CFA Level I 定量方法与固定收益练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.货币的时间价值中等

你在 4 年后需要 €25 000。某账户年利率 6%，按季度复利。今天需要存入多少？求现值 PV。

FV = €25 0006% / 4n = 4

PV = €

2.货币的时间价值困难

你在 6 年内每月月末存入 €300。账户年利率 7.2%，按月复利。期末共存了多少？求 FV。

A = €3007.2% / 12N = 72

FV = €

3.NPV 与 IRR中等

一项 €60 000 的投资在第 1 年至第 4 年年末带来以下现金流：€25 000, €29 000, €27 000, €29 000。资本成本为 9%。求净现值 NPV。

r = 9%CF₀ = −60 000CF₁ = 25 000CF₂ = 29 000CF₃ = 27 000CF₄ = 29 000

NPV = €

4.NPV 与 IRR困难

一个项目今天需投入 €100 000。其现金流在第 1 年年末为 €22 500，之后每年增长 3%，直到第 4 年年末的最后一笔现金流。资本成本为 12%。求净现值 NPV。

C₀ = €100 000CF₁ = €22 500g = 3%n = 4r = 12%

NPV = €

5.债券定价与收益率中等

你在一只剩余期限为 9 年的债券（面值 €1 000，年票息 2%）到期收益率为 7% 时买入。一年后，刚收到第一笔票息，你在到期收益率为 8% 时把它卖出。求你的持有期收益率 HPR，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 2%n = 9y₀ = 7%y₁ = 8%

HPR = %

6.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 4% 的债券 6 年后到期，售价为 €1 085。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 4%n = 6P = €1 085

YTM = %

7.CAPM 与 WACC中等

一只贝塔为 0.9 的股票要求回报为 7.85%。无风险利率为 2%。CAPM 隐含的预期市场回报 r_m 是多少？

β = 0.9r_e = 7.85%r_f = 2%

r_m = %

8.CAPM 与 WACC困难

某公司有2 000 000 股、每股 €52.00 的股票，以及 10 000 张、每张市价 €960 的债券。税前债务成本为 4.5%，税率为 25.8%。股票的 β 系数为 1.5，无风险利率为 2%，市场回报率为 8%。求 WACC。

β = 1.5r_f = 2%r_m = 8%r_d = 4.5%T = 25.8%

WACC = %

9.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：34, 24, 37, 34, 37。

n = 5

s =

10.描述统计困难

某量服从正态分布，平均数为 70，标准差为 20。数值低于 100 的比例 P 是多少？

μ = 70σ = 20x = 100

P =

11.概率中等

一颗均匀骰子掷 4 次。至少掷出一次六点的概率 P 是多少？

n = 4

P =

12.概率困难

一份测试有 9 道选择题。一名靠猜的学生每题答对的概率为 0.6，相互独立。恰好答对 2 题的概率 P 是多少？

n = 9p = 0.6k = 2

P =

13.正态分布中等

电池寿命服从正态分布，均值为 500 h，标准差为 40 h。介于 438 和 572 h 之间的比例是多少？P 以小数表示。

μ = 500σ = 40x₁ = 438x₂ = 572

P =

14.正态分布困难

孔径 D 服从均值 25.02 mm、标准差 0.015 mm 的正态分布。轴径 d 独立，服从均值 25 mm、标准差 0.015 mm 的正态分布。随机选取的一根轴在 D − d > 0 时能装入。求它能装入的概率 P。z 取两位小数。

孔: μ = 25.02 mm, σ = 0.015 mm轴: μ = 25 mm, σ = 0.015 mm

P =

15.置信区间中等

一个包含 11 个个体的样本，均值为 38.5，标准差 s = 5.5。总体近似服从正态分布。求均值的 95% 置信区间的上限。

n = 11x̄ = 38.5s = 5.595%t(10) = 2.228

上限 =

16.置信区间困难

事先对缺陷产品的比例一无所知。必须检验多少件产品 n，才能使比例的 90% 置信区间的误差范围不超过 0.025？

p = 0.5E = 0.02590%

n =

17.假设检验与置信区间中等

6 名员工在培训课程前后各参加一次打字测试。记录每人的差值 d = 培训后 − 培训前（每分钟字数）。平均差值为 −0.96，差值的标准差为 1.3。求 H₀: μ_d = 0 的配对检验统计量 t。

n = 6d̄ = −0.96s_d = 1.3

t =

18.假设检验与置信区间困难

在一项试验中，接受治疗 A 的 80 名患者中有 12 人康复，接受治疗 B 的 200 名患者中有 22 人康复。用合并比例求 H₀: p₁ = p₂ 的检验统计量 z。

x₁ = 12n₁ = 80x₂ = 22n₂ = 200

z =

19.线性回归与相关中等

表中给出 5 对观测值 x = 车龄（年）和 y = 价格 (k€)。求皮尔逊相关系数 r。

n = 5

r =

20.线性回归与相关困难

表中给出 6 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。新得到一个观测值 (19.5, 70)。求其残差 e = y − ŷ。

n = 6(19.5, 70)

e =

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 19701 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = 0.06/4 = 0.015

N = 4·4 = 16

现值

PV = FV/(1 + i)^N = 25 000/1.269 = €19 700.78

答案

PV = €19 700.78

2.货币的时间价值

答案: FV = 26917 €

月利率和存款次数

i = 0.07200000000000001/12 = 0.006

N = 12·6 = 72

存款的终值

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 300·(1.538 − 1)/0.006 = €26 917.40

答案

FV = €26 917.40

你自己存入了 €21 600；其余是利息。

3.NPV 与 IRR

答案: NPV = 28738 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −60 000

CF₁/(1 + 0.09)¹ = 25 000/1.09 = 22 935.78

CF₂/(1 + 0.09)² = 29 000/1.188 = 24 408.72

CF₃/(1 + 0.09)³ = 27 000/1.295 = 20 848.95

CF₄/(1 + 0.09)⁴ = 29 000/1.412 = 20 544.33

相加

NPV = €28 737.78

答案

NPV = €28 737.78

NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。

4.NPV 与 IRR

答案: NPV = −28820 €

增长型年金的现值

((1.03)/(1.12))⁴ = 0.7153

PV = 22 500/(0.12 − 0.03)·(1 − 0.7153) = 71 179.70

NPV

NPV = 71 179.70 − 100 000 = −€28 820.30

答案

NPV = −€28 820.30

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

5.债券定价与收益率

答案: HPR = 0.1429 %

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

买入价

C = €20.00, i = 0.07, N = 9

€20.00·(1 − 0.5439)/0.07 + €1 000·0.5439 = €130.30 + €543.93 = €674.24

卖出价

C = €20.00, i = 0.08, N = 8

€20.00·(1 − 0.5403)/0.08 + €1 000·0.5403 = €114.93 + €540.27 = €655.20

持有期收益率

HPR = (20 + 655.20 − 674.24)/674.24 = 0.1429%

答案

HPR = 0.1429%

6.债券定价与收益率

答案: YTM = 2.459 %

收益率方程

€1 085 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + €1 000/(1 + y)⁶

数值求解

P(2%) = €1 112.03, P(3%) = €1 054.17

YTM = 2.459%

答案

YTM = 2.459%

7.CAPM 与 WACC

答案: r_m = 8.5 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

市场风险溢价

r_m − r_f = (7.85% − 2%)/0.9 = 6.5%

市场回报

r_m = 2% + 6.5% = 8.5%

答案

r_m = 8.5%

8.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 10.35 %

市场价值

E = 2 000 000·€52.00 = €104 000 000

D = 10 000·€960 = €9 600 000

股权成本（CAPM）

r_e = 2% + 1.5·6% = 11%

权重

V = €113 600 000, E/V = 0.9155, D/V = 0.08451

WACC

WACC = 0.9155·11% + 0.08451·4.5%·(1 − 0.258) = 10.35%

答案

WACC = 10.35%

9.描述统计

答案: s = 5.357

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 166/5 = 33.2

离差平方

Σ(x − x̄)² = 0.8² + (−9.2)² + 3.8² + 0.8² + 3.8² = 114.8

标准差

s = √(114.8/4) = 5.357

答案

s = 5.357

10.描述统计

答案: P = 0.9332

标准化

z = 1.5

标准正态分布表

Φ(1.5) = 0.9332

P = 0.9332

答案

P = 0.9332

11.概率

答案: P = 0.5177

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

补事件

P(没有六点) = (5/6)⁴ = 0.4823

P = 1 − 0.4823 = 0.5177

答案

P = 0.5177

12.概率

答案: P = 0.02123

二项分布公式

P(X = 2) = 36·0.6²·0.4⁷ = 36·0.36·0.001638 = 0.02123

答案

P = 0.02123

13.正态分布

答案: P = 0.9035

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

z 分数

z₁ = (438 − 500)/40 = −1.55

z₂ = (572 − 500)/40 = 1.8

中间面积

P = Φ(1.8) − Φ(−1.55) = 0.9641 − 0.06057 = 0.9035

答案

P = 0.9035

14.正态分布

答案: P = 0.8264

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

差的分布

μ = 25.02 − 25 = 0.02 mm, σ = 0.02121 mm

标准化

z = (0 − 0.02)/0.02121 = −0.94

概率

P = 1 − Φ(−0.94) = 0.8264

答案

P = 0.8264

15.置信区间

答案: 上限 = 42.19

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

临界值

df = n − 1 = 10, t = 2.228

误差范围

E = 2.228·5.5/√11 = 3.695

区间

38.5 ± 3.695 → [34.81, 42.19]

答案

上限 = 42.19

16.置信区间

答案: n = 1083

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.

解出 n

n = 1.645²·0.5·0.5/0.025² = 1082

向上取整

n = 1083

答案

n = 1083

17.假设检验与置信区间

答案: t = −1.809

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

平均差值的标准误

SE = 1.3/√6 = 0.5307

检验统计量

t = −0.96/0.5307 = −1.809

答案

t = −1.809

df = 5 时，双侧 5% 的临界值为 2.571；|t| 更小，所以不拒绝 H₀。

18.假设检验与置信区间

答案: z = 0.9257

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

样本比例

p̂₁ = 12/80 = 0.15

p̂₂ = 22/200 = 0.11

p̂ = 34/280 = 0.1214

H₀ 下的标准误

SE = √(0.1214·0.8786·(1/80 + 1/200)) = 0.04321

检验统计量

z = (0.15 − 0.11)/0.04321 = 0.9257

答案

z = 0.9257

|z| < 1.96，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。

19.线性回归与相关

答案: r = −0.7407

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

均值

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 124/5 = 24.8

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −13

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 30.8

答案

r = −0.7407

20.线性回归与相关

答案: e = 3.995

均值

x̄ = 153/6 = 25.5

ȳ = 539/6 = 89.83

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 625.5

回归直线

b = 625.5/157.5 = 3.971

a = 89.83 − 3.971·25.5 = −11.44

ŷ = −11.44 + 3.971·x

预测值

ŷ = −11.44 + 3.971·19.5 = 66

残差

e = 70 − 66 = 3.995

答案

e = 3.995

该点位于直线上方。

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