货币的时间价值
- 终值
- FV = PV·(1 + i)n
- 现值
- PV = FV/(1 + i)n
- 每年多个计息期
- i = r/m, N = m·n
- 年金现值
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金终值
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
方法
- 画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
- 利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
- 单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
- 检查答案的符号和数量级。
CFA Level I 定量方法与固定收益练习：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
NPV 与 IRR
- 净现值
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 等额现金流
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部收益率
- 使 NPV = 0 的 r
- 决策
- NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受
方法
- 列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
- 对每笔现金流折现：CFt/(1 + r)t。
- 求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
- 求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。
债券定价与收益率
- 债券价格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年付息
- C/2、y/2 和 2n 期
- 当期收益率
- C/P
- 价格与收益率
- 收益率上升 → 价格下降
方法
- 求每期票息和每期收益率。
- 价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
- 半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
- 检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。
CAPM 与 WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企业价值
- V = E + D
描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2练习题
1.货币的时间价值中等
一处房产预计明年获得 €10 000 的净租金。租金预计每年永久增长 3%。要求回报率为每年 6%。求该房产今天的价值 PV。
C1 = €10 000g = 3%r = 6%
PV = €
2.货币的时间价值困难
你以每年 3% 的利率借入 €12 000，按月复利，每月月末偿还 €225。需要多少个月才能还清贷款（最后一笔还款可以较少）？给出还款次数 N。
P = €12 000A = €2253% / 12
N = 次还款
3.NPV 与 IRR中等
一台机器今天花费 €60 000。它在 7 年内每年年末产生 €11 000，之后可以以 €9 000 出售。资本成本为 8%。求净现值 NPV。
C0 = €60 000CF = €11 000S = €9 000n = 7r = 8%
NPV = €
4.NPV 与 IRR困难
某项目投入 €20 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €12 000, €12 500, €13 000。求其内部收益率 IRR（百分数）。
CF0 = −20 000CF1 = 12 000CF2 = 12 500CF3 = 13 000
IRR = %
5.债券定价与收益率中等
一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 4%，每半年付息一次，12 年后到期。到期收益率为每年 5.5%。 求该债券的价格 P。
F = €1 000票面利率 = 4%YTM = 5.5%n = 12
P = €
6.债券定价与收益率困难
一只面值为 €1 000 的债券每年支付 4.5% 的票息，分两次半年支付，10 年后到期。其售价为 €707。求其到期收益率 YTM（以年利率表示，即半年收益率的两倍），以百分比表示。
F = €1 000票面利率 = 4.5% (2×)n = 10P = €707
YTM = %
7.CAPM 与 WACC中等
一家公司的融资由价值 €4 000 000 的普通股、价值 €500 000 的优先股和价值 €4 000 000 的债务构成。股权资本成本为 11%，优先股成本为 8%，税前债务成本为 4%。税率为 20%。求 WACC。
E = €4 000 000Ps = €500 000D = €4 000 000re = 11%rp = 8%rd = 4%T = 20%
WACC = %
8.CAPM 与 WACC困难
一家公司股权的市场价值为 €10 000 000，股权资本成本为 14%。其债务由 4 000 张债券组成（面值 €1 000，年票息 5%，剩余期限 10 年），每张交易价格为 €892。税率为 25%。以债券的到期收益率作为税前债务成本，求 WACC。
E = €10 000 000re = 14%债券: 4 000 × €892票面利率 = 5%n = 10T = 25%
WACC = %
9.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：12, 42, 55, 59, 42。
n = 5
s =
10.描述统计困难
某量服从正态分布，平均数为 170，标准差为 20。数值高于 150 的比例 P 是多少？
μ = 170σ = 20x = 150
P =
11.概率中等
对图中的分布，求 X 的标准差 σ。
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0.2, 0.35, 0.25, 0.2
σ =
12.概率困难
一份测试有 7 道选择题。一名靠猜的学生每题答对的概率为 0.6，相互独立。恰好答对 1 题的概率 P 是多少？
n = 7p = 0.6k = 1
P =
13.正态分布中等
成年男性的身高服从正态分布，均值为 178 cm，标准差为 7 cm。介于 166.8 和 186.4 cm 之间的比例是多少？P 以小数表示。
μ = 178σ = 7x1 = 166.8x2 = 186.4
P =
14.正态分布困难
智商分数 服从正态分布，均值为 100 分，标准差为 15 分。拖动截断值，使阴影的前 5% 位于其右侧。求截断值 x。
μ = 100 分σ = 15 分5%
x = 分
15.置信区间中等
一个包含 30 个个体的样本，均值为 88.5，标准差 s = 11.5。总体近似服从正态分布。 求均值的 99% 置信区间的误差范围 E。
n = 30x̄ = 88.5s = 11.599%t(29) = 2.756
E =
16.置信区间困难
总体标准差为 7。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 90% 置信区间的误差范围不超过 1？
σ = 7E = 190%
n =
17.假设检验与置信区间中等
81 名学生的样本平均分为 98.13，样本标准差为 12。求 H₀: μ = 100 的检验统计量 t。
μ₀ = 100x̄ = 98.13s = 12n = 81
t =
18.假设检验与置信区间困难
样本至少要多大，才能使均值的 95% 置信区间的误差范围不超过 2.5？标准差为 20。求最小样本量 n。
σ = 20E = 2.595%
n =
19.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。 已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。
n = 6Σx = 42Σy = 139Σx² = 364Σy² = 3863Σxy = 1184
r =
20.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 学习小时数 和 y = 考试成绩。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 x 取何值 x 时，直线预测 ŷ = 99？
n = 6ŷ = 99
x =
3溶液
1.货币的时间价值
答案: PV = 333333 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
增长型永续年金
PV = C1/(r − g) = 10 000/(0.06 − 0.03) = 10 000/0.03 = €333 333.33
答案
PV = €333 333.33
2.货币的时间价值
答案: N = 58 次还款
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
将年金公式变形
i = 0.0025
(1 + i)−N = 1 − 12 000·0.0025/225 = 0.8667
用对数求解
N = −ln(0.8667)/ln(1.002) = 57.31
向上取整到整次还款
57 次全额还款后还剩少量余额，由最后一笔较少的还款还清。
N = 58
答案
N = 58 次还款
3.NPV 与 IRR
答案: NPV = 2521 €
净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。
每年现金流的现值
11 000·5.206 = 57 270.07
残值的现值
9 000/1.714 = 5 251.41
NPV
NPV = −60 000 + 57 270.07 + 5 251.41 = €2 521.48
答案
NPV = €2 521.48
4.NPV 与 IRR
答案: IRR = 38.78 %
净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。
夹逼 IRR
利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。
NPV(35%) = 1 031.35
NPV(40%) = −313.41
缩小范围
线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。
IRR ≈ 35 + 5·1 031.35/(1 031.35 − (−313.41)) = 38.83%
精确: NPV(38.78%) = 0 → IRR = 38.78%
答案
IRR = 38.78%
5.债券定价与收益率
答案: P = 869.5 €
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
每期
C = €20.00, i = 0.0275, N = 24
票息的现值
€20.00·(1 − 0.5215)/0.0275 = €348.02
面值的现值
€1 000·0.5215 = €521.48
价格
P = €869.49
答案
P = €869.49
收益率高于票面利率，所以债券折价出售。
6.债券定价与收益率
答案: YTM = 9.006 %
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
每期
C = €22.50, N = 20
数值求解
i = 4.503% 每半年
YTM
YTM = 2·4.503% = 9.006%
答案
YTM = 9.006%
7.CAPM 与 WACC
答案: WACC = 7.153 %
资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。
权重
V = 4 000 000 + 500 000 + 4 000 000 = €8 500 000
E/V = 0.4706, Ps/V = 0.05882, D/V = 0.4706
WACC
WACC = 0.4706·11% + 0.05882·8% + 0.4706·4%·(1 − 0.2) = 7.153%
答案
WACC = 7.153%
8.CAPM 与 WACC
答案: WACC = 11.6 %
资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。
债务成本 (YTM)
892 = 50·(1 − (1 + y)−10)/y + 1000/(1 + y)10
y = 6.503%
市场价值
D = 4 000·€892 = €3 568 000
V = €13 568 000, E/V = 0.737, D/V = 0.263
WACC
WACC = 0.737·14% + 0.263·6.503%·(1 − 0.25) = 11.6%
答案
WACC = 11.6%
9.描述统计
答案: s = 18.43
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 210/5 = 42
离差平方
Σ(x − x̄)² = (−30)² + 0² + 13² + 17² + 0² = 1358
标准差
s = √(1358/4) = 18.43
答案
s = 18.43
10.描述统计
答案: P = 0.8413
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = −1
标准正态分布表
Φ(−1) = 0.1587
P = 1 − 0.1587 = 0.8413
答案
P = 0.8413
11.概率
答案: σ = 1.023
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
平均数
μ = 0·0.2 + 1·0.35 + 2·0.25 + 3·0.2 = 1.45
平方的均值
E(X²) = 0·0.2 + 1·0.35 + 4·0.25 + 9·0.2 = 3.15
方差
Var(X) = 3.15 − 1.45² = 1.047
σ = √1.047 = 1.023
答案
σ = 1.023
12.概率
答案: P = 0.0172
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
二项分布公式
P(X = 1) = 7·0.61·0.46 = 7·0.6·0.004096 = 0.0172
答案
P = 0.0172
13.正态分布
答案: P = 0.8301
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
z 分数
z₁ = (166.8 − 178)/7 = −1.6
z₂ = (186.4 − 178)/7 = 1.2
中间面积
P = Φ(1.2) − Φ(−1.6) = 0.8849 − 0.0548 = 0.8301
答案
P = 0.8301
14.正态分布
答案: x = 124.6 分
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
左侧的面积
Φ(z) = 0.95
由表得到的 z
z ≈ 1.64
回到原来的单位
x = 100 + 1.64·15 = 124.6 分
答案
x = 124.6 分
15.置信区间
答案: E = 5.787
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
临界值
df = n − 1 = 29, t = 2.756
误差范围
E = 2.756·11.5/√30 = 5.787
答案
E = 5.787
16.置信区间
答案: n = 133
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
解出 n
n = (1.645·7/1)² = 132.6
向上取整
样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。
n = 133
答案
n = 133
17.假设检验与置信区间
答案: t = −1.403
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
标准误
SE = 12/√81 = 12/9 = 1.333
检验统计量
t = (98.13 − 100)/1.333 = −1.403
答案
t = −1.403
t0.025; df = 80 = 1.99
|t| < 1.99，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。
18.假设检验与置信区间
答案: n = 246
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
解出 n
n = (1.96·20/2.5)² = 245.9
向上取整
n = 246
答案
n = 246
19.线性回归与相关
答案: r = 0.9947
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
中心化后的和
Sxy = 1184 − 42·139/6 = 211
Sxx = 364 − 42²/6 = 70
Syy = 3863 − 139²/6 = 642.8
相关系数
r = 211/√(70·642.8) = 0.9947
答案
r = 0.9947
20.线性回归与相关
答案: x = 10.98
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 455/6 = 75.83
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 407
回归直线
b = 407/70 = 5.814
a = 75.83 − 5.814·7 = 35.13
ŷ = 35.13 + 5.814·x
解出 x
x = (99 − 35.13)/5.814 = 10.98
答案
x = 10.98
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