CFA Level I 定量方法与固定收益练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.货币的时间价值中等

你以名义年利率 2% 投资 €8 000，按月复利。求 3 年后的投资价值 FV。

PV = €8 0002% / 12n = 3

FV = €

2.货币的时间价值困难

你在 15 年内每月月末存入 €250。账户年利率 2.4%，按月复利。期末共存了多少？求 FV。

A = €2502.4% / 12N = 180

FV = €

3.NPV 与 IRR中等

一项 €20 000 的投资在第 1 年至第 4 年年末带来以下现金流：€4 000, €5 000, €8 000, €4 000。资本成本为 15%。求净现值 NPV。

r = 15%CF₀ = −20 000CF₁ = 4 000CF₂ = 5 000CF₃ = 8 000CF₄ = 4 000

NPV = €

4.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €50 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €24 000, €20 000, €22 000。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −50 000CF₁ = 24 000CF₂ = 20 000CF₃ = 22 000

IRR = %

5.债券定价与收益率中等

一只面值为 €1 000 的债券每年支付 2% 的票息，8 年后到期。其到期收益率从 8% 变为 10%。债券价格变化多少 ΔP？

F = €1 000票面利率 = 2%n = 8y₁ = 8%y₂ = 10%

ΔP = €

6.债券定价与收益率困难

一只面值为 €1 000 的债券每年支付 8% 的票息，3 年后到期。到期收益率为 2.5%。求麦考利久期 D，以年表示。

F = €1 000票面利率 = 8%n = 3YTM = 2.5%

D = 年

7.CAPM 与 WACC中等

一只贝塔为 1.5 的股票要求回报为 11%。无风险利率为 3.5%。CAPM 隐含的预期市场回报 r_m 是多少？

β = 1.5r_e = 11%r_f = 3.5%

r_m = %

8.CAPM 与 WACC困难

一家公司股权的市场价值为 €10 000 000，股权资本成本为 9%。其债务由 5 000 张债券组成（面值 €1 000，年票息 7%，剩余期限 8 年），每张交易价格为 €1 095。税率为 25%。以债券的到期收益率作为税前债务成本，求 WACC。

E = €10 000 000r_e = 9%债券: 5 000 × €1 095票面利率 = 7%n = 8T = 25%

WACC = %

9.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：51, 53, 40, 20, 33, 40, 12。

n = 7

s =

10.描述统计困难

某量服从正态分布，平均数为 50，标准差为 12。数值低于 26 的比例 P 是多少？

μ = 50σ = 12x = 26

P =

11.概率中等

对图中的分布，求 X 的标准差 σ。

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0.2, 0.2, 0.35, 0.25

σ =

12.概率困难

一份测试有 9 道选择题。一名靠猜的学生每题答对的概率为 0.5，相互独立。恰好答对 4 题的概率 P 是多少？

n = 9p = 0.5k = 4

P =

13.正态分布中等

考试成绩服从正态分布，均值为 65 分，标准差为 10 分。介于 45 和 77 分之间的比例是多少？P 以小数表示。

μ = 65σ = 10x₁ = 45x₂ = 77

P =

14.正态分布困难

成年男性的身高服从正态分布，均值为 178 cm，标准差为 7 cm。求数值 x，使得有 5% 的数据低于它（第 5 百分位数）。

μ = 178σ = 7P = 5%

x = cm

15.置信区间中等

一个包含 25 个个体的样本，均值为 95.5，标准差 s = 18。总体近似服从正态分布。求均值的 99% 置信区间的上限。

n = 25x̄ = 95.5s = 1899%t(24) = 2.797

上限 =

16.置信区间困难

总体标准差为 26。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 95% 置信区间的误差范围不超过 2？

σ = 26E = 295%

n =

17.假设检验与置信区间中等

据称某总体的均值为 250；已知总体标准差为 12。一个含 144 个观测值的随机样本均值为 248。检验 H₀: μ = 250 对 H₁: μ < 250。求 p 值 p。

μ₀ = 250σ = 12n = 144x̄ = 248H₁: μ < μ₀

p =

18.假设检验与置信区间困难

样本至少要多大，才能使均值的 90% 置信区间的误差范围不超过 0.5？标准差为 4。求最小样本量 n。

σ = 4E = 0.590%

n =

19.线性回归与相关中等

表中给出 5 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。求最小二乘直线的决定系数 r²。

n = 5

r² =

20.线性回归与相关困难

表中给出 5 对观测值 x = 学习小时数和 y = 考试成绩。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 x 取何值 x 时，直线预测 ŷ = 73？

n = 5ŷ = 73

x =

3溶液

1.货币的时间价值

答案: FV = 8494 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = r/m = 0.02/12 = 0.001667

N = m·n = 12·3 = 36

终值

FV = 8 000·(1 + 0.001667)³⁶ = 8 000·1.062 = €8 494.27

答案

FV = €8 494.27

2.货币的时间价值

答案: FV = 54102 €

月利率和存款次数

i = 0.024/12 = 0.002

N = 12·15 = 180

存款的终值

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 250·(1.433 − 1)/0.002 = €54 101.77

答案

FV = €54 101.77

你自己存入了 €45 000；其余是利息。

3.NPV 与 IRR

答案: NPV = −5194 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −20 000

CF₁/(1 + 0.15)¹ = 4 000/1.15 = 3 478.26

CF₂/(1 + 0.15)² = 5 000/1.322 = 3 780.72

CF₃/(1 + 0.15)³ = 8 000/1.521 = 5 260.13

CF₄/(1 + 0.15)⁴ = 4 000/1.749 = 2 287.01

相加

NPV = €−5 193.88

答案

NPV = €−5 193.88

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

4.NPV 与 IRR

答案: IRR = 15.56 %

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(15%) = 457.80

NPV(20%) = −3 379.63

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 15 + 5·457.80/(457.80 − (−3 379.63)) = 15.6%

精确: NPV(15.56%) = 0 → IRR = 15.56%

答案

IRR = 15.56%

5.债券定价与收益率

答案: ΔP = −82 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

按原收益率计算的价格

C = €20.00, i = 0.08, N = 8

€20.00·(1 − 0.5403)/0.08 + €1 000·0.5403 = €114.93 + €540.27 = €655.20

按新收益率计算的价格

C = €20.00, i = 0.1, N = 8

€20.00·(1 − 0.4665)/0.1 + €1 000·0.4665 = €106.70 + €466.51 = €573.21

变化

ΔP = 573.21 − 655.20 = −€82.00

答案

ΔP = −€82.00

6.债券定价与收益率

答案: D = 2.799 年

久期：麦考利久期是债券支付各笔现金流的加权平均时间，以各笔现金流的现值为权重：D = Σ t·PVₜ/P。修正久期 D/(1 + y) 用于估计收益率小幅变化时价格变化的百分比：%ΔP ≈ −D_mod·Δy。

各笔现金流的现值

t = 1: 80/1.025 = 78.05, t·PV = 78.05

t = 2: 80/1.051 = 76.15, t·PV = 152.29

t = 3: 1080/1.077 = 1 002.89, t·PV = 3 008.66

久期

P = 1 157.08

D = 3 239.00/1 157.08 = 2.799

答案

D = 2.799 年

7.CAPM 与 WACC

答案: r_m = 8.5 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

市场风险溢价

r_m − r_f = (11% − 3.5%)/1.5 = 5%

市场回报

r_m = 3.5% + 5% = 8.5%

答案

r_m = 8.5%

8.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 7.275 %

债务成本 (YTM)

1095 = 70·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + 1000/(1 + y)⁸

y = 5.5%

市场价值

D = 5 000·€1 095 = €5 475 000

V = €15 475 000, E/V = 0.6462, D/V = 0.3538

WACC

WACC = 0.6462·9% + 0.3538·5.5%·(1 − 0.25) = 7.275%

答案

WACC = 7.275%

9.描述统计

答案: s = 15.2

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 249/7 = 35.57

离差平方

Σ(x − x̄)² = 15.43² + 17.43² + 4.429² + (−15.57)² + (−2.571)² + 4.429² + (−23.57)² = 1386

标准差

s = √(1386/6) = 15.2

答案

s = 15.2

10.描述统计

答案: P = 0.02275

标准化

z = −2

标准正态分布表

Φ(−2) = 0.02275

P = 0.02275

答案

P = 0.02275

11.概率

答案: σ = 10.62

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

平均数

μ = 10·0.2 + 20·0.2 + 30·0.35 + 40·0.25 = 26.5

平方的均值

E(X²) = 100·0.2 + 400·0.2 + 900·0.35 + 1600·0.25 = 815

方差

Var(X) = 815 − 26.5² = 112.8

σ = √112.8 = 10.62

答案

σ = 10.62

12.概率

答案: P = 0.2461

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

二项分布公式

P(X = 4) = 126·0.5⁴·0.5⁵ = 126·0.0625·0.03125 = 0.2461

答案

P = 0.2461

13.正态分布

答案: P = 0.8622

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

z 分数

z₁ = (45 − 65)/10 = −2

z₂ = (77 − 65)/10 = 1.2

中间面积

P = Φ(1.2) − Φ(−2) = 0.8849 − 0.02275 = 0.8622

答案

P = 0.8622

14.正态分布

答案: x = 166.5 cm

该百分位数对应的 z

Φ(z) = 0.05 → z = −1.645

换算回 x

x = 178 + −1.645·7 = 166.49 cm

答案

x = 166.49 cm

15.置信区间

答案: 上限 = 105.6

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

临界值

df = n − 1 = 24, t = 2.797

误差范围

E = 2.797·18/√25 = 10.07

区间

95.5 ± 10.07 → [85.43, 105.6]

答案

上限 = 105.6

16.置信区间

答案: n = 650

解出 n

n = (1.96·26/2)² = 649.2

向上取整

样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。

n = 650

答案

n = 650

17.假设检验与置信区间

答案: p = 0.02275

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

检验统计量

SE = σ/√n = 12/√144 = 1

z = (248 − 250)/1 = −2

尾部面积

Φ(2) = 0.9772

1 − Φ(2) = 0.0228

p 值

p = 0.02275

答案

p = 0.02275

p ≤ 0.05，所以在 5% 水平下拒绝 H₀。

18.假设检验与置信区间

答案: n = 174

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

解出 n

n = (1.645·4/0.5)² = 173.2

向上取整

n = 174

答案

n = 174

19.线性回归与相关

答案: r² = 0.9882

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

均值

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 121/5 = 24.2

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 132

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 440.8

决定系数

r² = 132²/(40·440.8) = 0.9882

答案

r² = 0.9882

y 的变异中约有 98.82% 可由该直线解释。

20.线性回归与相关

答案: x = 5.472

均值

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 348/5 = 69.6

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 72

回归直线

b = 72/10 = 7.2

a = 69.6 − 7.2·5 = 33.6

ŷ = 33.6 + 7.2·x

解出 x

x = (73 − 33.6)/7.2 = 5.472

答案

x = 5.472

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