CFA Level I 定量方法与固定收益练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.货币的时间价值中等

你在 4 年后需要 €15 000。某账户年利率 3.6%，按季度复利。今天需要存入多少？求现值 PV。

FV = €15 0003.6% / 4n = 4

PV = €

2.货币的时间价值困难

你在 7 年内每月月末存入 €150。账户年利率 4.8%，按月复利。期末共存了多少？求 FV。

A = €1504.8% / 12N = 84

FV = €

3.NPV 与 IRR中等

一项 €30 000 的投资在第 1 年至第 4 年年末带来以下现金流：€12 000, €9 000, €10 000, €15 000。资本成本为 15%。求净现值 NPV。

r = 15%CF₀ = −30 000CF₁ = 12 000CF₂ = 9 000CF₃ = 10 000CF₄ = 15 000

NPV = €

4.NPV 与 IRR困难

一个项目需投入 €20 000，在第 1 年到第 3 年的每年年末回报 €8 500, €12 000, €10 500。现金流可按 8% 的资本成本再投资。求修正内部收益率 MIRR，以百分比表示。

r = 8%CF₀ = −20 000CF₁ = 8 500CF₂ = 12 000CF₃ = 10 500

MIRR = %

5.债券定价与收益率中等

一只面值为 €1 000 的债券每年支付 3% 的票息，7 年后到期。其到期收益率从 6% 变为 5.5%。债券价格变化多少 ΔP？

F = €1 000票面利率 = 3%n = 7y₁ = 6%y₂ = 5.5%

ΔP = €

6.债券定价与收益率困难

一只债券的交易价格为 €915，到期收益率为 7%（按年复利），麦考利久期为 4.8 年。如果收益率上升 150 个基点，用修正久期估计新价格 P。

P₀ = €915y = 7%D = 4.8Δy = +150 bp

P = €

7.CAPM 与 WACC中等

一家公司的负债权益比（按市场价值）为 0.4。其股权资本成本为 12%，税前债务成本为 6%，税率为 20%。求 WACC。

D/E = 0.4r_e = 12%r_d = 6%T = 20%

WACC = %

8.CAPM 与 WACC困难

一家公司业务的无杠杆（资产）贝塔为 0.8。它计划采用 0.75 的负债权益比。税率为 30%，无风险利率为 3%，市场风险溢价为 4%。求新资本结构下的股权资本成本 r_e。

β_U = 0.8D/E = 0.75T = 30%r_f = 3%r_m − r_f = 4%

r_e = %

9.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：26, 20, 27, 32, 51, 32。

n = 6

s =

10.描述统计困难

某量服从正态分布，平均数为 70，标准差为 5。数值低于 76.25 的比例 P 是多少？

μ = 70σ = 5x = 76.25

P =

11.概率中等

对图中的分布，求 X 的标准差 σ。

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0.35, 0.15, 0.25, 0.25

σ =

12.概率困难

一份测试有 7 道选择题。一名靠猜的学生每题答对的概率为 0.2，相互独立。恰好答对 4 题的概率 P 是多少？

n = 7p = 0.2k = 4

P =

13.正态分布中等

考试成绩服从正态分布，均值为 65 分，标准差为 10 分。介于 60 和 75 分之间的比例是多少？P 以小数表示。

μ = 65σ = 10x₁ = 60x₂ = 75

P =

14.正态分布困难

电池寿命服从正态分布，均值为 500 h，标准差为 40 h。拖动截断值，使阴影的前 75% 位于其右侧。求截断值 x。

μ = 500 hσ = 40 h75%

x = h

15.置信区间中等

一个包含 15 个个体的样本，均值为 116.5，标准差 s = 16。总体近似服从正态分布。求均值的 90% 置信区间的上限。

n = 15x̄ = 116.5s = 1690%t(14) = 1.761

上限 =

16.置信区间困难

总体标准差为 38。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 99% 置信区间的误差范围不超过 1？

σ = 38E = 199%

n =

17.假设检验与置信区间中等

两条生产线生产同一种零件。生产线 1：50 个零件的样本平均长度为 117 mm，该生产线的已知标准差为 12 mm。生产线 2：40 个零件的样本均值为 107.3 mm，已知标准差为 16 mm。取差值为 x̄₁ − x̄₂（生产线 1 减生产线 2），求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 z。

n₁ = 50x̄₁ = 117 mmσ₁ = 12 mmn₂ = 40x̄₂ = 107.3 mmσ₂ = 16 mm

z =

18.假设检验与置信区间困难

在一项试验中，接受治疗 A 的 100 名患者中有 60 人康复，接受治疗 B 的 250 名患者中有 178 人康复。用合并比例求 H₀: p₁ = p₂ 的检验统计量 z。

x₁ = 60n₁ = 100x₂ = 178n₂ = 250

z =

19.线性回归与相关中等

表中给出 5 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。求最小二乘直线的决定系数 r²。

n = 5

r² =

20.线性回归与相关困难

表中给出 6 对观测值 x = 车龄（年）和 y = 价格 (k€)。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 x 取何值 x 时，直线预测 ŷ = 21？

n = 6ŷ = 21

x =

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 12997 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = 0.036000000000000004/4 = 0.009

N = 4·4 = 16

现值

PV = FV/(1 + i)^N = 15 000/1.154 = €12 996.69

答案

PV = €12 996.69

2.货币的时间价值

答案: FV = 14940 €

月利率和存款次数

i = 0.048/12 = 0.004

N = 12·7 = 84

存款的终值

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 150·(1.398 − 1)/0.004 = €14 940.06

答案

FV = €14 940.06

你自己存入了 €12 600；其余是利息。

3.NPV 与 IRR

答案: NPV = 2392 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −30 000

CF₁/(1 + 0.15)¹ = 12 000/1.15 = 10 434.78

CF₂/(1 + 0.15)² = 9 000/1.322 = 6 805.29

CF₃/(1 + 0.15)³ = 10 000/1.521 = 6 575.16

CF₄/(1 + 0.15)⁴ = 15 000/1.749 = 8 576.30

相加

NPV = €2 391.54

答案

NPV = €2 391.54

NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。

4.NPV 与 IRR

答案: MIRR = 18.61 %

修正 IRR：把每笔流入按再投资利率（通常为资本成本）复利到项目结束，得到终值 TV。MIRR 是把初始投资变为 TV 的利率：MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1。

流入的终值

8 500·1.08² = 9 914.40

12 000·1.08¹ = 12 960.00

10 500·1.08⁰ = 10 500.00

TV = 33 374.40

MIRR

MIRR = (33 374.40/20 000)^1/3 − 1 = 18.61%

答案

MIRR = 18.61%

5.债券定价与收益率

答案: ΔP = 25.4 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

按原收益率计算的价格

C = €30.00, i = 0.06, N = 7

€30.00·(1 − 0.6651)/0.06 + €1 000·0.6651 = €167.47 + €665.06 = €832.53

按新收益率计算的价格

C = €30.00, i = 0.055, N = 7

€30.00·(1 − 0.6874)/0.055 + €1 000·0.6874 = €170.49 + €687.44 = €857.93

变化

ΔP = 857.93 − 832.53 = €25.40

答案

ΔP = €25.40

6.债券定价与收益率

答案: P = 853.4 €

久期：麦考利久期是债券支付各笔现金流的加权平均时间，以各笔现金流的现值为权重：D = Σ t·PVₜ/P。修正久期 D/(1 + y) 用于估计收益率小幅变化时价格变化的百分比：%ΔP ≈ −D_mod·Δy。

修正久期

D_mod = 4.8/1.07 = 4.486

估计的价格变化

%ΔP ≈ −4.486·(0.015) = −6.729%

P ≈ 915·(1 − 0.06729) = €853.43

答案

P = €853.43

久期是线性估计；收益率变化较大时，凸性会使实际价格略高一些。

7.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 9.943 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

由 D/E 求权重

E/V = 1/(1 + 0.4) = 0.7143

D/V = 0.4/(1 + 0.4) = 0.2857

WACC

WACC = 0.7143·12% + 0.2857·6%·(1 − 0.2) = 9.943%

答案

WACC = 9.943%

8.CAPM 与 WACC

答案: r_e = 7.88 %

有杠杆贝塔（哈马达公式）：负债使股权风险增大。β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E)，其中 β_U 是无负债时业务的贝塔。要把贝塔转换到另一种资本结构，先去杠杆，再按新的 D/E 加杠杆。

有杠杆贝塔

β_L = 0.8·(1 + 0.7·0.75) = 1.22

股权成本（CAPM）

r_e = 3% + 1.22·4% = 7.88%

答案

r_e = 7.88%

9.描述统计

答案: s = 10.61

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 188/6 = 31.33

离差平方

Σ(x − x̄)² = (−5.333)² + (−11.33)² + (−4.333)² + 0.6667² + 19.67² + 0.6667² = 563.3

标准差

s = √(563.3/5) = 10.61

答案

s = 10.61

10.描述统计

答案: P = 0.8944

标准化

z = 1.25

标准正态分布表

Φ(1.25) = 0.8944

P = 0.8944

答案

P = 0.8944

11.概率

答案: σ = 1.2

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

平均数

μ = 0·0.35 + 1·0.15 + 2·0.25 + 3·0.25 = 1.4

平方的均值

E(X²) = 0·0.35 + 1·0.15 + 4·0.25 + 9·0.25 = 3.4

方差

Var(X) = 3.4 − 1.4² = 1.44

σ = √1.44 = 1.2

答案

σ = 1.2

12.概率

答案: P = 0.02867

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

二项分布公式

P(X = 4) = 35·0.2⁴·0.8³ = 35·0.0016·0.512 = 0.02867

答案

P = 0.02867

13.正态分布

答案: P = 0.5328

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

z 分数

z₁ = (60 − 65)/10 = −0.5

z₂ = (75 − 65)/10 = 1

中间面积

P = Φ(1) − Φ(−0.5) = 0.8413 − 0.3085 = 0.5328

答案

P = 0.5328

14.正态分布

答案: x = 473 h

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

左侧的面积

Φ(z) = 0.25

由表得到的 z

z ≈ −0.67

回到原来的单位

x = 500 − 0.67·40 = 473 h

答案

x = 473 h

15.置信区间

答案: 上限 = 123.8

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

临界值

df = n − 1 = 14, t = 1.761

误差范围

E = 1.761·16/√15 = 7.275

区间

116.5 ± 7.275 → [109.2, 123.8]

答案

上限 = 123.8

16.置信区间

答案: n = 9583

解出 n

n = (2.576·38/1)² = 9582

向上取整

样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。

n = 9583

答案

n = 9583

17.假设检验与置信区间

答案: z = 3.184

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

差值的标准误

SE = √(12²/50 + 16²/40) = √9.28 = 3.046

检验统计量

z = (117 − 107.3)/3.046 = 3.184

答案

z = 3.184

|z| > 1.96，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。

18.假设检验与置信区间

答案: z = −2.029

样本比例

p̂₁ = 60/100 = 0.6

p̂₂ = 178/250 = 0.712

p̂ = 238/350 = 0.68

H₀ 下的标准误

SE = √(0.68·0.32·(1/100 + 1/250)) = 0.05519

检验统计量

z = (0.6 − 0.712)/0.05519 = −2.029

答案

z = −2.029

|z| > 1.96，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。

19.线性回归与相关

答案: r² = 0.9494

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

均值

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 256/5 = 51.2

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 52

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 284.8

决定系数

r² = 52²/(10·284.8) = 0.9494

答案

r² = 0.9494

y 的变异中约有 94.94% 可由该直线解释。

20.线性回归与相关

答案: x = 4.148

均值

x̄ = 21/6 = 3.5

ȳ = 132/6 = 22

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −27

回归直线

b = −27/17.5 = −1.543

a = 22 − (−1.543)·3.5 = 27.4

ŷ = 27.4 − 1.543·x

解出 x

x = (21 − 27.4)/(−1.543) = 4.148

答案

x = 4.148

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