CFA Level I 定量方法与固定收益练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.货币的时间价值中等

一张信用卡的名义年利率为 22%，每天复利。求实际年利率 EAR，以百分比表示。

r = 22%m = 365

EAR = %

2.货币的时间价值困难

你希望在 19 年后得到 €100 000。你在每月月末把相同的金额存入一个年利率 3.6%、按月复利的账户。求每月存款额 A。

FV = €100 0003.6% / 12N = 228

A = €

3.NPV 与 IRR中等

一个项目今天需投入 €100 000。它在第一年年末产生 €5 000，之后现金流每年永久增长 3%。资本成本为 9%。求净现值 NPV。

C₀ = €100 000CF₁ = €5 000g = 3%r = 9%

NPV = €

4.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €20 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €13 500, €11 500, €11 500。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −20 000CF₁ = 13 500CF₂ = 11 500CF₃ = 11 500

IRR = %

5.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 3%，每半年付息一次，7 年后到期。到期收益率为每年 6%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 3%YTM = 6%n = 7

P = €

6.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 3% 的债券 4 年后到期，售价为 €1 060。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 3%n = 4P = €1 060

YTM = %

7.CAPM 与 WACC中等

一家公司的负债权益比（按市场价值）为 0.5。其股权资本成本为 10%，税前债务成本为 4.5%，税率为 25.8%。求 WACC。

D/E = 0.5r_e = 10%r_d = 4.5%T = 25.8%

WACC = %

8.CAPM 与 WACC困难

一家公司有 1 000 000 股股票，股价为 €51.00；其股权账面价值为 €20 400 000。公司刚支付了每股 €2.00 的股利，股利每年增长 5%。其债务市场价值为 €40 800 000，税前成本为 6%。税率为 28%。用股利增长模型计算股权资本成本，求 WACC。

N = 1 000 000P₀ = €51.00股权账面价值 = €20 400 000D₀ = €2.00g = 5%D = €40 800 000r_d = 6%T = 28%

WACC = %

9.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：31, 12, 55, 35, 35, 21, 19。

n = 7

s =

10.描述统计困难

某量服从正态分布，平均数为 100，标准差为 5。数值高于 92.5 的比例 P 是多少？

μ = 100σ = 5x = 92.5

P =

11.概率中等

从 12 人中选出 4 人组成委员会，有多少种选法 N？顺序无关。

n = 12k = 4

N =

12.概率困难

一份测试有 11 道选择题。一名靠猜的学生每题答对的概率为 0.6，相互独立。恰好答对 5 题的概率 P 是多少？

n = 11p = 0.6k = 5

P =

13.正态分布中等

电池寿命服从正态分布，均值为 500 h，标准差为 40 h。介于 502 和 572 h 之间的比例是多少？P 以小数表示。

μ = 500σ = 40x₁ = 502x₂ = 572

P =

14.正态分布困难

成年男性的身高服从正态分布，均值为 178 cm，标准差为 7 cm。拖动截断值，使阴影的前 10% 位于其右侧。求截断值 x。

μ = 178 cmσ = 7 cm10%

x = cm

15.置信区间中等

基于 50 个观测值且 σ 已知的均值 95% 置信区间，其误差范围为 6.2。基于 200 个观测值的 99% 区间，其误差范围 E₂ 是多少？

95%n₁ = 50E₁ = 6.299%n₂ = 200

E₂ =

16.置信区间困难

总体标准差为 16。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 99% 置信区间的误差范围不超过 3？

σ = 16E = 399%

n =

17.假设检验与置信区间中等

36 名学生的样本平均分为 113.8，样本标准差为 12。求 H₀: μ = 120 的检验统计量 t。

μ₀ = 120x̄ = 113.8s = 12n = 36

t =

18.假设检验与置信区间困难

样本至少要多大，才能使均值的 95% 置信区间的误差范围不超过 3？标准差为 8。求最小样本量 n。

σ = 8E = 395%

n =

19.线性回归与相关中等

表中给出 5 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。求皮尔逊相关系数 r。

n = 5

r =

20.线性回归与相关困难

表中给出 5 对观测值 x = 学习小时数和 y = 考试成绩。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。预测 x = 4.5 时的 ŷ。

n = 5x = 4.5

ŷ =

3溶液

1.货币的时间价值

答案: EAR = 24.6 %

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

每期利率

r/m = 0.22/365 = 0.0006027

复利一年

EAR = (1 + 0.0006027)³⁶⁵ − 1 = 1.246 − 1 = 24.6%

答案

EAR = 24.6%

当一年内复利多于一次时，实际年利率总是高于名义利率。

2.货币的时间价值

答案: A = 306.2 €

月利率和存款次数

i = 0.036000000000000004/12 = 0.003

N = 12·19 = 228

存款额

A = FV·i/((1 + i)^N − 1) = 100 000·0.003/(1.98 − 1) = €306.20

答案

A = €306.20

3.NPV 与 IRR

答案: NPV = −16667 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

现金流的价值

PV = 5 000/(0.09 − 0.03) = 83 333.33

NPV

NPV = 83 333.33 − 100 000 = −€16 666.67

答案

NPV = −€16 666.67

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

4.NPV 与 IRR

答案: IRR = 38.78 %

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(35%) = 984.10

NPV(40%) = −298.83

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 35 + 5·984.10/(984.10 − (−298.83)) = 38.84%

精确: NPV(38.78%) = 0 → IRR = 38.78%

答案

IRR = 38.78%

5.债券定价与收益率

答案: P = 830.6 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €15.00, i = 0.03, N = 14

票息的现值

€15.00·(1 − 0.6611)/0.03 = €169.44

面值的现值

€1 000·0.6611 = €661.12

价格

P = €830.56

答案

P = €830.56

收益率高于票面利率，所以债券折价出售。

6.债券定价与收益率

答案: YTM = 1.445 %

收益率方程

€1 060 = €30·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + €1 000/(1 + y)⁴

数值求解

P(1%) = €1 078.04, P(2%) = €1 038.08

YTM = 1.445%

答案

YTM = 1.445%

7.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 7.78 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

由 D/E 求权重

E/V = 1/(1 + 0.5) = 0.6667

D/V = 0.5/(1 + 0.5) = 0.3333

WACC

WACC = 0.6667·10% + 0.3333·4.5%·(1 − 0.258) = 7.78%

答案

WACC = 7.78%

8.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 6.985 %

股权成本

D₁ = 2·1.05 = €2.10

r_e = 2.1/51 + 0.05 = 9.118%

市场价值

E = 1 000 000·€51.00 = €51 000 000

V = €91 800 000, E/V = 0.5556, D/V = 0.4444

WACC

WACC = 0.5556·9.118% + 0.4444·6%·(1 − 0.28) = 6.985%

答案

WACC = 6.985%

9.描述统计

答案: s = 14.15

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 208/7 = 29.71

离差平方

Σ(x − x̄)² = 1.286² + (−17.71)² + 25.29² + 5.286² + 5.286² + (−8.714)² + (−10.71)² = 1201

标准差

s = √(1201/6) = 14.15

答案

s = 14.15

10.描述统计

答案: P = 0.9332

标准化

z = −1.5

标准正态分布表

Φ(−1.5) = 0.06681

P = 1 − 0.06681 = 0.9332

答案

P = 0.9332

11.概率

答案: N = 495

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

组合

C(12, 4) = (12·11·10·9)/(4·3·2·1) = 495

答案

N = 495

12.概率

答案: P = 0.1471

二项分布公式

P(X = 5) = 462·0.6⁵·0.4⁶ = 462·0.07776·0.004096 = 0.1471

答案

P = 0.1471

13.正态分布

答案: P = 0.4441

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

z 分数

z₁ = (502 − 500)/40 = 0.05

z₂ = (572 − 500)/40 = 1.8

中间面积

P = Φ(1.8) − Φ(0.05) = 0.9641 − 0.5199 = 0.4441

答案

P = 0.4441

14.正态分布

答案: x = 187 cm

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

左侧的面积

Φ(z) = 0.9

由表得到的 z

z ≈ 1.28

回到原来的单位

x = 178 + 1.28·7 = 187 cm

答案

x = 187 cm

15.置信区间

答案: E₂ = 4.074

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

误差范围之比

E₂/E₁ = (2.576/1.96)·√(50/200) = 0.6571

新的误差范围

E₂ = 6.2·0.6571 = 4.074

答案

E₂ = 4.074

16.置信区间

答案: n = 189

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

解出 n

n = (2.576·16/3)² = 188.8

向上取整

样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。

n = 189

答案

n = 189

17.假设检验与置信区间

答案: t = −3.1

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

标准误

SE = 12/√36 = 12/6 = 2

检验统计量

t = (113.8 − 120)/2 = −3.1

答案

t = −3.1

t_{0.025; df = 35} = 2.03

|t| > 2.03，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。

18.假设检验与置信区间

答案: n = 28

解出 n

n = (1.96·8/3)² = 27.32

向上取整

n = 28

答案

n = 28

19.线性回归与相关

答案: r = 0.9328

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

均值

x̄ = 110/5 = 22

ȳ = 478/5 = 95.6

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 140

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 563.2

答案

r = 0.9328

20.线性回归与相关

答案: ŷ = 70.3

均值

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 363/5 = 72.6

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 46

回归直线

b = 46/10 = 4.6

a = 72.6 − 4.6·5 = 49.6

ŷ = 49.6 + 4.6·x

预测

ŷ = 49.6 + 4.6·4.5 = 70.3

答案

ŷ = 70.3

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