答案

P = 0.8849

11.概率

答案: N = 1365

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

组合

C(15, 4) = (15·14·13·12)/(4·3·2·1) = 1365

答案

N = 1365

12.概率

答案: E(G) = 1.5 €

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

净结果

G: 9 (p = 0.25), 27 (p = 0.05), −3 (p = 0.7)

期望值

E(G) = 9·0.25 + 27·0.05 − 3·0.7 = 1.5 €

答案

E(G) = 1.5 €

正值表示平均而言你会赢钱。

13.正态分布

答案: P = 0.6915

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

总和的分布

μ_T = 100 kg, σ_T = 0.5·√4 = 1 kg

标准化

z = (99.5 − 100)/1 = −0.5

概率

P = 1 − Φ(−0.5) = 0.6915

答案

P = 0.6915

14.正态分布

答案: P = 0.7881

差的分布

μ = 25.02 − 25 = 0.02 mm, σ = 0.025 mm

标准化

z = (0 − 0.02)/0.025 = −0.8

概率

P = 1 − Φ(−0.8) = 0.7881

答案

P = 0.7881

15.置信区间

答案: 下限 = 7.986

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

临界值

df = n − 1 = 9, t = 2.262

误差范围

E = 2.262·14/√10 = 10.01

区间

18 ± 10.01 → [7.986, 28.01]

答案

下限 = 7.986

16.置信区间

答案: n = 583

解出 n

n = (1.645·22/1.5)² = 582.1

向上取整

样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。

n = 583

答案

n = 583

17.假设检验与置信区间

答案: t = 1.71

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

标准误

SE = 10/√81 = 10/9 = 1.111

检验统计量

t = (121.9 − 120)/1.111 = 1.71

答案

t = 1.71

t_{0.025; df = 80} = 1.99

|t| < 1.99，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。

18.假设检验与置信区间

答案: 1 − β = 86.82 %

检验功效：功效 = 1 − β，是 H₀ 为假时拒绝 H₀ 的概率。由 μ₀ 和 z_α 求出临界值 x̄c，再用真实均值计算落在 x̄c 以外的概率：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。

临界样本均值

SE = 5/√100 = 0.5

x̄_c = 200 + 1.282·0.5 = 200.6

真实均值下的 z

z = (200.6 − 201.2)/0.5 = −1.118

功率

功效 = P(Z > −1.118) = 86.82%

1 − β = 86.82%

答案

1 − β = 86.82%

19.线性回归与相关

答案: r = 0.9877

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

均值

x̄ = 36/6 = 6

ȳ = 342/6 = 57

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 260

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 990

答案

r = 0.9877

20.线性回归与相关

答案: ŷ = 48.5

均值

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 226/5 = 45.2

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 22

回归直线

b = 22/10 = 2.2

a = 45.2 − 2.2·5 = 34.2

ŷ = 34.2 + 2.2·x

预测

ŷ = 34.2 + 2.2·6.5 = 48.5

答案

ŷ = 48.5

本内容为独立练习材料。ExamProblems 与该考试的主办机构没有隶属关系，也未获其认可，考试名称仅用于描述内容。 CFA® and Chartered Financial Analyst® 是 CFA Institute 的商标，该机构与 ExamProblems 无关，不为其背书，也不保证其准确性。

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income