CFA Level I 定量方法与固定收益练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.货币的时间价值中等

你以名义年利率 2% 投资 €20 000，按月复利。求 4 年后的投资价值 FV。

PV = €20 0002% / 12n = 4

FV = €

2.货币的时间价值困难

你在 19 年内每月月末存入 €100。账户年利率 3.6%，按月复利。期末共存了多少？求 FV。

A = €1003.6% / 12N = 228

FV = €

3.NPV 与 IRR中等

一台机器今天花费 €30 000。它在 3 年内每年年末产生 €10 500，之后可以以 €3 000 出售。资本成本为 10%。求净现值 NPV。

C₀ = €30 000CF = €10 500S = €3 000n = 3r = 10%

NPV = €

4.NPV 与 IRR困难

一笔 €20 000 的投资在 8 年内每年年末回报 €4 500。求其内部收益率 IRR，以百分比表示。

C₀ = €20 000CF = €4 500n = 8

IRR = %

5.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 8%，每半年付息一次，11 年后到期。到期收益率为每年 4%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 8%YTM = 4%n = 11

P = €

6.债券定价与收益率困难

一只债券的交易价格为 €905，到期收益率为 3%（按年复利），麦考利久期为 8.8 年。如果收益率上升 150 个基点，用修正久期估计新价格 P。

P₀ = €905y = 3%D = 8.8Δy = +150 bp

P = €

7.CAPM 与 WACC中等

一家公司的负债权益比（按市场价值）为 1。其股权资本成本为 8%，税前债务成本为 5%，税率为 20%。求 WACC。

D/E = 1r_e = 8%r_d = 5%T = 20%

WACC = %

8.CAPM 与 WACC困难

某公司有1 000 000 股、每股 €36.50 的股票，以及 10 000 张、每张市价 €1 000 的债券。税前债务成本为 3.5%，税率为 30%。股票的 β 系数为 1.1，无风险利率为 1.5%，市场回报率为 8%。求 WACC。

β = 1.1r_f = 1.5%r_m = 8%r_d = 3.5%T = 30%

WACC = %

9.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：29, 11, 41, 51, 15。

n = 5

s =

10.描述统计困难

考试成绩服从正态分布，平均数为 500，标准差为 40。求成绩 420 的 z 分数 z。

μ = 500σ = 40x = 420

z =

11.概率中等

从 7 人中选出 2 人组成委员会，有多少种选法 N？顺序无关。

n = 7k = 2

N =

12.概率困难

一局游戏的参与费用为 €10。你以概率 0.1 赢得 €30，以概率 0.05 赢得 €200；其余情况什么也赢不到。赌注不退还。求每局的期望净收益 E(G)。

赌注 = €10€30: p = 0.1€200: p = 0.05

E(G) = €

13.正态分布中等

X 服从均值 12 min、标准差 1.5 min 的正态分布；Y 独立，服从均值 20 min、标准差 2 min 的正态分布。求 X + Y 大于 33.3 min 的概率 P。z 取两位小数。

μ_X = 12, σ_X = 1.5μ_Y = 20, σ_Y = 2X + Y > 33.3 min

P =

14.正态分布困难

考试成绩服从正态分布，均值为 65 分，标准差为 10 分。求数值 x，使得有 20% 的数据低于它（第 20 百分位数）。

μ = 65σ = 10P = 20%

x = 分

15.置信区间中等

测量 10 名患者治疗前后的血压。差值 d = 治疗前 − 治疗后 (mmHg) 的均值为 7.2，标准差为 2.8。求平均差值的 95% 置信区间的上限。

n = 10d̄ = 7.2s_d = 2.895%t(9) = 2.262

上限 = mmHg

16.置信区间困难

总体标准差为 21。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 90% 置信区间的误差范围不超过 2.5？

σ = 21E = 2.590%

n =

17.假设检验与置信区间中等

49 名学生的样本平均分为 70.57，样本标准差为 10。求 H₀: μ = 75 的检验统计量 t。

μ₀ = 75x̄ = 70.57s = 10n = 49

t =

18.假设检验与置信区间困难

在 α = 0.10 下，用容量为 64 的样本对 H₀: μ = 200 与 H₁: μ > 200 进行单侧 z 检验；已知标准差为 20。实际上均值为 207.25。求第二类错误的概率 β，以百分比表示。

μ₀ = 200μ = 207.25σ = 20n = 64α = 0.10

β = %

19.线性回归与相关中等

表中给出 5 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。求皮尔逊相关系数 r。

n = 5

r =

20.线性回归与相关困难

表中给出 5 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。新得到一个观测值 (3, 17)。求其残差 e = y − ŷ。

n = 5(3, 17)

e =

3溶液

1.货币的时间价值

答案: FV = 21664 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = r/m = 0.02/12 = 0.001667

N = m·n = 12·4 = 48

终值

FV = 20 000·(1 + 0.001667)⁴⁸ = 20 000·1.083 = €21 664.30

答案

FV = €21 664.30

2.货币的时间价值

答案: FV = 32659 €

月利率和存款次数

i = 0.036000000000000004/12 = 0.003

N = 12·19 = 228

存款的终值

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 100·(1.98 − 1)/0.003 = €32 658.69

答案

FV = €32 658.69

你自己存入了 €22 800；其余是利息。

3.NPV 与 IRR

答案: NPV = −1634 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

每年现金流的现值

10 500·2.487 = 26 111.95

残值的现值

3 000/1.331 = 2 253.94

NPV

NPV = −30 000 + 26 111.95 + 2 253.94 = −€1 634.11

答案

NPV = −€1 634.11

4.NPV 与 IRR

答案: IRR = 15.29 %

所需的年金系数

(1 − (1 + i)⁻⁸)/i = 20 000/4 500 = 4.444

求利率

利率升高时年金系数下降；先确定利率所在区间，再逐步缩小。

i = 15%: 4.487

i = 16%: 4.344

IRR = 15.29%

答案

IRR = 15.29%

5.债券定价与收益率

答案: P = 1353 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €40.00, i = 0.02, N = 22

票息的现值

€40.00·(1 − 0.6468)/0.02 = €706.32

面值的现值

€1 000·0.6468 = €646.84

价格

P = €1 353.16

答案

P = €1 353.16

收益率低于票面利率，所以债券溢价出售。

6.债券定价与收益率

答案: P = 789 €

久期：麦考利久期是债券支付各笔现金流的加权平均时间，以各笔现金流的现值为权重：D = Σ t·PVₜ/P。修正久期 D/(1 + y) 用于估计收益率小幅变化时价格变化的百分比：%ΔP ≈ −D_mod·Δy。

修正久期

D_mod = 8.8/1.03 = 8.544

估计的价格变化

%ΔP ≈ −8.544·(0.015) = −12.82%

P ≈ 905·(1 − 0.1282) = €789.02

答案

P = €789.02

久期是线性估计；收益率变化较大时，凸性会使实际价格略高一些。

7.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 6 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

由 D/E 求权重

E/V = 1/(1 + 1) = 0.5

D/V = 1/(1 + 1) = 0.5

WACC

WACC = 0.5·8% + 0.5·5%·(1 − 0.2) = 6%

答案

WACC = 6%

8.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 7.317 %

市场价值

E = 1 000 000·€36.50 = €36 500 000

D = 10 000·€1 000 = €10 000 000

股权成本（CAPM）

r_e = 1.5% + 1.1·6.5% = 8.65%

权重

V = €46 500 000, E/V = 0.7849, D/V = 0.2151

WACC

WACC = 0.7849·8.65% + 0.2151·3.5%·(1 − 0.3) = 7.317%

答案

WACC = 7.317%

9.描述统计

答案: s = 16.94

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 147/5 = 29.4

离差平方

Σ(x − x̄)² = (−0.4)² + (−18.4)² + 11.6² + 21.6² + (−14.4)² = 1147

标准差

s = √(1147/4) = 16.94

答案

s = 16.94

10.描述统计

答案: z = −2

标准化

z = (420 − 500)/40 = −2

答案

z = −2

11.概率

答案: N = 21

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

组合

C(7, 2) = (7·6)/(2·1) = 21

答案

N = 21

12.概率

答案: E(G) = 3 €

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

净结果

G: 20 (p = 0.1), 190 (p = 0.05), −10 (p = 0.85)

期望值

E(G) = 20·0.1 + 190·0.05 − 10·0.85 = 3 €

答案

E(G) = 3 €

正值表示平均而言你会赢钱。

13.正态分布

答案: P = 0.3015

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

和的分布

μ = 32 min, σ = √(1.5² + 2²) = 2.5 min

标准化

z = (33.3 − 32)/2.5 = 0.52

上尾

P = 1 − Φ(0.52) = 1 − 0.6985 = 0.3015

答案

P = 0.3015

14.正态分布

答案: x = 56.58 分

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

该百分位数对应的 z

Φ(z) = 0.2 → z = −0.8416

换算回 x

x = 65 + −0.8416·10 = 56.58 分

答案

x = 56.58 分

15.置信区间

答案: 上限 = 9.203 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

临界值

df = 9, t = 2.262

误差范围

E = 2.262·2.8/√10 = 2.003

区间

7.2 ± 2.003 → [5.197, 9.203]

答案

上限 = 9.203 mmHg

16.置信区间

答案: n = 191

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

解出 n

n = (1.645·21/2.5)² = 190.9

向上取整

样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。

n = 191

答案

n = 191

17.假设检验与置信区间

答案: t = −3.101

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

标准误

SE = 10/√49 = 10/7 = 1.429

检验统计量

t = (70.57 − 75)/1.429 = −3.101

答案

t = −3.101

t_{0.025; df = 48} = 2.011

|t| > 2.011，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。

18.假设检验与置信区间

答案: β = 5.283 %

检验功效：功效 = 1 − β，是 H₀ 为假时拒绝 H₀ 的概率。由 μ₀ 和 z_α 求出临界值 x̄c，再用真实均值计算落在 x̄c 以外的概率：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。

临界样本均值

SE = 20/√64 = 2.5

x̄_c = 200 + 1.282·2.5 = 203.2

真实均值下的 z

z = (203.2 − 207.25)/2.5 = −1.618

第二类错误

功效 = P(Z > −1.618) = 94.72%

β = 100% − 94.72% = 5.283%

答案

β = 5.283%

19.线性回归与相关

答案: r = 0.9872

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

均值

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 93/5 = 18.6

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 118

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 357.2

答案

r = 0.9872

20.线性回归与相关

答案: e = 4.85

均值

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 123/5 = 24.6

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 166

回归直线

b = 166/40 = 4.15

a = 24.6 − 4.15·6 = −0.3

ŷ = −0.3 + 4.15·x

预测值

ŷ = −0.3 + 4.15·3 = 12.15

残差

e = 17 − 12.15 = 4.85

答案

e = 4.85

该点位于直线上方。

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