CFA Level I 定量方法与固定收益练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.货币的时间价值中等

一份年金在每年年末支付 €5 000，共 20 年。年利率为 6%。求该年金的现值 PV。

A = €5 000i = 6%n = 20

PV = €

2.货币的时间价值困难

你在 27 年内每月月末存入 €300。账户年利率 4.2%，按月复利。期末共存了多少？求 FV。

A = €3004.2% / 12N = 324

FV = €

3.NPV 与 IRR中等

一个项目今天需投入 €400 000。它在第一年年末产生 €32 000，之后现金流每年永久增长 1%。资本成本为 10%。求净现值 NPV。

C₀ = €400 000CF₁ = €32 000g = 1%r = 10%

NPV = €

4.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €50 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €28 000, €29 500, €34 000。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −50 000CF₁ = 28 000CF₂ = 29 500CF₃ = 34 000

IRR = %

5.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 4.5%，每半年付息一次，9 年后到期。到期收益率为每年 9%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 4.5%YTM = 9%n = 9

P = €

6.债券定价与收益率困难

一只剩余期限为 14 年的债券（面值 €1 000，年票息 7%）售价 €1 198。发行人可在 4 年后以 €1 070 的赎回价格赎回。求赎回收益率 YTC，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 7%P = €1 198赎回价格 = €1 070赎回时间 4 年

YTC = %

7.CAPM 与 WACC中等

一只贝塔为 1.4 的股票要求回报为 11.3%。无风险利率为 1.5%。CAPM 隐含的预期市场回报 r_m 是多少？

β = 1.4r_e = 11.3%r_f = 1.5%

r_m = %

8.CAPM 与 WACC困难

一家公司有 5 000 000 股股票，股价为 €47.50；其股权账面价值为 €71 300 000。公司刚支付了每股 €2.30 的股利，股利每年增长 5%。其债务市场价值为 €71 300 000，税前成本为 4.5%。税率为 28%。用股利增长模型计算股权资本成本，求 WACC。

N = 5 000 000P₀ = €47.50股权账面价值 = €71 300 000D₀ = €2.30g = 5%D = €71 300 000r_d = 4.5%T = 28%

WACC = %

9.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：36, 27, 36, 33, 24, 44, 32。

n = 7

s =

10.描述统计困难

考试成绩服从正态分布，平均数为 60，标准差为 5。求成绩 70 的 z 分数 z。

μ = 60σ = 5x = 70

z =

11.概率中等

袋中有 8 个红球和 7 个蓝球。不放回地依次摸出两个球。两个都是红球的概率 P 是多少？

8 / 7

P =

12.概率困难

X 的分布如图所示，Y = 0.5X + 1。求 Y 的标准差 σ_Y。

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0.25, 0.35, 0.05, 0.35Y = 0.5X + 1

σ_Y =

13.正态分布中等

考试成绩服从正态分布，均值为 65 分，标准差为 10 分。介于 62.5 和 75.5 分之间的比例是多少？P 以小数表示。

μ = 65σ = 10x₁ = 62.5x₂ = 75.5

P =

14.正态分布困难

智商分数服从正态分布，均值为 100 分，标准差为 15 分。拖动截断值，使阴影的后 85% 位于其左侧。求截断值 x。

μ = 100 分σ = 15 分85%

x = 分

15.置信区间中等

一个包含 12 个个体的样本，均值为 66.5，标准差 s = 16.5。总体近似服从正态分布。求均值的 99% 置信区间的下限。

n = 12x̄ = 66.5s = 16.599%t(11) = 3.106

下限 =

16.置信区间困难

总体标准差为 12。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 99% 置信区间的误差范围不超过 1.5？

σ = 12E = 1.599%

n =

17.假设检验与置信区间中等

64 名学生的样本平均分为 200.3，样本标准差为 4。求 H₀: μ = 200 的检验统计量 t。

μ₀ = 200x̄ = 200.3s = 4n = 64

t =

18.假设检验与置信区间困难

在一项试验中，接受治疗 A 的 120 名患者中有 30 人康复，接受治疗 B 的 250 名患者中有 93 人康复。用合并比例求 H₀: p₁ = p₂ 的检验统计量 z。

x₁ = 30n₁ = 120x₂ = 93n₂ = 250

z =

19.线性回归与相关中等

表中给出 5 对观测值 x = 车龄（年）和 y = 价格 (k€)。求最小二乘直线的决定系数 r²。

n = 5

r² =

20.线性回归与相关困难

表中给出 5 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 x 取何值 x 时，直线预测 ŷ = 41？

n = 5ŷ = 41

x =

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 57350 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

年金系数

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0.3118)/0.06 = 11.47

现值

PV = 5 000·11.47 = €57 349.61

答案

PV = €57 349.61

2.货币的时间价值

答案: FV = 180164 €

月利率和存款次数

i = 0.042/12 = 0.0035

N = 12·27 = 324

存款的终值

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 300·(3.102 − 1)/0.0035 = €180 164.26

答案

FV = €180 164.26

你自己存入了 €97 200；其余是利息。

3.NPV 与 IRR

答案: NPV = −44444 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

现金流的价值

PV = 32 000/(0.1 − 0.01) = 355 555.56

NPV

NPV = 355 555.56 − 400 000 = −€44 444.44

答案

NPV = −€44 444.44

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

4.NPV 与 IRR

答案: IRR = 36.08 %

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(35%) = 746.33

NPV(40%) = −2 558.31

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 35 + 5·746.33/(746.33 − (−2 558.31)) = 36.13%

精确: NPV(36.08%) = 0 → IRR = 36.08%

答案

IRR = 36.08%

5.债券定价与收益率

答案: P = 726.4 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €22.50, i = 0.045, N = 18

票息的现值

€22.50·(1 − 0.4528)/0.045 = €273.60

面值的现值

€1 000·0.4528 = €452.80

价格

P = €726.40

答案

P = €726.40

收益率高于票面利率，所以债券折价出售。

6.债券定价与收益率

答案: YTC = 3.301 %

收益率方程

1198 = 70·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + 1070/(1 + y)⁴

数值求解

y = 3%: €1 210.88

y = 4%: €1 168.73

YTC = 3.301%

答案

YTC = 3.301%

到期收益率为 5%。溢价债券的投资者预期它会被赎回，所以较低的赎回收益率更符合实际。

7.CAPM 与 WACC

答案: r_m = 8.5 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

市场风险溢价

r_m − r_f = (11.3% − 1.5%)/1.4 = 7%

市场回报

r_m = 1.5% + 7% = 8.5%

答案

r_m = 8.5%

8.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 8.504 %

股权成本

D₁ = 2.3·1.05 = €2.42

r_e = 2.415/47.5 + 0.05 = 10.08%

市场价值

E = 5 000 000·€47.50 = €237 500 000

V = €308 800 000, E/V = 0.7691, D/V = 0.2309

WACC

WACC = 0.7691·10.08% + 0.2309·4.5%·(1 − 0.28) = 8.504%

答案

WACC = 8.504%

9.描述统计

答案: s = 6.543

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 232/7 = 33.14

离差平方

Σ(x − x̄)² = 2.857² + (−6.143)² + 2.857² + (−0.1429)² + (−9.143)² + 10.86² + (−1.143)² = 256.9

标准差

s = √(256.9/6) = 6.543

答案

s = 6.543

10.描述统计

答案: z = 2

标准化

z = (70 − 60)/5 = 2

答案

z = 2

11.概率

答案: P = 0.2667

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

第一次和第二次摸球

P = 8/15 · 7/14 = 56/210 = 0.2667

答案

P = 0.2667

12.概率

答案: σ_Y = 0.6021

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

X 的离散程度

μ = 2.5, Var(X) = 1.45, σ_X = 1.204

线性变换

σ_Y = |0.5|·1.204 = 0.6021

答案

σ_Y = 0.6021

均值确实会改变：E(Y) = 0.5·2.5 + 1 = 2.25。

13.正态分布

答案: P = 0.4518

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

z 分数

z₁ = (62.5 − 65)/10 = −0.25

z₂ = (75.5 − 65)/10 = 1.05

中间面积

P = Φ(1.05) − Φ(−0.25) = 0.8531 − 0.4013 = 0.4518

答案

P = 0.4518

14.正态分布

答案: x = 115.6 分

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

左侧的面积

Φ(z) = 0.85

由表得到的 z

z ≈ 1.04

回到原来的单位

x = 100 + 1.04·15 = 115.6 分

答案

x = 115.6 分

15.置信区间

答案: 下限 = 51.71

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

临界值

df = n − 1 = 11, t = 3.106

误差范围

E = 3.106·16.5/√12 = 14.79

区间

66.5 ± 14.79 → [51.71, 81.29]

答案

下限 = 51.71

16.置信区间

答案: n = 425

解出 n

n = (2.576·12/1.5)² = 424.7

向上取整

样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。

n = 425

答案

n = 425

17.假设检验与置信区间

答案: t = 0.6

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

标准误

SE = 4/√64 = 4/8 = 0.5

检验统计量

t = (200.3 − 200)/0.5 = 0.6

答案

t = 0.6

t_{0.025; df = 63} = 1.998

|t| < 1.998，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。

18.假设检验与置信区间

答案: z = −2.332

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

样本比例

p̂₁ = 30/120 = 0.25

p̂₂ = 93/250 = 0.372

p̂ = 123/370 = 0.3324

H₀ 下的标准误

SE = √(0.3324·0.6676·(1/120 + 1/250)) = 0.05232

检验统计量

z = (0.25 − 0.372)/0.05232 = −2.332

答案

z = −2.332

|z| > 1.96，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。

19.线性回归与相关

答案: r² = 0.9167

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

均值

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 74/5 = 14.8

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −33

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 118.8

决定系数

r² = −33²/(10·118.8) = 0.9167

答案

r² = 0.9167

y 的变异中约有 91.67% 可由该直线解释。

20.线性回归与相关

答案: x = 1.452

均值

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 229/5 = 45.8

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 31

回归直线

b = 31/10 = 3.1

a = 45.8 − 3.1·3 = 36.5

ŷ = 36.5 + 3.1·x

解出 x

x = (41 − 36.5)/3.1 = 1.452

答案

x = 1.452

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