CFA Level I 定量方法与固定收益练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.货币的时间价值中等

你以名义年利率 6% 投资 €5 000，按月复利。求 4 年后的投资价值 FV。

PV = €5 0006% / 12n = 4

FV = €

2.货币的时间价值困难

一笔 €250 000 的贷款在 20 年内以等额月供偿还。年利率 4.2%，按月复利。求月供 A。

P = €250 0004.2% / 12N = 240

A = €

3.NPV 与 IRR中等

一项 €60 000 的投资在第 1 年至第 4 年年末带来以下现金流：€13 000, €20 000, €16 000, €18 000。资本成本为 5%。求净现值 NPV。

r = 5%CF₀ = −60 000CF₁ = 13 000CF₂ = 20 000CF₃ = 16 000CF₄ = 18 000

NPV = €

4.NPV 与 IRR困难

一个项目今天需投入 €50 000。其现金流在第 1 年年末为 €7 500，之后每年增长 2%，直到第 8 年年末的最后一笔现金流。资本成本为 12%。求净现值 NPV。

C₀ = €50 000CF₁ = €7 500g = 2%n = 8r = 12%

NPV = €

5.债券定价与收益率中等

你在一只剩余期限为 3 年的债券（面值 €1 000，年票息 4.5%）到期收益率为 5.5% 时买入。一年后，刚收到第一笔票息，你在到期收益率为 7% 时把它卖出。求你的持有期收益率 HPR，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 4.5%n = 3y₀ = 5.5%y₁ = 7%

HPR = %

6.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 7% 的债券 5 年后到期，售价为 €940。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 7%n = 5P = €940

YTM = %

7.CAPM 与 WACC中等

一只贝塔为 0.9 的股票要求回报为 8%。无风险利率为 3.5%。CAPM 隐含的预期市场回报 r_m 是多少？

β = 0.9r_e = 8%r_f = 3.5%

r_m = %

8.CAPM 与 WACC困难

一家公司股票在当前负债权益比 0.2 下的贝塔为 1.2。公司计划把负债权益比提高到 1。税率为 28%，无风险利率为 4%，市场风险溢价为 6%。求变化后的股权资本成本 r_e。

β_L = 1.2D/E₁ = 0.2D/E₂ = 1T = 28%r_f = 4%r_m − r_f = 6%

r_e = %

9.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：37, 58, 52, 40, 31, 25, 15。

n = 7

s =

10.描述统计困难

某量服从正态分布，平均数为 100，标准差为 12。数值低于 76 的比例 P 是多少？

μ = 100σ = 12x = 76

P =

11.概率中等

对图中的分布，求 X 的标准差 σ。

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.3, 0.35, 0.1, 0.25

σ =

12.概率困难

一份测试有 12 道选择题。一名靠猜的学生每题答对的概率为 0.3，相互独立。恰好答对 3 题的概率 P 是多少？

n = 12p = 0.3k = 3

P =

13.正态分布中等

拖动 z，使标准正态曲线下 z 右侧的阴影面积为 0.1685。求 z，保留两位小数。

A = 0.1685

z =

14.正态分布困难

一组人中男性的身高 X 与女性的身高 Y相互独立且服从正态分布：X 的均值为 180 cm，标准差为 10 cm，Y 的均值为 170 cm，标准差为 12 cm。求 X 大于 Y 的概率 P。z 取两位小数。

μ_X = 180 cm, σ_X = 10 cmμ_Y = 170 cm, σ_Y = 12 cm

P =

15.置信区间中等

一个包含 7 个个体的样本，均值为 36.5，标准差 s = 7.5。总体近似服从正态分布。求均值的 99% 置信区间的误差范围 E。

n = 7x̄ = 36.5s = 7.599%t(6) = 3.707

E =

16.置信区间困难

总体标准差为 16。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 99% 置信区间的误差范围不超过 4？

σ = 16E = 499%

n =

17.假设检验与置信区间中等

16 名学生的样本平均分为 123，样本标准差为 10。求 H₀: μ = 120 的检验统计量 t。

μ₀ = 120x̄ = 123s = 10n = 16

t =

18.假设检验与置信区间困难

在 α = 0.01 下的单侧 z 检验，必须以 90% 的功效检测出均值 3 个单位的偏移。标准差为 6。求最小样本量 n。

α = 0.01功效 = 90%δ = 3σ = 6z_α = 2.326z_β = 1.282

n =

19.线性回归与相关中等

表中给出 6 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。求最小二乘直线的决定系数 r²。

n = 6

r² =

20.线性回归与相关困难

表中给出 6 对观测值 x = 学习小时数和 y = 考试成绩。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。新得到一个观测值 (7, 87)。求其残差 e = y − ŷ。

n = 6(7, 87)

e =

3溶液

1.货币的时间价值

答案: FV = 6352 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = r/m = 0.06/12 = 0.005

N = m·n = 12·4 = 48

终值

FV = 5 000·(1 + 0.005)⁴⁸ = 5 000·1.27 = €6 352.45

答案

FV = €6 352.45

2.货币的时间价值

答案: A = 1541 €

月利率和还款期数

i = 0.042/12 = 0.0035

N = 12·20 = 240

每期还款

N 笔等额付款 A 的现值为 A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i。令其等于贷款额，解出 A。

(1 + i)^−N = 0.4323

A = 250 000·0.0035/(1 − 0.4323) = €1 541.43

答案

A = €1 541.43

3.NPV 与 IRR

答案: NPV = −848.4 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −60 000

CF₁/(1 + 0.05)¹ = 13 000/1.05 = 12 380.95

CF₂/(1 + 0.05)² = 20 000/1.103 = 18 140.59

CF₃/(1 + 0.05)³ = 16 000/1.158 = 13 821.40

CF₄/(1 + 0.05)⁴ = 18 000/1.216 = 14 808.64

相加

NPV = €−848.41

答案

NPV = €−848.41

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

4.NPV 与 IRR

答案: NPV = −10491 €

增长型年金的现值

((1.02)/(1.12))⁸ = 0.4732

PV = 7 500/(0.12 − 0.02)·(1 − 0.4732) = 39 508.98

NPV

NPV = 39 508.98 − 50 000 = −€10 491.02

答案

NPV = −€10 491.02

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

5.债券定价与收益率

答案: HPR = 2.752 %

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

买入价

C = €45.00, i = 0.055, N = 3

€45.00·(1 − 0.8516)/0.055 + €1 000·0.8516 = €121.41 + €851.61 = €973.02

卖出价

C = €45.00, i = 0.07, N = 2

€45.00·(1 − 0.8734)/0.07 + €1 000·0.8734 = €81.36 + €873.44 = €954.80

持有期收益率

HPR = (45 + 954.80 − 973.02)/973.02 = 2.752%

答案

HPR = 2.752%

6.债券定价与收益率

答案: YTM = 8.524 %

收益率方程

€940 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + €1 000/(1 + y)⁵

数值求解

P(8%) = €960.07, P(9%) = €922.21

YTM = 8.524%

答案

YTM = 8.524%

7.CAPM 与 WACC

答案: r_m = 8.5 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

市场风险溢价

r_m − r_f = (8% − 3.5%)/0.9 = 5%

市场回报

r_m = 3.5% + 5% = 8.5%

答案

r_m = 8.5%

8.CAPM 与 WACC

答案: r_e = 14.83 %

有杠杆贝塔（哈马达公式）：负债使股权风险增大。β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E)，其中 β_U 是无负债时业务的贝塔。要把贝塔转换到另一种资本结构，先去杠杆，再按新的 D/E 加杠杆。

对贝塔去杠杆

β_U = 1.2/(1 + 0.72·0.2) = 1.049

按新的 D/E 重新加杠杆

β_L = 1.049·(1 + 0.72·1) = 1.804

股权成本（CAPM）

r_e = 4% + 1.804·6% = 14.83%

答案

r_e = 14.83%

9.描述统计

答案: s = 14.94

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 258/7 = 36.86

离差平方

Σ(x − x̄)² = 0.1429² + 21.14² + 15.14² + 3.143² + (−5.857)² + (−11.86)² + (−21.86)² = 1339

标准差

s = √(1339/6) = 14.94

答案

s = 14.94

10.描述统计

答案: P = 0.02275

标准化

z = −2

标准正态分布表

Φ(−2) = 0.02275

P = 0.02275

答案

P = 0.02275

11.概率

答案: σ = 2.289

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

平均数

μ = 0·0.3 + 2·0.35 + 4·0.1 + 6·0.25 = 2.6

平方的均值

E(X²) = 0·0.3 + 4·0.35 + 16·0.1 + 36·0.25 = 12

方差

Var(X) = 12 − 2.6² = 5.24

σ = √5.24 = 2.289

答案

σ = 2.289

12.概率

答案: P = 0.2397

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

二项分布公式

P(X = 3) = 220·0.3³·0.7⁹ = 220·0.027·0.04035 = 0.2397

答案

P = 0.2397

13.正态分布

答案: z = 0.96

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

z 左侧的面积

Φ(z) = 1 − 0.1685 = 0.8315

反向查 z 表

在表中找到 0.8315，读出 z。

z = 0.96

答案

z = 0.96

14.正态分布

答案: P = 0.7389

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

差的分布

μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15.62 cm

标准化

z = (0 − 10)/15.62 = −0.64

概率

P = 1 − Φ(−0.64) = 0.7389

答案

P = 0.7389

15.置信区间

答案: E = 10.51

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

临界值

df = n − 1 = 6, t = 3.707

误差范围

E = 3.707·7.5/√7 = 10.51

答案

E = 10.51

16.置信区间

答案: n = 107

解出 n

n = (2.576·16/4)² = 106.2

向上取整

样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。

n = 107

答案

n = 107

17.假设检验与置信区间

答案: t = 1.2

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

标准误

SE = 10/√16 = 10/4 = 2.5

检验统计量

t = (123 − 120)/2.5 = 1.2

答案

t = 1.2

t_{0.025; df = 15} = 2.131

|t| < 2.131，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。

18.假设检验与置信区间

答案: n = 53

检验的样本量：在水平 α 下的单侧 z 检验中，要以功效 1 − β 检测出真实偏移 δ，标准误必须满足 δ = (z_α + z_β)·σ/√n，所以 n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²，向上取整。

解出 n

n = ((2.326 + 1.282)·6/3)² = 52.07

向上取整

n = 53

答案

n = 53

19.线性回归与相关

答案: r² = 0.9449

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

均值

x̄ = 129/6 = 21.5

ȳ = 331/6 = 55.17

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 565.5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 2149

决定系数

r² = 565.5²/(157.5·2149) = 0.9449

答案

r² = 0.9449

y 的变异中约有 94.49% 可由该直线解释。

20.线性回归与相关

答案: e = −2

均值

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 534/6 = 89

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 394

回归直线

b = 394/70 = 5.629

a = 89 − 5.629·7 = 49.6

ŷ = 49.6 + 5.629·x

预测值

ŷ = 49.6 + 5.629·7 = 89

残差

e = 87 − 89 = −2

答案

e = −2

该点位于直线下方。

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