CFA Level I 定量方法与固定收益练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.货币的时间价值中等

一处房产预计明年获得 €8 000 的净租金。租金预计每年永久增长 1%。要求回报率为每年 3%。求该房产今天的价值 PV。

C₁ = €8 000g = 1%r = 3%

PV = €

2.货币的时间价值困难

一笔 €12 000 的贷款在 5 年内以等额月供偿还。年利率 4.8%，按月复利。求月供 A。

P = €12 0004.8% / 12N = 60

A = €

3.NPV 与 IRR中等

一项 €45 000 的投资在第 1 年至第 3 年年末带来以下现金流：€18 000, €19 000, €9 000。资本成本为 9%。求净现值 NPV。

r = 9%CF₀ = −45 000CF₁ = 18 000CF₂ = 19 000CF₃ = 9 000

NPV = €

4.NPV 与 IRR困难

一个项目需投入 €20 000，在第 1 年到第 4 年的每年年末回报 €6 500, €8 000, €9 000, €7 000。现金流可按 8% 的资本成本再投资。求修正内部收益率 MIRR，以百分比表示。

r = 8%CF₀ = −20 000CF₁ = 6 500CF₂ = 8 000CF₃ = 9 000CF₄ = 7 000

MIRR = %

5.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 4%，每半年付息一次，6 年后到期。到期收益率为每年 3%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 4%YTM = 3%n = 6

P = €

6.债券定价与收益率困难

一只剩余期限为 11 年的债券（面值 €1 000，年票息 9%）售价 €1 150。发行人可在 4 年后以 €1 090 的赎回价格赎回。求赎回收益率 YTC，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 9%P = €1 150赎回价格 = €1 090赎回时间 4 年

YTC = %

7.CAPM 与 WACC中等

某公司有价值 €10 000 000 的股权和价值 €6 000 000 的债务。其股权成本为 9%，税前债务成本为 3%，税率为 21%。求 WACC。

E = €10 000 000D = €6 000 000r_e = 9%r_d = 3%T = 21%

WACC = %

8.CAPM 与 WACC困难

一家公司股票在当前负债权益比 0.4 下的贝塔为 1.2。公司计划把负债权益比提高到 0.6。税率为 30%，无风险利率为 1%，市场风险溢价为 4%。求变化后的股权资本成本 r_e。

β_L = 1.2D/E₁ = 0.4D/E₂ = 0.6T = 30%r_f = 1%r_m − r_f = 4%

r_e = %

9.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：50, 52, 27, 21, 58, 43。

n = 6

s =

10.描述统计困难

考试成绩服从正态分布，平均数为 170，标准差为 8。求成绩 162 的 z 分数 z。

μ = 170σ = 8x = 162

z =

11.概率中等

从 9 人中选出 4 人组成委员会，有多少种选法 N？顺序无关。

n = 9k = 4

N =

12.概率困难

测试 7 个元件，每个独立地以概率 0.7 失效。至多一个失效的概率 P 是多少？

n = 7p = 0.7

P =

13.正态分布中等

智商分数服从正态分布，均值为 100 分，标准差为 15 分。介于 88.75 和 127 分之间的比例是多少？P 以小数表示。

μ = 100σ = 15x₁ = 88.75x₂ = 127

P =

14.正态分布困难

孔径 D 服从均值 25.04 mm、标准差 0.015 mm 的正态分布。轴径 d 独立，服从均值 25 mm、标准差 0.02 mm 的正态分布。随机选取的一根轴在 D − d > 0 时能装入。求它能装入的概率 P。z 取两位小数。

孔: μ = 25.04 mm, σ = 0.015 mm轴: μ = 25 mm, σ = 0.02 mm

P =

15.置信区间中等

一个包含 12 个个体的样本，均值为 22，标准差 s = 19。总体近似服从正态分布。求均值的 99% 置信区间的误差范围 E。

n = 12x̄ = 22s = 1999%t(11) = 3.106

E =

16.置信区间困难

一项预研究表明，约有 0.3 的产品有缺陷。必须检验多少件产品 n，才能使比例的 90% 置信区间的误差范围不超过 0.03？

p ≈ 0.3E = 0.0390%

n =

17.假设检验与置信区间中等

64 名学生的样本平均分为 78，样本标准差为 20。求 H₀: μ = 75 的检验统计量 t。

μ₀ = 75x̄ = 78s = 20n = 64

t =

18.假设检验与置信区间困难

在 α = 0.05 下的单侧 z 检验，必须以 95% 的功效检测出均值 2.5 个单位的偏移。标准差为 10。求最小样本量 n。

α = 0.05功效 = 95%δ = 2.5σ = 10z_α = 1.645z_β = 1.645

n =

19.线性回归与相关中等

表中给出 6 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。求最小二乘直线的决定系数 r²。

n = 6

r² =

20.线性回归与相关困难

表中给出 5 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。预测 x = 7 时的 ŷ。

n = 5x = 7

ŷ =

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 400000 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

增长型永续年金

PV = C₁/(r − g) = 8 000/(0.03 − 0.01) = 8 000/0.02 = €400 000.00

答案

PV = €400 000.00

2.货币的时间价值

答案: A = 225.4 €

月利率和还款期数

i = 0.048/12 = 0.004

N = 12·5 = 60

每期还款

N 笔等额付款 A 的现值为 A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i。令其等于贷款额，解出 A。

(1 + i)^−N = 0.787

A = 12 000·0.004/(1 − 0.787) = €225.36

答案

A = €225.36

3.NPV 与 IRR

答案: NPV = −5545 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −45 000

CF₁/(1 + 0.09)¹ = 18 000/1.09 = 16 513.76

CF₂/(1 + 0.09)² = 19 000/1.188 = 15 991.92

CF₃/(1 + 0.09)³ = 9 000/1.295 = 6 949.65

相加

NPV = €−5 544.67

答案

NPV = €−5 544.67

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

4.NPV 与 IRR

答案: MIRR = 14.39 %

修正 IRR：把每笔流入按再投资利率（通常为资本成本）复利到项目结束，得到终值 TV。MIRR 是把初始投资变为 TV 的利率：MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1。

流入的终值

6 500·1.08³ = 8 188.13

8 000·1.08² = 9 331.20

9 000·1.08¹ = 9 720.00

7 000·1.08⁰ = 7 000.00

TV = 34 239.33

MIRR

MIRR = (34 239.33/20 000)^1/4 − 1 = 14.39%

答案

MIRR = 14.39%

5.债券定价与收益率

答案: P = 1055 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €20.00, i = 0.015, N = 12

票息的现值

€20.00·(1 − 0.8364)/0.015 = €218.15

面值的现值

€1 000·0.8364 = €836.39

价格

P = €1 054.54

答案

P = €1 054.54

收益率低于票面利率，所以债券溢价出售。

6.债券定价与收益率

答案: YTC = 6.645 %

收益率方程

1150 = 90·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + 1090/(1 + y)⁴

数值求解

y = 6%: €1 175.24

y = 7%: €1 136.40

YTC = 6.645%

答案

YTC = 6.645%

到期收益率为 7%。溢价债券的投资者预期它会被赎回，所以较低的赎回收益率更符合实际。

7.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 6.514 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €16 000 000, E/V = 0.625, D/V = 0.375

WACC

WACC = 0.625·9% + 0.375·3%·(1 − 0.21) = 6.514%

答案

WACC = 6.514%

8.CAPM 与 WACC

答案: r_e = 6.325 %

有杠杆贝塔（哈马达公式）：负债使股权风险增大。β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E)，其中 β_U 是无负债时业务的贝塔。要把贝塔转换到另一种资本结构，先去杠杆，再按新的 D/E 加杠杆。

对贝塔去杠杆

β_U = 1.2/(1 + 0.7·0.4) = 0.9375

按新的 D/E 重新加杠杆

β_L = 0.9375·(1 + 0.7·0.6) = 1.331

股权成本（CAPM）

r_e = 1% + 1.331·4% = 6.325%

答案

r_e = 6.325%

9.描述统计

答案: s = 14.74

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 251/6 = 41.83

离差平方

Σ(x − x̄)² = 8.167² + 10.17² + (−14.83)² + (−20.83)² + 16.17² + 1.167² = 1087

标准差

s = √(1087/5) = 14.74

答案

s = 14.74

10.描述统计

答案: z = −1

标准化

z = (162 − 170)/8 = −1

答案

z = −1

11.概率

答案: N = 126

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

组合

C(9, 4) = (9·8·7·6)/(4·3·2·1) = 126

答案

N = 126

12.概率

答案: P = 0.003791

零个和一个失效

P(X = 0) = 0.3⁷ = 0.0002187

P(X = 1) = 7·0.7·0.3⁶ = 0.003572

相加

P = 0.0002187 + 0.003572 = 0.003791

答案

P = 0.003791

13.正态分布

答案: P = 0.7374

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

z 分数

z₁ = (88.75 − 100)/15 = −0.75

z₂ = (127 − 100)/15 = 1.8

中间面积

P = Φ(1.8) − Φ(−0.75) = 0.9641 − 0.2266 = 0.7374

答案

P = 0.7374

14.正态分布

答案: P = 0.9452

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

差的分布

μ = 25.04 − 25 = 0.04 mm, σ = 0.025 mm

标准化

z = (0 − 0.04)/0.025 = −1.6

概率

P = 1 − Φ(−1.6) = 0.9452

答案

P = 0.9452

15.置信区间

答案: E = 17.04

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

临界值

df = n − 1 = 11, t = 3.106

误差范围

E = 3.106·19/√12 = 17.04

答案

E = 17.04

16.置信区间

答案: n = 632

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.

解出 n

n = 1.645²·0.3·0.7/0.03² = 631.4

向上取整

n = 632

答案

n = 632

17.假设检验与置信区间

答案: t = 1.2

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

标准误

SE = 20/√64 = 20/8 = 2.5

检验统计量

t = (78 − 75)/2.5 = 1.2

答案

t = 1.2

t_{0.025; df = 63} = 1.998

|t| < 1.998，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。

18.假设检验与置信区间

答案: n = 174

检验的样本量：在水平 α 下的单侧 z 检验中，要以功效 1 − β 检测出真实偏移 δ，标准误必须满足 δ = (z_α + z_β)·σ/√n，所以 n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²，向上取整。

解出 n

n = ((1.645 + 1.645)·10/2.5)² = 173.2

向上取整

n = 174

答案

n = 174

19.线性回归与相关

答案: r² = 0.9506

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

均值

x̄ = 48/6 = 8

ȳ = 267/6 = 44.5

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 179

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 481.5

决定系数

r² = 179²/(70·481.5) = 0.9506

答案

r² = 0.9506

y 的变异中约有 95.06% 可由该直线解释。

20.线性回归与相关

答案: ŷ = 15.6

均值

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 68/5 = 13.6

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 80

回归直线

b = 80/40 = 2

a = 13.6 − 2·6 = 1.6

ŷ = 1.6 + 2·x

预测

ŷ = 1.6 + 2·7 = 15.6

答案

ŷ = 15.6

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