CFA Level I 定量方法与固定收益练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.货币的时间价值中等

你以名义年利率 3.6% 投资 €8 000，按月复利。求 3 年后的投资价值 FV。

PV = €8 0003.6% / 12n = 3

FV = €

2.货币的时间价值困难

一笔 €15 000 的贷款在 3 年内以等额月供偿还。年利率 4.2%，按月复利。求月供 A。

P = €15 0004.2% / 12N = 36

A = €

3.NPV 与 IRR中等

一项 €30 000 的投资在第 1 年至第 3 年年末带来以下现金流：€9 000, €14 000, €10 000。资本成本为 12%。求净现值 NPV。

r = 12%CF₀ = −30 000CF₁ = 9 000CF₂ = 14 000CF₃ = 10 000

NPV = €

4.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €50 000，在第 1 年至第 2 年年末每年回收 €33 500, €23 500。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −50 000CF₁ = 33 500CF₂ = 23 500

IRR = %

5.债券定价与收益率中等

一只面值为 €1 000 的债券每年支付 4.5% 的票息，11 年后到期。其到期收益率从 4% 变为 5.5%。债券价格变化多少 ΔP？

F = €1 000票面利率 = 4.5%n = 11y₁ = 4%y₂ = 5.5%

ΔP = €

6.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 4% 的债券 7 年后到期，售价为 €1 130。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 4%n = 7P = €1 130

YTM = %

7.CAPM 与 WACC中等

一家公司的融资由价值 €6 000 000 的普通股、价值 €1 500 000 的优先股和价值 €3 000 000 的债务构成。股权资本成本为 13%，优先股成本为 7.5%，税前债务成本为 4.5%。税率为 20%。求 WACC。

E = €6 000 000P_s = €1 500 000D = €3 000 000r_e = 13%r_p = 7.5%r_d = 4.5%T = 20%

WACC = %

8.CAPM 与 WACC困难

某公司有1 000 000 股、每股 €44.00 的股票，以及 5 000 张、每张市价 €1 050 的债券。税前债务成本为 4.5%，税率为 25.8%。股票的 β 系数为 1.2，无风险利率为 2.5%，市场回报率为 7%。求 WACC。

β = 1.2r_f = 2.5%r_m = 7%r_d = 4.5%T = 25.8%

WACC = %

9.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：41, 43, 59, 16, 12, 23, 52。

n = 7

s =

10.描述统计困难

某量服从正态分布，平均数为 500，标准差为 40。数值高于 420 的比例 P 是多少？

μ = 500σ = 40x = 420

P =

11.概率中等

一颗均匀骰子掷 4 次。至少掷出一次六点的概率 P 是多少？

n = 4

P =

12.概率困难

一局游戏的参与费用为 €1。你以概率 0.2 赢得 €4，以概率 0.01 赢得 €50；其余情况什么也赢不到。赌注不退还。求每局的期望净收益 E(G)。

赌注 = €1€4: p = 0.2€50: p = 0.01

E(G) = €

13.正态分布中等

电池寿命服从正态分布，均值为 500 h，标准差为 40 h。介于 500 和 582 h 之间的比例是多少？P 以小数表示。

μ = 500σ = 40x₁ = 500x₂ = 582

P =

14.正态分布困难

电池寿命服从正态分布，均值为 500 h，标准差为 40 h。拖动截断值，使阴影的后 20% 位于其左侧。求截断值 x。

μ = 500 hσ = 40 h20%

x = h

15.置信区间中等

一个包含 6 个个体的样本，均值为 21，标准差 s = 3.5。总体近似服从正态分布。求均值的 99% 置信区间的误差范围 E。

n = 6x̄ = 21s = 3.599%t(5) = 4.032

E =

16.置信区间困难

总体标准差为 13。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 90% 置信区间的误差范围不超过 1？

σ = 13E = 190%

n =

17.假设检验与置信区间中等

9 名员工在培训课程前后各参加一次打字测试。记录每人的差值 d = 培训后 − 培训前（每分钟字数）。平均差值为 2.53，差值的标准差为 9.5。求 H₀: μ_d = 0 的配对检验统计量 t。

n = 9d̄ = 2.53s_d = 9.5

t =

18.假设检验与置信区间困难

样本至少要多大，才能使均值的 90% 置信区间的误差范围不超过 2.5？标准差为 10。求最小样本量 n。

σ = 10E = 2.590%

n =

19.线性回归与相关中等

表中给出 5 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。求皮尔逊相关系数 r。

n = 5

r =

20.线性回归与相关困难

表中给出 5 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。预测 x = 9 时的 ŷ。

n = 5x = 9

ŷ =

3溶液

1.货币的时间价值

答案: FV = 8911 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = r/m = 0.036000000000000004/12 = 0.003

N = m·n = 12·3 = 36

终值

FV = 8 000·(1 + 0.003)³⁶ = 8 000·1.114 = €8 910.94

答案

FV = €8 910.94

2.货币的时间价值

答案: A = 444.2 €

月利率和还款期数

i = 0.042/12 = 0.0035

N = 12·3 = 36

每期还款

N 笔等额付款 A 的现值为 A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i。令其等于贷款额，解出 A。

(1 + i)^−N = 0.8818

A = 15 000·0.0035/(1 − 0.8818) = €444.20

答案

A = €444.20

3.NPV 与 IRR

答案: NPV = −3686 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −30 000

CF₁/(1 + 0.12)¹ = 9 000/1.12 = 8 035.71

CF₂/(1 + 0.12)² = 14 000/1.254 = 11 160.71

CF₃/(1 + 0.12)³ = 10 000/1.405 = 7 117.80

相加

NPV = €−3 685.77

答案

NPV = €−3 685.77

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

4.NPV 与 IRR

答案: IRR = 9.804 %

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(5%) = 3 219.95

NPV(10%) = −123.97

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 5 + 5·3 219.95/(3 219.95 − (−123.97)) = 9.815%

精确: NPV(9.804%) = 0 → IRR = 9.804%

答案

IRR = 9.804%

5.债券定价与收益率

答案: ΔP = −124.7 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

按原收益率计算的价格

C = €45.00, i = 0.04, N = 11

€45.00·(1 − 0.6496)/0.04 + €1 000·0.6496 = €394.22 + €649.58 = €1 043.80

按新收益率计算的价格

C = €45.00, i = 0.055, N = 11

€45.00·(1 − 0.5549)/0.055 + €1 000·0.5549 = €364.16 + €554.91 = €919.07

变化

ΔP = 919.07 − 1 043.80 = −€124.73

答案

ΔP = −€124.73

6.债券定价与收益率

答案: YTM = 1.992 %

收益率方程

€1 130 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷

数值求解

P(1%) = €1 201.85, P(2%) = €1 129.44

YTM = 1.992%

答案

YTM = 1.992%

7.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 9.529 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = 6 000 000 + 1 500 000 + 3 000 000 = €10 500 000

E/V = 0.5714, P_s/V = 0.1429, D/V = 0.2857

WACC

WACC = 0.5714·13% + 0.1429·7.5% + 0.2857·4.5%·(1 − 0.2) = 9.529%

答案

WACC = 9.529%

8.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 7.414 %

市场价值

E = 1 000 000·€44.00 = €44 000 000

D = 5 000·€1 050 = €5 250 000

股权成本（CAPM）

r_e = 2.5% + 1.2·4.5% = 7.9%

权重

V = €49 250 000, E/V = 0.8934, D/V = 0.1066

WACC

WACC = 0.8934·7.9% + 0.1066·4.5%·(1 − 0.258) = 7.414%

答案

WACC = 7.414%

9.描述统计

答案: s = 18.25

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 246/7 = 35.14

离差平方

Σ(x − x̄)² = 5.857² + 7.857² + 23.86² + (−19.14)² + (−23.14)² + (−12.14)² + 16.86² = 1999

标准差

s = √(1999/6) = 18.25

答案

s = 18.25

10.描述统计

答案: P = 0.9772

标准化

z = −2

标准正态分布表

Φ(−2) = 0.02275

P = 1 − 0.02275 = 0.9772

答案

P = 0.9772

11.概率

答案: P = 0.5177

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

补事件

P(没有六点) = (5/6)⁴ = 0.4823

P = 1 − 0.4823 = 0.5177

答案

P = 0.5177

12.概率

答案: E(G) = 0.3 €

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

净结果

G: 3 (p = 0.2), 49 (p = 0.01), −1 (p = 0.79)

期望值

E(G) = 3·0.2 + 49·0.01 − 1·0.79 = 0.3 €

答案

E(G) = 0.3 €

正值表示平均而言你会赢钱。

13.正态分布

答案: P = 0.4798

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

z 分数

z₁ = (500 − 500)/40 = 0

z₂ = (582 − 500)/40 = 2.05

中间面积

P = Φ(2.05) − Φ(0) = 0.9798 − 0.5 = 0.4798

答案

P = 0.4798

14.正态分布

答案: x = 466 h

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

左侧的面积

Φ(z) = 0.2

由表得到的 z

z ≈ −0.84

回到原来的单位

x = 500 − 0.84·40 = 466 h

答案

x = 466 h

15.置信区间

答案: E = 5.761

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

临界值

df = n − 1 = 5, t = 4.032

误差范围

E = 4.032·3.5/√6 = 5.761

答案

E = 5.761

16.置信区间

答案: n = 458

解出 n

n = (1.645·13/1)² = 457.3

向上取整

样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。

n = 458

答案

n = 458

17.假设检验与置信区间

答案: t = 0.7989

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

平均差值的标准误

SE = 9.5/√9 = 3.167

检验统计量

t = 2.53/3.167 = 0.7989

答案

t = 0.7989

df = 8 时，双侧 5% 的临界值为 2.306；|t| 更小，所以不拒绝 H₀。

18.假设检验与置信区间

答案: n = 44

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

解出 n

n = (1.645·10/2.5)² = 43.3

向上取整

n = 44

答案

n = 44

19.线性回归与相关

答案: r = 0.9293

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

均值

x̄ = 105/5 = 21

ȳ = 258/5 = 51.6

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 130

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 489.2

答案

r = 0.9293

20.线性回归与相关

答案: ŷ = 20.8

均值

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 74/5 = 14.8

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 80

回归直线

b = 80/40 = 2

a = 14.8 − 2·6 = 2.8

ŷ = 2.8 + 2·x

预测

ŷ = 2.8 + 2·9 = 20.8

答案

ŷ = 20.8

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