CFA Level I 定量方法与固定收益练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.货币的时间价值中等

你在 7 年后需要 €50 000。某账户年利率 2%，按月复利。今天需要存入多少？求现值 PV。

FV = €50 0002% / 12n = 7

PV = €

2.货币的时间价值困难

一笔 €12 000 的贷款在 6 年内以等额月供偿还。年利率 7.2%，按月复利。求月供 A。

P = €12 0007.2% / 12N = 72

A = €

3.NPV 与 IRR中等

一个项目今天需投入 €250 000。它在第一年年末产生 €20 000，之后现金流每年永久增长 3%。资本成本为 9%。求净现值 NPV。

C₀ = €250 000CF₁ = €20 000g = 3%r = 9%

NPV = €

4.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €40 000，在第 1 年至第 2 年年末每年回收 €29 000, €19 000。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −40 000CF₁ = 29 000CF₂ = 19 000

IRR = %

5.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 2%，每半年付息一次，3 年后到期。到期收益率为每年 3%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 2%YTM = 3%n = 3

P = €

6.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 8% 的债券 10 年后到期，售价为 €1 145。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 8%n = 10P = €1 145

YTM = %

7.CAPM 与 WACC中等

某公司有价值 €3 000 000 的股权和价值 €1 000 000 的债务。其股权成本为 13%，税前债务成本为 6%，税率为 20%。求 WACC。

E = €3 000 000D = €1 000 000r_e = 13%r_d = 6%T = 20%

WACC = %

8.CAPM 与 WACC困难

某公司有1 000 000 股、每股 €16.50 的股票，以及 10 000 张、每张市价 €1 020 的债券。税前债务成本为 3%，税率为 25%。股票的 β 系数为 1.1，无风险利率为 1%，市场回报率为 7%。求 WACC。

β = 1.1r_f = 1%r_m = 7%r_d = 3%T = 25%

WACC = %

9.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：52, 39, 44, 21, 58, 53, 39。

n = 7

s =

10.描述统计困难

某量服从正态分布，平均数为 50，标准差为 10。数值高于 56 的比例 P 是多少？

μ = 50σ = 10x = 56

P =

11.概率中等

从 10 人中选出 2 人组成委员会，有多少种选法 N？顺序无关。

n = 10k = 2

N =

12.概率困难

测试 8 个元件，每个独立地以概率 0.6 失效。至多一个失效的概率 P 是多少？

n = 8p = 0.6

P =

13.正态分布中等

拖动 z，使标准正态曲线下 z 右侧的阴影面积为 0.0154。求 z，保留两位小数。

A = 0.0154

z =

14.正态分布困难

成年男性的身高服从正态分布，均值为 178 cm，标准差为 7 cm。拖动截断值，使阴影的后 20% 位于其左侧。求截断值 x。

μ = 178 cmσ = 7 cm20%

x = cm

15.置信区间中等

一个包含 9 个个体的样本，均值为 47，标准差 s = 7。总体近似服从正态分布。求均值的 95% 置信区间的上限。

n = 9x̄ = 47s = 795%t(8) = 2.306

上限 =

16.置信区间困难

总体标准差为 20。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 90% 置信区间的误差范围不超过 2.5？

σ = 20E = 2.590%

n =

17.假设检验与置信区间中等

49 名学生的样本平均分为 201.2，样本标准差为 5。求 H₀: μ = 200 的检验统计量 t。

μ₀ = 200x̄ = 201.2s = 5n = 49

t =

18.假设检验与置信区间困难

16 次测量的样本均值为 193.1。总体标准差为 12。求均值 95% 置信区间的上限 U。

x̄ = 193.1σ = 12n = 1695%

U =

19.线性回归与相关中等

表中给出 5 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。求皮尔逊相关系数 r。

n = 5

r =

20.线性回归与相关困难

表中给出 6 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 x 取何值 x 时，直线预测 ŷ = 55？

n = 6ŷ = 55

x =

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 43473 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = 0.02/12 = 0.001667

N = 12·7 = 84

现值

PV = FV/(1 + i)^N = 50 000/1.15 = €43 472.98

答案

PV = €43 472.98

2.货币的时间价值

答案: A = 205.7 €

月利率和还款期数

i = 0.07200000000000001/12 = 0.006

N = 12·6 = 72

每期还款

N 笔等额付款 A 的现值为 A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i。令其等于贷款额，解出 A。

(1 + i)^−N = 0.65

A = 12 000·0.006/(1 − 0.65) = €205.74

答案

A = €205.74

3.NPV 与 IRR

答案: NPV = 83333 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

现金流的价值

PV = 20 000/(0.09 − 0.03) = 333 333.33

NPV

NPV = 333 333.33 − 250 000 = €83 333.33

答案

NPV = €83 333.33

NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。

4.NPV 与 IRR

答案: IRR = 14.12 %

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(10%) = 2 066.12

NPV(15%) = −415.88

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 10 + 5·2 066.12/(2 066.12 − (−415.88)) = 14.16%

精确: NPV(14.12%) = 0 → IRR = 14.12%

答案

IRR = 14.12%

5.债券定价与收益率

答案: P = 971.5 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €10.00, i = 0.015, N = 6

票息的现值

€10.00·(1 − 0.9145)/0.015 = €56.97

面值的现值

€1 000·0.9145 = €914.54

价格

P = €971.51

答案

P = €971.51

收益率高于票面利率，所以债券折价出售。

6.债券定价与收益率

答案: YTM = 6.027 %

收益率方程

€1 145 = €80·(1 − (1 + y)⁻¹⁰)/y + €1 000/(1 + y)¹⁰

数值求解

P(6%) = €1 147.20, P(7%) = €1 070.24

YTM = 6.027%

答案

YTM = 6.027%

7.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 10.95 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €4 000 000, E/V = 0.75, D/V = 0.25

WACC

WACC = 0.75·13% + 0.25·6%·(1 − 0.2) = 10.95%

答案

WACC = 10.95%

8.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 5.556 %

市场价值

E = 1 000 000·€16.50 = €16 500 000

D = 10 000·€1 020 = €10 200 000

股权成本（CAPM）

r_e = 1% + 1.1·6% = 7.6%

权重

V = €26 700 000, E/V = 0.618, D/V = 0.382

WACC

WACC = 0.618·7.6% + 0.382·3%·(1 − 0.25) = 5.556%

答案

WACC = 5.556%

9.描述统计

答案: s = 12.38

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 306/7 = 43.71

离差平方

Σ(x − x̄)² = 8.286² + (−4.714)² + 0.2857² + (−22.71)² + 14.29² + 9.286² + (−4.714)² = 919.4

标准差

s = √(919.4/6) = 12.38

答案

s = 12.38

10.描述统计

答案: P = 0.2743

标准化

z = 0.6

标准正态分布表

Φ(0.6) = 0.7257

P = 1 − 0.7257 = 0.2743

答案

P = 0.2743

11.概率

答案: N = 45

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

组合

C(10, 2) = (10·9)/(2·1) = 45

答案

N = 45

12.概率

答案: P = 0.00852

零个和一个失效

P(X = 0) = 0.4⁸ = 0.0006554

P(X = 1) = 8·0.6·0.4⁷ = 0.007864

相加

P = 0.0006554 + 0.007864 = 0.00852

答案

P = 0.00852

13.正态分布

答案: z = 2.16

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

z 左侧的面积

Φ(z) = 1 − 0.0154 = 0.9846

反向查 z 表

在表中找到 0.9846，读出 z。

z = 2.16

答案

z = 2.16

14.正态分布

答案: x = 172.1 cm

左侧的面积

Φ(z) = 0.2

由表得到的 z

z ≈ −0.84

回到原来的单位

x = 178 − 0.84·7 = 172.1 cm

答案

x = 172.1 cm

15.置信区间

答案: 上限 = 52.38

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

临界值

df = n − 1 = 8, t = 2.306

误差范围

E = 2.306·7/√9 = 5.381

区间

47 ± 5.381 → [41.62, 52.38]

答案

上限 = 52.38

16.置信区间

答案: n = 174

解出 n

n = (1.645·20/2.5)² = 173.2

向上取整

样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。

n = 174

答案

n = 174

17.假设检验与置信区间

答案: t = 1.68

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

标准误

SE = 5/√49 = 5/7 = 0.7143

检验统计量

t = (201.2 − 200)/0.7143 = 1.68

答案

t = 1.68

t_{0.025; df = 48} = 2.011

|t| < 2.011，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。

18.假设检验与置信区间

答案: U = 199

误差范围

E = 1.96·12/√16 = 5.88

区间端点

U = 193.1 + 5.88 = 199

答案

U = 199

19.线性回归与相关

答案: r = 0.9756

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

均值

x̄ = 100/5 = 20

ȳ = 221/5 = 44.2

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 152

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 606.8

答案

r = 0.9756

20.线性回归与相关

答案: x = 6.444

均值

x̄ = 33/6 = 5.5

ȳ = 313/6 = 52.17

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 52.5

回归直线

b = 52.5/17.5 = 3

a = 52.17 − 3·5.5 = 35.67

ŷ = 35.67 + 3·x

解出 x

x = (55 − 35.67)/3 = 6.444

答案

x = 6.444

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